Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0

Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0. Имеем: Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru =0; x=1. Следовательно, исследуемая функция обращается в ноль в единственной точке x=1.

Данная функция непрерывна на всей области допустимых значений.

Точка пересечения с осью Х, точка х=1.

Поскольку функция не определена при х=0, то ее график не пересекается с осью Y.

Интервалы знакопостоянства функции.

В области допустимых значений знак функции может меняться в единственной точке х=1. Точка х=1 разбивает область допустимых значений на два интервала (0;1) и (1; ¥). Определяем знак функции на каждом интервале и результаты сводим в таблицу:

x (0;1) (1;+¥)
y - +

Асимптоты графика функции.

А. Вертикальные асимптоты.

В своей области определения функция непрерывна. Поэтому асимптоты могут быть только на границе области определения.

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru . Итак, прямая х=0 – это вертикальная асимптота.

Б. Наклонные асимптоты.

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru . В этом пределе неопределенность вида Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru . Применяем правило Лопиталя: Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru . Поскольку k=0, то :

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru . (При вычислении предела использовано правило Лопиталя.)

Таким образом уравнение асимптоты при Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru имеет вид

y=0.

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума.

Находим производную:

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru = Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru .

В области допустимых значений производная не имеет точек разрыва.

Нули производной находим, решая уравнение Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru =0; Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru ; Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru .

Точка Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru разбивает область допустимых значений на два интервала Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru и Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru . Определяем знаки производной на каждом интервале и по знакам производной определяем интервалы возрастания и убывания функции. Результаты сводим в таблицу.

x (0; Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru ) ( Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru ;+¥)
+ -
Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru y      

В точке Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru производная меняет знак с плюса на минус. Значит, точка Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru является точкой максимума функции. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru .

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru .

В области допустимых значений вторая производная точек разрыва не имеет. Для определения точек, в которых она равна нулю, решаем уравнение Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru =0; Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru ; Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru ; Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru .

Определяем интервалы знакопостоянства второй производной и интервалы выпуклости и вогнутости функции. Результаты сводим в таблицу.

x (0; Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru ) ( Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru ;+¥)
y¢¢ - +
y   Ç È

Вторая производная меняет знак в точке х= Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru , следовательно, эта точка является точкой перегиба. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru .

На основании проведенного исследования строим график функции.

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график: Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru .

Решение.

1. Область определения данной функции – вся числовая ось.

Четность, нечетность функции.

Имеем Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат. Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0 - student2.ru . Данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Наши рекомендации