Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба

Опр. Кривая называется выпуклой на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой на интервале (а, b), если все ее точки лежат выше любой ее касательной на этом интервале (рис. 3.5).

Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна (положительна), то кривая y = f(x) обращена выпукла (вогнута).

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку

х = а меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Асимптоты

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и частный случай наклонных – горизонтальные.

Вертикальные асимптоты

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – вертикальная асимптота кривой y = f(x).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонная асимптота задается уравнением прямой y = kx + b, где коэффициенты k и b вычисляются по следующим формулам:

,

Если k =0, то получаем горизонтальную асимптоту.

Общая схема исследования функции и построение графиков

Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x) находят несколько точек графика функции y=f(x) и соединяют эти точки плавной кривой. Однако при таком методе легко пропустить какие-то важные особенности графика и допустить ошибку в построении.

Для построения графика функции нужно исследовать ее свойства. Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов.

1) Область определения функции.

2) Координаты точек пересечения с осями координат.

3) Четность, нечетность функции.

4) Асимптоты графика и пределы на ±∞. (Если они имеются).

5) Критические точки.

6) Интервалы монотонности и точки экстремума.

7) Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. (Если они имеются).

8) Дополнительные точки, если нет асимптот.

9) Построение графика.

10) Область значения функции.

Примеры

№1. Исследовать функцию на монотонность и экстремум .

Решение.

1) D(f)=R

2)

3) при , , .

–1, , 1 – критические точки, так как внутренние точки области определения и .

4) Выясним знаки производной:

Функция y=f(x) возрастает на промежутках (–∞; 1/5]; [1;+∞).

Функция y=f(x) убывает на промежутке [1/5; 1].

– точка максимума, f( ) – максимум функции.

1 – точка минимума, f(1) – минимум функции (рис. 3.6.1).

№2. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба: .

Решение.

1) D(f)=R

2) .

3) .

при .

Функция y=f(x) выпуклая на промежутке (–∞; 2].

Функция y=f(x) вогнутая на промежутке [2; +∞).

(2;–1) – точка перегиба.

№3. Найти вертикальные асимптоты линии:

а) y=tgx;

б) .

Решение.

а) Так как данная функция имеет разрыв в точках x= , то , .

Следовательно, , – вертикальные асимптоты.

б) Функция имеет бесконечный предел при х®2 и х®-2.

Значит, прямые х=2 и х= -2 (АВ и А′В′ на рис. 3.6.2) – асимптоты. Прямая АВ служит асимптотой для двух ветвей, UV и KL. Вдоль первой бесконечное удаление направлено вверх, вдоль второй – вниз (ибо и . Аналогично для прямой А′В′.

Заметим, что прямая х=0 служит горизонтальной асимптотой (для ветвей UV и U′V′).

№4.Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Находим область определения функции: (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; ¥).

2. Точки пересечения с осью ОХ: у=0, тогда

,

х=0, => (0; 0) – точка пересечения с осью ОХ.

Точки пересечения с осью ОУ: х=0, тогда

,

у=0, => (0; 0) – точка пересечения с осью ОУ.

3. Область определения симметрична относительно нуля

Таким образом, функция является нечетной.

4. Так как точки х = 1, х = –1 являются точками разрыва, то вычислим следующие пределы:

Значит х = 1, х = –1 – вертикальные асимптоты.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

5. Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = – ; x = ; x = –1; x = 1.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

x < – , y¢ > 0, функция возрастает

– < x < –1, y¢ < 0, функция убывает

–1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x, y¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = – является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно: – и .

6. Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

x < –1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

–1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

–1, 0, 1 – точки перегиба.

7. Построим график функции:

.

8. Область значения E(y)=R.

Варианты заданий

№3.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. на ;

5. .

№3.7.2. Исследовать на экстремум следующие функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

№3.3. Исследовать на выпуклость и вогнутость следующие функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

№3.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. на отрезке ;

2. на отрезке ;

3. на отрезке .

№3.5.Исследовать функции и построить их графики:

1. y=3x⁵–5x³+2;

2. y= ;

3. y= ;

4. y= ;

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. у = tg(x) – sin(x)

14. y = ctg(x) + cos(x)

Контрольные вопросы

1. Назовите основные пункты исследования графика функции.

2. Что называется областью определения функции?

3. Что называется областью значения функции?

4. Что является промежутками возрастания функции?

5. Что является промежутками убывания функции

6. Когда график функции имеет выпуклость?

7. Когда график функции имеет вогнутость?

8. Что называется асимптотами?

9. Какие бывают асимптоты?

10. Как найти асимптоты?