Суть метода наименьших квадратов для множественной линейной регрессии.

Метод наименьших квадратов- это оценка параметров уравнения Ao, A1, A2. Этот метод позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного ~

признака (y) от расчетных (теоретических) yx минимальна:

∑(yi −yxi)2 →min. (2)

ix i

Чтобы найти минимум функции (2), надо вычислить производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю, т.к. равенство нулю про- изводной – необходимое условие экстремума. В результате получается система уравнений, решение которой и позволяет получить оценки пара- метров регрессии.

В общем виде линейную модель множественной регрессии можно записать следующим образом:

yi=β0+β1x1i+…+βmxmi+εi, i=1,n;

где yi – значение i-ой результативной переменной,

x1i…xmi – значения факторных переменных;

β0…βm – неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии;

εi – случайные ошибки модели множественной регрессии

5. Виды переменных в эконометрическом исследовании. Классы эконометрических моделей.

В эконометрической модели используются:

1) результативные (зависимые) переменные, которые в эконометрике называются объясняемыми переменными,

2) факторные (независимые) переменные, которые в эконометрике называются объясняющими переменными.

Среди экономических переменных, включенных в эконометрическую модель, выделяют:

1) экзогенные (независимые) переменные, значения которых задаются извне. В определенной степени данные переменные являются управляемыми;

2) эндогенные (зависимые или взаимозависимые) переменные (у), значения которых определяются внутри модели;

3) лаговые (экзогенные или эндогенные) переменные, которые относятся к предыдущим моментам времени и находятся в уравнении с переменными, относящимися к текущему моменту времени. Например: х -лаговая экзогенная переменная, у - лаговая эндогенная переменная;

4) предопределенные (объясняющие) переменные, к которым относятся лаговые (xt-1,), текущие (х) экзогенные переменные и лаговые эндогенные переменные (уt-1). Основная цель эконометрического моделирования - это характеристика значений одной или нескольких текущих эндогенных переменных в зависимости от значений предопределенных (объясняющих) переменных.

2. Существует три основных класса эконометрических моделей.

1. Модели временных рядов представляют собой зависимость результативной переменной от переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.

Модели временных рядов, в которых результативная переменная зависит от времени:

1) модель тренда (зависимость результативной переменной от трендовой компоненты);

2) модель сезонности (зависимость результативной переменной от сезонной компоненты);

3) модель тренда и сезонности.

Модели временных рядов, в которых результативная переменная зависит от переменных, датированных другими моментами времени:

1) объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений факторных переменных - модели с распределенным лагом;

2) объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений результативных переменных - модели авторегрессии;

3) объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости oт будущих значений факторных или результативных переменных - модели ожидания.

Модели временных рядов могут быть построены по стационарным и нестационарным временным рядам. Для стационарного временного ряда характерны постоянные во времени средняя, дисперсия и автокорреляция.

2. Регрессионные модели с одним уравнением, в которых результативная (зависимая) переменная у может быть представлена в виде функции факторных (независимых) переменных.

По количеству факторных переменных регрессионные модели делятся на парные (с одной переменной) и множественные регрессии.

По виду функции регрессионные модели делятся на линейные и нелинейные регрессии.

3. Системы одновременных уравнений, которые описываются системами взаимозависимых регрессионных уравнений.

Системы состоят из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может включать в себя как факторные переменные, так и результативные переменные из других уравнений системы. Отличие тождеств от регрессионных уравнений заключается в том, что их вид и значения параметров известны.

Регрессионные уравнения, входящие в состав системы, называются поведенческими уравнениями. Значения параметров этих уравнений являются неизвестными и подлежат оцениванию.

Примером системы одновременных уравнений служит модель спроса и предложения, состоящая из трех уравнений: (уравнения предложения, уравнения спроса, тождества равновесия).

3. В эконометрическом моделировании наиболее распространенными являются следующие эконометрические модели:

1) модели потребительского и сберегательного потребления;

2) модели взаимосвязи риска и доходности ценных бумаг;

3) модели предложения труда;

4) макроэкономические модели (модель роста);

5) модели инвестиций.

6. Парный регрессионный анализ. Функция парной регрессии. Причины присутствия в модели случайной составляющей.

Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:

выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);

оценку параметров уравнения;

оценку качества аналитического уравнения регрессии.

В парной регрессии выбор вида математической функции Y(x)=f(x) может быть осуществлен тремя методами:

1) графическим;

2) аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

3) экспериментальным.

При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден.

Yx=a+b*x и Yx= a+b*x+c*x в квадрате

Введение случайной составляющей в модель обуславливается следующими основными причинами: присутствие неконтролируемых ошибок (возмущений), введение в модель излишних или наоборот отсутствие в модели необходимых обьясняющих переменных , влияние методических и вычислительных погрешностей.

7. Гетероскедастичность. Метод Спирмена.

Гетероскедастичность (англ. Heterosсedasticity) — понятие, используемое в эконометрике, означающее неоднородность наблюдений, выражающуюся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели. Гетероскедастичность противоположна понятию гомоскедастичность, которое означает однородность наблюдений, то есть постоянство дисперсии случайных ошибок модели.

Наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов. Кроме того, в этом случае оказывается смещённой и несостоятельной классическая оценка ковариационной матрицы МНК-оценок параметров. Следовательно статистические выводы о качестве полученных оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на гетероскедастичность является одной из необходимых процедур при построении регрессионных моделей.

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.

Описание метода

Для подсчета ранговой корреляции Спирмена необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:

1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;

2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например, личностные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.);

3) две групповые иерархии признаков;

4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков. Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.

8. Классическая линейная регрессионная модель и ее предпосылки.

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели основан на методе наименьших квадратов (МНК). Вычисление оценок МНК не требует, вообще-то говоря, введения каких-либо дополнительных гипотез. Сам метод часто рассматривают как способ «разумного» выравнивания эмпирических данных. Относительно оценок МНК можно сделать следующие выводы:

1. Оценки МНК являются функциями от выборки, что позволяет их легко рассчитывать.

2.Оценки МНК являются точечными оценками теоретических коэффициентоврегрессии,т.е. M(ai)=αi i=0,k 2

3.Эмпирическое уравнение регрессии строится таким образом, что ∑ ei = 0 и среднее значение отклонений будет равно 0.

В то же время оценки a = (a0 , a1 , a2 ,....ak ) , вычисленные по МНК, не позволяют сделать вывод, насколько близки найденные значения параметров к своим теоретическим прототипам α = (α0 ,α1 ,.....αk ) и насколько надежны найденные оценки. Поэтому для оценки адекватности модели и ее

прогностической способности необходимо введение дополнительных предположений.

В классической модели линейной регрессии делаются следующие теоретические ограничения на модель:

• Факторные (объясняющие) переменные (X1,X2,.....Xk ) являются

неслучайными величинами.

• Ни одна из объясняющих переменных не является строгой линейной

функцией других объясняющих переменных. Следовательно, ранг матрицы X равен k + 1 < n , где k – число факторных переменных, n .-число наблюдений

Свойства оценок МНК напрямую зависят от свойств случайного членаε . Покажем это на примере множественной регрессии: Y = X ⋅ A + ε

Сформируем основные предпосылки:

1. Нулевое математическое ожидание ошибок;

2. Диагональность ковариационной матрицы ошибок;

3. Отсутствие гетероскедастичности в модели.

Нарушение любой из этих предпосылок ведет к искажению полученных результатов. Можно не обнаружить существующую зависимость или построить ложную модель. Поэтому, за кажущейся простотой метода скрывается целый комплекс проблем, неочевидных на первый взгляд.

9. Коэффициент эластичности. Средний и точечный коэффициент эластичности линейной, гиперболической, степенной и показательной функции.

Эластичность показывает, на сколько процентов в среднем изменится показатель у от своего среднего значения при изменении фактора х на 1% от своей средней величины:

Средний коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего среднего уровня, если факторная переменная х изменится на 1 % относительного своего среднего уровня

Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для среднего значения

факторной переменной х:

Где.

– значение функции у при среднем значении факторной переменной х.

Для каждой из разновидностей нелинейных функций средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам.

Для линейной функции вида: yi=β0+β1xi, средний коэффициент эластичности определяется по формуле:

Для показательной функции вида:

средний коэффициент эластичности определяется по формуле:

Для степенной функции вида:

средний коэффициент эластичности определяется по формуле:

Точечные коэффициенты эластичности характеризуются тем, что эластичность функции зависит от заданного значения факторной переменной х1.

Точечный коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего значения в точке х1, если факторная переменная изменится на 1 % относительно заданного уровня х1.

Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для заданного значения х1факторной переменной х:

Для линейной функции вида:

yi=β0+β1xi,

точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:

В знаменателе данного показателя стоит значение линейной функции в точке х1.

Для показательной функции вида:

точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:

Для степенной функции вида:

точечный коэффициент эластичности определяется по формуле: