Операторний метод. Передавальна функція

Найбільш поширеним методом опису автоматичних систем є операторний метод (метод операційного числення). У основі методу лежить перетворення Лапласа:

яке встановлює відповідність між функціями дійсної змінної t і функціями комплексного змінного р. Функцію часу x(t), що входить в інтеграл Лапласа називають оригіналом, а результат інтеграції - функцію x(p) - зображенням функції x(t) по Лапласу.

Перетворення Лапласа здійснюється лише для таких функцій часу, які дорівнюють нулю при t < 0. Ця умова забезпечується зазвичай множенням функції x(t) на одиничну стрибкоподібну функцію 1(t). З математичної і фізичної точок зору такий штучний прийом коректний, оскільки функції x(t) описують процеси в автоматичних системах, що починаються з деякого моменту часу, а цей момент часу завжди можна вважати початком відліку.

Для знаходження зображень по Лапласу різних функцій існую довідкові таблиці.

Основні властивості перетворення Лапласа приведені в таблиці.

Властивість	Оригінал	Зображення
Лінійність	ax(t) x1(t) x2(t)	aX(p) X1(p) X2(p)
Правило диференціювання (за нульових початкових умов)		X(p)*pk
Правило інтеграції (за нульових початкових умов)
Зміна масштабу часу (теорема подібності)		X(pTm)*Tm
Зсув аргументу оригіналу (теорема запізнювання)
Теорема про початкове значення оригіналу
Теорема про кінцеве значення оригіналу

Найбільш важливими властивостями перетворення Лапласа є наступні правила:

при нульових початкових умовах диференціюванню оригіналу x(t) по

змінною t відповідає перемноження зображення X(p) на комплексну

змінну p, а інтеграції оригіналу відповідає ділення X(p) на р.

Широке розповсюдження операційного методу в ТАУ обумовлене тим, що з його допомогою визначають передавальну функцію, яка є найкомпактнішою формою опису динамічних властивостей елементів і систем.

Застосуємо перетворення Лапласа до лінійного диференціального рівняння (2), вважаючи, що до застосування зовнішнього впливу система знаходилася у спокої і всі початкові умови дорівнюють нулю. Використовуючи властивість лінійності і правило диференціювання, можна отримати рівняння алгебри в зображеннях:

D(p)Y(p) = K(p)X(p) (3)

де D(p) = a₀pⁿ+a₁p^n-1+….+a_n – власний оператор

K(p) = b₀p^m+b₁p^m-1+…+b_m – вхідний оператор

Рівняння (3) отримане із рівняння (1) з використанням наступної заміни оригіналів зображеннями:

y(t)=Y(p), x(t)=X(p)

Передавальною функцією W(p) називають відношення зображення по Лапласу вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах

Для системи, що описується рівнянням (2), передавальна функція є деяким динамічним оператором, що характеризує проходження сигналів через лінійний елемент і незалежний від виду вхідного впливу x(t), і характеризує лише власні динамічні властивості описуваного елементу або системи.

Передавальну функцію формально можна отримати з диференціального рівняння шляхом заміни в ньому символу кратного диференціювання на відповідний степінь p і ділення утвореного таким чином багаточлена правої частини рівняння на багаточлен лівої частини.

Основні властивості і особливості передавальної функції САУ.

1. Передавальна функція встановлює зв'язок між вхідною і вихідною величиною, як в динамічному, так і в статичному режимах.

2. Передавальна функція реальних елементів - правильний раціональний дріб, у якого ступінь багаточлена чисельника менше або дорівнює ступеню багаточлена знаменника.

3. Всі коефіцієнти передавальної функції - дійсні числа, що характеризують параметри елементу або системи.

4. Передавальна функція є функцією комплексної змінної яка при деяких значеннях змінної p може звертатися в нуль або нескінченність. Значення змінної p, при якому функція W(p) звертається в нуль, називають нулем, а при якому звертається в нескінченність - полюсом передавальної функції. Нулі передавальної функції - корені полінома K(p), полюси - корені полінома D(p). Корені поліномів чисельника і знаменника можуть бути комплексним, уявними і дійсними. Якщо ці корені відомі, то передавальна функція може бути представлена у вигляді:

де - корені багаточлена K(p) (нулі W(p));

- корені багаточлена D(p) (полюса W(p)).

5. Передавальна функція елементу пов'язана з його імпульсною перехідною функцією перетворенням Лапласа:

Частотні характеристики

Частотні характеристики описують передавальні властивості елементів і системи в режимі усталених гармонійних коливань, викликаних зовнішнім гармонійним впливом. Частотні характеристики широко використовуються в теорії і практиці автоматичного керування, оскільки реальні збурення, що діють на САК, можуть бути представлені як сума гармонійних сигналів.

Для исследования частотных свойств системы и получения ее частотных характеристик на вход системы подают гармоническое воздействие определенной частоты и амплитуды X_m:

Після закінчення перехідного процесу елемент увійде до режиму усталених вимушених коливань, а вихідна величина у(t) змінюватиметься по гармонійному закону з тією ж частотою w, але з іншою амплітудою y_m, і зі зсувом по осі часу:

де - фазове зсув між вхідним і вихідним сигналами.

Повторюючи такий експеримент при фіксованому X_m для різних значень частоти (від 0 до ), можна встановити, що амплітуда y_m і фазовий зсув j вихідного сигналу елемента залежать від частоти впливу. Подаючи гармонійний вплив на вхід різних елементів, можна переконатися, що величини y_m і j залежать також від типу і параметрів елементу. Отже, залежності амплітуди y_m і зсуву j від значень частоти w можуть служити характеристиками динамічних властивостей елементів.

Залежність відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів від частоти називають амплітудною частотною характеристикою (скорочено - АЧХ) і позначають A(w).

Залежність фазового зсуву між вхідним і вихідним сигналами від частоти називають фазовою частотною характеристикою (скорочено - ФЧХ) і позначають j (w).

АЧХ показує, як елемент пропускає сигнали різної частоти. Оцінка пропускання проводиться по відношенню амплітуд y_m/x_m. ФЧХ показує, яке відставання або випередження вихідного сигналу по фазі створює елемент на різних частотах.

Амплітудну і фазову частотну характеристику можна об'єднати в одну загальну - амплитудно-фазову частотну характеристику (АФЧХ або АФХ). АФЧХ W(jw) є функцією комплексної змінної jw, модуль якої дорівнює A(w), а аргумент рівний j(w). Кожному фіксованому значенню частоти w_i відповідає комплексне число W(jw_i), яке на комплексній площині можна зобразити вектором, що має довжину А(w_i) і кут повороту j(w _i ).

При зміні частоти від нуля до нескінченості вектор W(jw) повертається навколо початку координат, при цьому одночасно збільшується або зменшується довжина вектора. Кожній точці характеристики відповідає певне значення частоти.

Проекції вектора W(jw) на дійсну і уявну осі називають відповідно дійсною P(w) і уявною Q(w) частотними характеристиками.

Дійсна частотна характеристика P(w) - завжди парна функція частоти, уявна Q(w) - завжди непарна функція.

Аналітичний вираз для АФЧХ можна отримати з передавальної функції шляхом підстановки р = jw:

W(jw) =

АФЧХ W(jw) може бути представлена:

- в показовій формі W(jw) = А(w)е^jj(w)

- в алгебраїчній W(jw) = P(w) + jQ(w)

- у тригонометричній W(jw) = A(w)cosj(w) + jA(w)sinj(w)

Зв'язок між різними частотними характеристиками:

А(w) = |W(jw)| =

j(w) = argW(jw) =

При практичних розрахунках САК зручно використовувати частотні характеристики, побудовані в логарифмічній системі координат. Такі характеристики називають логарифмічними. Вони мають меншу кривизну і тому можуть бути наближено, замінені ламаними лініями, складеними з декількох прямолінійних відрізків. До того ж, ці відрізки в більшості випадків вдається побудувати без громіздких обчислень за допомогою деяких простих правил. Крім того, в логарифмічній системі координат легко знаходити характеристики різних з'єднань елементів, оскільки множенню і діленню звичайних характеристик відповідає складання і віднімання ординат логарифмічних характеристик.

За одиницю довжини по осі частоти логарифмічних характеристик принимають декаду. Декада - інтервал частот, ув'язнений між довільним значенням w_iі його десятиразовим значенням 10*w_i. Відрізок логарифмічної осі частот, що відповідає одній декаді, дорівнює 1.

Логарифмічна амплітудна частотна характеристика ЛАЧХ:

L(w) = 20lgA(w).

Ординати ЛАЧХ вимірюються в белах (Б) або децибелах (дБ).

Бел - одиниця вимірювання відношення потужностей двох сигналів.

Якщо потужність одного сигналу більше (менше) потужності іншого сигналу в 10 разів, то ці потужності відрізняються на 1 Б. Оскільки потужність гармонійного сигналу пропорційна квадрату його амплітуди, то при застосуванні цієї одиниці для вимірювання відношення амплітуд перед логарифмом з'являється множник 2.