Вычисление длин участков линий заданных различными уравнениями

Тема. Приложение определённого интеграла к задачам вычисления объёмов тел и длин дуг кривых линий.

Занятие 15.

x

a

z

b

S(x)

x

y

S

рис.1.

Пусть некоторый объём находится в координатном пространстве между плоскостями . Через произвольную точку проводим плоскость перпендикулярную оси . Эта плоскость рассекает объём , образуя сечение площадь которого обозначим через . Это сечение символически можно считать бесконечно тонким цилиндром толщины . Таким образом этот неделимый объём равен .

Весь объём можно считать состоящим из таких неделимых объёмов. Отсюда

(15.1)

Пример 1.Найти объём прямого цилиндра высотой 7м, основанием которого является эллипс,

задаваемый уравнением .

Решение. На прошлом занятии мы доказали, что площадь эллипса даётся формулой .Направим ось симметрии цилиндра вдоль оси . Произведём сечение цилиндра плоскостью

. Сечением при любом будет эллипс, площадью .

Объём вычисляем по формуле (15.1)

Пример 2. Найти объём кругового конуса, ограниченного конической поверхностью

и плоскостью .

Решение. Произведём сечение конуса плоскостью . Сечением будет круг, уравнение которого . Следовательно, радиус круга . Площадь сечения это площадь круга . Объём вычисляем по формуле (15.1)

Пример 3. Найти объём тела, ограниченного цилиндрическим параболоидом

и плоскостью .

Решение. Произведём сечение тела плоскостью . Сечением будет круг, уравнение которого . Следовательно, радиус круга . Площадь сечения это площадь круга . Объём вычисляем по формуле (15.1)

Вычисление объёмов тел вращения .Вращение вокруг оси

На плоскости рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми : и прямыми .

Y

у=g(x)

X

a

x

b

рис. 2

Как и в предыдущих задачах через произвольную точку проводим плоскость перпендикулярную оси . Эта плоскость рассекает объём , образуя сечение площадь которого обозначим через : .

Это сечение символически можно считать бесконечно тонким цилиндром толщины . Таким образом, этот неуменьшаемый по толщине (неделимый) объём равен

.

Весь объём можно считать равным сумме этих элементарных объёмов т.е. определённому интегралу. Отсюда

(15.2)

Вращение вокруг оси

На плоскости рассмотрим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную кривыми : и прямыми .

A

Y

B

C

D

b

a

dx

x

рис.3

Трапеция ABCD вращается вокруг оси . Вычислим объём полученного тела вращения. Для

произвольного , вырежем в трапеции элементарную полоску шириной . Площадь полоски равна . Полоска, как и трапеция, вращаясь вокруг оси образует тончайшее цилиндрическое кольцо. Можно считать это кольцо намотанным на цилиндр радиуса . Если длину этой цилиндрической ленты умножить на площадь её торца , то получим объём этого элементарного цилиндрического кольца см. рис.3 . Объём , полученный от вращения трапеции вокруг оси , будет равен сумме объёмов этих элементарных колец то есть определённому интегралу

(15.3)

2

dS

рис.4

Рассмотрим примеры.

Пример 4.Вычислить объём тела, образованного вращением трапеции, ограниченной

линиями: вокруг: а) оси ОХ, б) оси ОУ.

Решение. При решении пункта а) применяем формулу (15.2). Для этого полагаем в формуле (15.2) Отсюда объём тела вращения равен

м .

Решаем пункт б). При решении пункта б) применяем формулу (15.3). Для этого полагаем в формуле (15.3) Отсюда объём тела вращения равен

=

Пример 5.Вычислить объём тела, образованного вращением трапеции, ограниченной

линиями: ,вокруг: а) оси ОХ, б) оси ОУ.

Решаем пункт а). Данные линии параболы. Они пересекаются в точках см.рис.5.

При решении пункта а) применяем формулу (15.2). Для этого полагаем в формуле (15.2 )

. Отсюда объём тела вращения равен

Рис.5.

При решении пункта б) применяем формулу (15.3). Для этого полагаем в формуле (15.3 )

. Отсюда объём тела вращения равен

=

Вычисление длин участков линий заданных различными уравнениями.

Правило 1.Пусть функция имеет непрерывную производную. Если кривая линия задана на координатной плоскости явным образом т.е. , то длина дуги кривой от

вычисляется по формуле

(15.4)

Правило 2.Пусть функции имеют непрерывные производные. Если кривая линия задана параметрическими уравнениями, т.е. ,то длина дуги кривой от вычисляется по формуле

(15.5)

Правило 3.Пусть функция имеет непрерывную производную.Если кривая линия задана уравнением в полярных координатах т.е. , то длина дуги кривой от вычисляется по формуле

(15.6)

Докажем сначала правило 2 .Пусть кривая задана параметрическими уравнениями . Разобьём отрезок на участки и приблизим кривую ломанной линией . На рис.6.Изображены участок дуги кривой

и соответствующее звено ломаной .

,

Длина , звена ломаной , вычисляется по теореме Пифагора =

Отсюда длина всей ломаной равна интегральной сумме

(15.7)

Так как функция непрерывна, то по теореме 3.1 интегральная сумма (15.7)

имеет при предельным значением определённый интеграл

Правило 2 доказано.

Правило 1 следует из правила 2, если положить .

Правило 3 примем без доказательства.

Рассмотрим примеры.

Пример 6.Вычислить длину цепной линии .

Решение. Кривая задана явным уравнением . Предварительно

вычисляем .

Применяем правило 1 формула (15.4). Для этого полагаем в формуле (15.4 ) , Отсюда

= .

Пример 7.Найти длину арки циклоиды:

Решение. Применяем правило 2 формула (15.5). Для этого полагаем в формуле (15.5 )

.

Предварительно вычисляем

Подставляя данные в формулу (15.5), получаем

Пример 8.Вычислить длину дуги кардиоиды ;

Решение. Применяем правило 3 формула (15.6). Для этого полагаем в формуле (15.6 )

Предварительно вычисляем .

Подставляя данные в формулу (15.6), получаем

=