Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 9 страница

где —функция, обратная функции y=4tg t

Найдем

Найдем :

y

Следовательно,

(**)

Найдем . Так как .

то

(***) y A(4;0)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно рис. 1 x

получим ,

причем (последнее следует из того, что y=4tg t и )

Контроль:

№ 383. Случайная величина X равномерно распределена в интервале . Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y =sinX.

Решение:

Найдем плотность распределения f(х) случайной величины X. Величина X распределена равномерно в интервале , поэтому в этом интервале

вне рассматриваемого интервала f(x)=0.

Функция y=sin x в интервале монотонна, следовательно,

в этом интервале она имеет обратную функцию .

Найдем производную :

Найдем искомую плотность распределения по формуле:

Учитывая, что (следовательно, ) и

, получим

Так как , причем , то . Таким образом, в интервале ( 1,1) имеем ;вне этого интервала

Контроль:

Лукинова Наталья

№384 Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0; ). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=sin X.

Решение:

Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X. Величина X распределена равномерно в интервале (0; ), поэтому в этом интервале

Вне рассматриваемого интервала f(x) =0.

Функция y=sin x в интервале (0; ) монотонна, следовательно, в этом интервале она имеет обратную функцию x= (y)=arcsin y.

Найдем производную :

Найдем искомую плотность распределения по формуле

Учитывая, что f(x)= , следовательно, , получим

Так как y=sin x, причем , то 0 < y < 1.

Таким образом, в интервале (0;1) имеем

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Ответ: на (0;1) и g(y)=0 вне этого интервала.

№385 Задана плотность распределения случайной величины X: f(x)= в интервале ; вне этого интервала f(x)=0. Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y = tg X.

Решение:

По условию f(x)= в интервале .

Вне этого интервала f(x) =0.

Функция y=tg x в интервале монотонна, следовательно, в этом интервале она имеет обратную функцию x= (y)=arctg y.

Найдем производную :

Найдем искомую плотность распределения по формуле

Учитывая, что f(x)= , следовательно, , получим

Так как y=tg x, причем , то -∞ < y < +∞.

Таким образом, в интервале (-∞;+∞) имеем

Контроль:

Ответ: на (-∞;+∞)

№386 Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0; 2π). Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=cos X.

Решение:

Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X

В интервале (0;2π) имеем f(x)=

Вне этого интервала f(x)=0

Из уравнения y=cos x найдем обратную функцию Так как в интервале (0;2π) функция не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (0; π) и (π; 2π), в которых эта функция монотонна. В интервале (0; π) обратная функция ; в интервале (π; 2π) обратная функция Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что f(x)= , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y=cos x, причем 0 < x < 2π, то -1 < y < 1. Таким образом, в интервале (-1;1) искомая плотность распределения ; вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Ответ: в интервале (-1;1); g(y)=0 вне этого интервала.

№387 Случайная величина X распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=cos X.

Решение:

Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X

В интервале имеем f(x)=

Вне этого интервала f(x)=0

Из уравнения y=cos x найдем обратную функцию Так как в интервале функция не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы в которых эта функция монотонна. В интервале обратная функция ; в интервале обратная функция Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что f(x)= , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем``

Так как y=cos x, причем , то 0 < y < 1. Таким образом, в интервале (0;1) искомая плотность распределения ; вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Ответ: в интервале (0;1); g(y)=0 вне этого интервала.

№388 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным а, и средним квадратическим отклонением, равным σ. Доказать, что линейная функция Y=AX+B также распределена нормально, причем M(Y)=Aa+B и σ(Y)=|A|σ.

Решение:

Найдем плотность распределения случайной величины X:

Функция y=Ax+B монотонна, поэтому применима формула

(*)

Найдем из уравнения y=Ax+B:

Найдем : (**)

Найдем :

Найдем : (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Отсюда видно, что линейная функция Y=AX+B распределена нормально, причем M(Y)=Aa+B и σ(Y)=|A|σ, что и требовалось доказать.

№389 Задана плотность , (-∞< x < +∞) нормально распределенной случайной величины X . Найти плотность распределения g(x) случайной величины Y=X².

Решение:

Из уравнения y=x² найдем обратную функцию. Так как в интервале (-∞; +∞) функция y=x²

не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞), в которых рассматриваемая функция монотонна. В интервале (-∞; 0) обратная функция ; В интервале (0; +∞) обратная функция .

Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что , , , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y=x², причем -∞ < x < +∞, то 0 < y < +∞.

Таким образом, в интервале (0;∞) искомая плотность распределения

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Положив y=t² и, следовательно, dy=2t dt, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона

Найдем

Ответ: в интервале (0;∞), g(y)=0 вне этого интервала.

№390 Задана плотность нормально распределенной случайной величины X . Найти плотность распределения случайной величины Y= X².

Решение:

Из уравнения y= x² найдем обратную функцию. Так как в интервале (-∞; +∞) функция y= x²

не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞), в которых рассматриваемая функция монотонна. В интервале (-∞; 0) обратная функция ; В интервале (0; +∞) обратная функция .

Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что , , , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y= x², причем -∞ < x < +∞, то 0 < y < +∞.

Таким образом, в интервале (0;∞) искомая плотность распределения

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Положив y=t² и, следовательно, dy=2t dt, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона

Найдем

Ответ: в интервале (0;∞), g(y)=0 вне этого интервала.

№391 Задана плотность распределения . Найти плотность распределения g(x) случайной величины Y= X².

Решение:

Из уравнения y= x² найдем обратную функцию. Так как в интервале (-∞; +∞) функция y= x² не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞), в которых рассматриваемая функция монотонна. В интервале (-∞; 0) обратная функция ; В интервале (0; +∞) обратная функция .

Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

(*)

Найдем производные обратных функций:

,

Найдем модули производных:

, (**)

Учитывая, что , , , получим

, (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

Так как y= x², причем -∞ < x < +∞, то 0 < y < +∞.

Таким образом, в интервале (0;∞) искомая плотность распределения

Вне этого интервала g(y)=0.

Контроль:

Положив y=t² и, следовательно, dy=2t dt, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона

Найдем

Ответ: в интервале (0;∞), g(y)=0 вне этого интервала.

№392 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)= в интервале (0; π); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y= , определив предварительно плотность распределения g(Y) величины Y.

Решение:

Найдем сначала плотность g(y) случайной величины Y. Так как функция y= для рассматриваемых значений (0 < x < π) строго возрастающая, то плотность g(y) будем искать по формуле ,

Где - функция, обратная функции Y=x². Подставляя и учитывая, что

f(x)= , , получим

Найдем математическое ожидание величины Y, учитывая, что возможные значения Y заключены в интервале (0; π²) (так как y = и 0 < x < π, то 0 < y < π² ):

Пользуясь подстановкой y=t² , получим

Интегрируя дважды по частям, окончательно имеем

Ответ:

№393 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)= в интервале (0; ); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y= .

Решение:

Подставив данные этой задачи, получаем

Ответ: