Параметры типовых импульсов

1.Активная длительность фронта экспоненциальной формы. Фронтовая часть импульса часто выражается ана­литически экспоненциальной функцией времени (рис. 7)

параметры типовых импульсов - student2.ru , (2.10)

где 1/β =θ — постоянная времени экспоненты.

Согласно формуле (2.3), активная длительность фронта определяется моментами t0,1 и t0,9, в которые величина им­пульса равна соответственно 0,1А и 0,9A; эти моменты на­ходятся из уравнений

параметры типовых импульсов - student2.ru

Так как βt0,1 << 1, то уравнение (а) можно упростить, используя для этого первые два члена разложения в ряд функции

параметры типовых импульсов - student2.ru

Подставив последний двучлен в уравнение (а), получим

параметры типовых импульсов - student2.ru (в)

Решая уравнение (б), найдем

параметры типовых импульсов - student2.ru (г)

Учитывая равенства (в) и (г), из формулы (3) получим

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.11)

Таким образом, активная длительность фронта экспонен­циальной формы в 2,2 раза больше постоянной времениθ.

2. Экспоненциальный импульс. Определим активную длительность экспоненциального импульса (рис. 8), выра­жаемого функцией

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.12)

где 1/β =θ — постоянная времени экспоненты.

параметры типовых импульсов - student2.ru

Рис. 7. Рис. 8.

Согласно формуле (2.2) активная длительность импульса определяется моментами t’0.5 иt’’0.5, в которые величина импульса равна 0,5А. Так как в данном случае длительность фронта импульса равна нулю, то t’0.5 =0. Момент t’’0.5— корень уравнения

параметры типовых импульсов - student2.ru

Подставляя найденные значения в формулу (2.2), получим
параметры типовых импульсов - student2.ru (2.13)

Таким образом, активная длительность экспоненциального импульса доставляет примерно 70% от постоянной времени θ.

3. Экспоненциальный импульс лишен плоской вершины, После мгновенного достижения высоты Асразу же начинается срез импульса Найдем его длительность. Замечаем, что при t > 0 функция (2.12) может быть представлена в виде разности А—[А(1 — e—βt)], где выражение в квадратных скобках совпадает с функцией (2.10). Следовательно, как это вытекает из формул (2.3), определение длительности среза экспоненциального им­пульса не отличается от определения длительности фронта, изменяющегося по экспоненциально-му закону (см. п. 1), поэтому ак­тивная длительность среза экспоненциального импульса

tc = 2,2θ (2.14)

4. Двухэкспоненциальный импульс — импульс, выра­жаемый разностью двух экспоне-нциальных функций:

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.15)

он имеет вид, показанный на рис. 9. Здесь при положитель­ной полярности импульса

β1< β2, и экспонента с постоян­ной времени θ2 = 1/ β2 определяет, в основном, восходя­щую часть импульса (фронт), а экспонента с постоянной времени θ1 = 1/ β1 определяет, в основном, падающую часть импульса (срез). В формуле (2.15) величина В не равна вы­соте А импульса, что ясно из приведенного на рис. 10 (в не­сколько уменьшенном масштабе) построения; здесь пунктир­ными линиями изображены графики двух составляющих

функции (2.15), разность которых представляет график рас­сматриваемого импульса. Как видно, В > А.

параметры типовых импульсов - student2.ru

Рис. 9. Рис. 10.

Продифференцировав функцию (2.15) по времени, из условия da/dt=0 можно найти момент параметры типовых импульсов - student2.ru в который функция a(t) достигает максимума amax = a(tm) =A. Отсюда можно найти высоту импульса

параметры типовых импульсов - student2.ru

График зависимости km = km(γ) приводится на рис. 11. Он позволяет по заданию величины В найти высоту А из равенства (2.16). При малых значениях γ < 2 высота

А<< В; при γ > 10 высота Априближается к В.

5. Из численного решения трех трансцендентных урав­нений

параметры типовых импульсов - student2.ru

параметры типовых импульсов - student2.ru

 
Рис 11.

находятся моменты времени t’0.5, t’’0.5, t’0.1, t’0.9, которые в соответствии с формулами (2.2) и (2.3) определяют активные длительности tи и tф. По данным таких вычислений постро-ены представленные на рис. II графики функций β1tи = Fи(γ) и β1tф= Fф(γ); они позволяют по заданным зна­чениям β1 и β2 (или θ1 и θ2) найти активные длительности tи и tф. В практически наиболее важных случаях (γ > 1,5) можно (с погрешностью менее 10%) пользоваться прибли­женными формулами:

параметры типовых импульсов - student2.ru

Из этих формул видно, что при γ → ∞длительности tи → 0,7/β1 и tф → 0. Такой результат согласуется с тем, что при γ → ∞также и β2, т. е. двухэкспоненциальный импульс вырождается в экспоненциальный импульс.

7. Колокольный импульс (рис. 12) выражается функцией

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.22)

параметры типовых импульсов - student2.ru

Рис. 12.

широко применяемой в теории вероятностей. Импульс такой формы играет особую роль в технике приема импульсных сигналов (в шумах): при таком импульсе смягчается проти-воречие между требованием сосредоточения энергии импульса во времени и требованием сосредоточения энергии импульса в спектре. Для сравнения укажем, что прямоугольный импульс наилучшим образом удовлетворяет первому требованию, но обладает чрезмерно широким спектром.

В соответствии с формулой (2.2), из условия (рис. 12)

параметры типовых импульсов - student2.ru

находим (после логарифмирования) активную длительность

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.23)

Максимальная крутизна импульса, определяемая из условия d2a/dt2= 0, соответствует моментам

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.24)

где учтено соотношение (2.23). Подставляя значение t = tи в формулу (2.22), получим

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.25)

Моменты ±t0,1 и ±t0,9, в которые величина импульса равна соответственно 0,1 А и 0,9 А, находятся из уравнений

параметры типовых импульсов - student2.ru

Отсюда активные длительности фронта и среза импульса

параметры типовых импульсов - student2.ru (2.26)

АКТИВНАЯ ШИРИНА СПЕКТРА ИМПУЛЬСОВ

1.Основные характеристики импульсных сигналов выражаются через временные и

амплитудные параметры. Соответственно основной математический аппарат импульсной техники — аппарат интегро-дифференциальных уравнений, решаемых обычно операционным методом. Однако если импульсный процесс описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, строгое или приближенное решение которого оказывается чрезмерно трудным или громоздким, то приходится прибегать к качественным спектральным представлениям. В таких случаях импульс той или иной

формы характеризуют активной шириной спектра (Δf)с, а цепь, подверженную действию импульса - шириной полосы пропускания (Δf)п. Затем устанавливают приближенное соотношение между (Δf)с и (Δf)п отвечающее требованиям конкретной задачи.

2. Известно, что основная энергия видео импульса сосредоточена в низкочастотной

части его энергетического спектра S2 =F(f)(рис. 17). При оперировании с «гладкими» (без существенного проявления наложенные паразитных колебаний) импульсами удовлетворительный результат качественного спектрального анализа получается в случае, если активная ширина спектра импульса определяется тем диапазоном частот от f= 0 до некоторой верхней частоты fв = (Δf)с, в котором сосредоточено 95%полной энергии импульса [ (Δf)с = (Δf)0,95 ].

параметры типовых импульсов - student2.ru

Рис. 17.

Наши рекомендации