Свойства последовательности Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи обладает рядом свойств.

Выведем выражение этих чисел через . Для этого установим связь между числами данной последовательности и следующей комбинаторной задачей.

«Найти число n – последовательностей, состоящих из нулей и единиц, в которых никакие две единицы не идут подряд».

Чтобы установить эту связь вспомним задачу о кроликах, с которой мы начали наше знакомство с последовательностью чисел Фибоначчи; сопоставим последовательности, о которой идёт речь в условии, пару кроликов по правилу: единицам соответствуют месяцы появления на свет одной из пар «предков» данной пары (включая и исходную), а нулями – все остальные месяцы. Например, последовательность 010010100010 устанавливает такую «генеалогию» - сама пара появилась в конце 11-го месяца, а её родители – в конце 7-го, «дед» - в конце 5-го, а «прадед» - в конце второго. Исходная пара кроликов зашифровывается при этом последовательностью 000000000000.

Ясно, что при этом ни в одной последовательности не могут стоять две единицы подряд – только что появившаяся пара не может, по условию, принести приплод в следующем месяце. Кроме того, при указанном правиле различным последовательностям отвечают различные пары кроликов, и обратно, две различные пары кроликов имеют разную «генеалогию», так как, каждый раз пара кроликов даёт приплод, состоящий также из одной пары.

Установленная связь показывает, что число n –последовательностей, обладающих указанным свойством, равно F(n).

Докажем теперь, что

F(n) = + + + …+ , где , если n нечётно, и , если n чётно, иными словами .

Есть такая комбинаторная задача о лестнице: «Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом». Решение этой задачи можно изобразить в виде лестницы, причём нуль означает место, где ломаная идёт вправо, а единица – место, где она идёт вверх (как показано на рисунке). При этом, так как ступенек двойной высоты на лестнице нет, в последовательности не могут идти две единицы подряд. Таким образом, число последовательностей из n нулей и k единиц будет равно числу лестниц, т. е. . Число же таких последовательностей, в которые входит ровно k единиц и n – k нулей, равно . Так как при этом должно выполнятся неравенство k ≤ n – k +1, то k изменяется от 0 до . Применяя правило суммы, приходим к соотношению F(n) = + + + …+ .

Данное равенство можно доказать иначе: по свойству сочетаний = + . Легко заметить, что последовательность чисел Фибоначчи обладает схожим свойством: F(n) = F(n – 1) + F(n – 2).

Процесс последовательных разбиений.

Заметим, что для решения комбинаторных задач часто применяют такой метод – устанавливают для задачи рекуррентное соотношение и показывают, что оно совпадает с рекуррентным соотношением для другой задачи, решение которой нам уже известно. Если при этом совпадают и начальные члены последовательностей в достаточном числе, то обе задачи имеют одинаковые решения.

Перечислим ещё свойства, которыми обладают числа последовательности Фибоначчи:

· Число Фибоначчи есть ближайшее целое число к , т. е. к n-му члену геометрической прогрессии ( , первый член которой , а знаменатель равен а. (это свойство доказывается с помощью записи формулы Бине и установления того факта, что абсолютная величина разности между членом последовательности Фибоначчи и членом данной прогрессии меньше .

Если использовать теорию пределов, то легко

можно показать, несколько видоизменив доказательство этой

теоремы, что

= 0.

Пользуясь доказанной теоремой, можно вычислять

числа Фибоначчи при помощи таблиц логарифмов.

Вычислим например вычислим .

a = = 1,6180

= 14∙ - = 2,5762

= 376,9

Ближайшее целое число к 376, 9 является число 377, это и есть .

При вычислении чисел Фибоначчи с большими

номерами мы уже не сможем по таблицам

логарифмов определить все цифры числа, а сможем указать

только несколько первых цифр его, так что

вычисление окажется приближенным.

· Свойства чисел Фибоначчи, связанные с делимостью:

1. Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.

2. Число Фибоначчи четно тогда и только тогда, когда его номер делится на 3.

3. Число Фибоначчи делится на 3 тогда и только тогда, когда его номер делится на 4.

4. Число Фибоначчи делится на 4 тогда и только тогда, когда его номер делится на 6.

5. Число Фибоначчи делится на 5 тогда и только тогда, когда его номер делится на 5.

6. Число Фибоначчи делится на 7 тогда и только тогда, когда его номер делится на 8.

7. Число Фибоначчи делится на 16 тогда и только тогда, когда его номер делится на 12.

(Эти свойства можно доказать, используя свойства делимости чисел, алгоритм Евклида , индукцию, а также свойство биномиальных коэффициентов: «если р – простое, а k≠0 и k≠p, то делится на р»).

· Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

· Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

· Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи.