Выпуклость функции. Точки перегиба

Применение производной в исследовании функций.

Возрастание и убывание функций.

Теорема (критерий монотонности дифференцируемой функции).Пусть функцияВыпуклость функции. Точки перегиба - student2.ruнепрерывна напромежутке Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда:

- для монотонного возрастания функции необходимо и достаточно, чтобы в Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru 0;

- для монотонного убывания функции необходимо и достаточно, чтобы в (а,в) Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru 0;

- для постоянности функции необходимо и достаточно, чтобы в (а,в) Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru =0.

Док-во. Докажем достаточность для возрастающей функции. Выберем произвольно точки Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . По теореме Лагранжа найдется точка Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , такая что Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . Т.к. оба множителя в правой части неотрицательны, то Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , т.е. Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . Следовательно, функция является монотонно возрастающей.

Докажем необходимость для возрастающей функции. Пусть f(x) – монотонно возрастает. Тогда Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , следовательно Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru в (а,в).

Для убывающей функции доказательства аналогичны.

Докажем необходимость для постоянной функции. Если f(x)=const в (а,в), то Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Докажем достаточность для постоянной функции. Пусть Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru в (a,b). Тогда тем более Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru в (a,b). Тогда по доказанному выше функция монотонно возрастает в (a,b), т.е. Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . С другой стороны, если Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru в (a,b), то тем более Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru в (a,b). Тогда по доказанному выше функция монотонно убывает в (a,b), т.е. Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . Одновременное выполнение этих условий возможно лишь при Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .▲

Пример. Найти промежутки монотонности функции Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Найдем производную Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . Очевидно, что при Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru производная Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , функция является возрастающей. При Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru производная Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , функция убывает.

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru

Экстремумы функции.

Пусть функция Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru задана на интервале Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Опр. Точка Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой ее окрестности выполняется условие: Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Опр. Точка Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru называется точкой локального минимума функции f(x), если в некоторой ее окрестности выполняется условие: Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru

Значения функции в точках локального минимума и максимума называют минимумом и максимумом функции. Минимум и максимум функции объединяют в понятие «экстремум функции»

(extr f).

Отметить отличия локального и глобального экстремумов.

Теорема (необходимое условие локального экстремума).Еслидифференцируемаяфункция имеет экстремум в точке Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , то ее производная в этой точке равна нулю: Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Док-во. Если Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - точка экстремума дифференцируемой функции, то существует некоторая окрестность этой точки, в которой выполнены условия теоремы Ферма. Тогда ее производная Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема (если эти точки входят в область определения). Например, функция Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru имеет экстремум в точке х=0, но не дифференцируема в ней.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются стационарными или критическими точками. Из теоремы следует, что точки локального экстремума функции являются ее критическими точками. Обратное утверждение неверно. Например, функция Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru имеет неотрицательную производную, т.е. возрастает на всей числовой оси, следовательно не имеет точек экстремума. В то же время, Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru является ее критической точкой.

Теорема (достаточное условие локального экстремума).Если при переходе через критическую точку Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru производная дифференцируемой функции меняет знак с «+» на «-», то Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - точка локального максимума, если с «-» на «+», то Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - точка локального минимума.

Док-во. В соответствии с достаточным условием монотонности, функция возрастает слева от Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru и убывает справа, тогда в силу непрерывности функции, Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru является точкой максимума. Аналогичные рассуждения для минимума.

Замечание. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.

Теорема (2 достаточное условие локального экстремума). Для того, чтобы функция имела локальный максимум (минимум) в критической точке Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовала непрерывная вторая производная и Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru ( Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru ).

(без док-ва).

Пример. Найти экстремумы функции Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru ;

Ее производная: Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Определим критические точки: Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - критические точки.

Определим знак производной в окрестностях критических точек.

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - точка минимума, Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - минимум функции;

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - точка максимума, Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - максимум функции.

§3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

При решении прикладных задач бывает нужно найти глобальные экстремумы функции на некотором промежутке. Если этот промежуток является отрезком, то экстремумы функция может достигать как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Пример. Найти наибольшее значение функции Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru на отрезке Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Решение. Данная функция является непрерывной на данном отрезке (т.к. знаменатель не обращается в нуль), а следовательно, может принимать экстремальные значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Вычислим производную:

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . Тогда критическими точками являются точки х=0 и х=-2. Данному отрезку принадлежит только точка х=0. Вычислим значения функции в точке экстремума и на концах отрезка:

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . Сравнивая эти значения, заключаем, что наибольшее значение функции достигается в точке х=0.

Выпуклость функции. Точки перегиба.

Опр. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке Х, если Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru . График выпуклой на промежутке Х функции расположен над любой ее секущей (и под любой ее касательной) на этом промежутке.

Аналогично вводится определение функции, выпуклой вниз (вогнутой).

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru

выпуклая (вверх) вогнутая (выпуклая вниз)

Теорема (критерий выпуклости функции). Пусть функция Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru дифференцируема в интервале (а,в). Тогда для выпуклости функции вниз необходимо и достаточно, чтобы Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru монотонно возрастала на этом интервале. Для выпуклости функции вверх необходимо и достаточно, чтобы Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru монотонно убывала на этом интервале.

Следствие (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции неотрицательна (неположительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru

Опр. Точки, в которых график функции меняет направление выпуклости, называются точками перегиба графика функции.

Абсциссы точек перегиба являются точками экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю: Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru .

Абсциссы точек, в которых выполняется необходимое условие, называются критическими точками второго рода. Если перегиб графика есть, то только в таких точках.

Теорема (достаточное условие точки перегиба).Пусть Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - дважды дифференцируема в интервале (а,в). Тогда если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru меняет знак, то точка Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru является точкой перегиба графика функции.

Замечание. Если смены знака второй производной не происходит, то перегиба графика в точке нет.

Пример. Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru , Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru ; Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru - точка перегиба.

Итак, чтобы найти интервалы выпуклости функции, нужно:

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых Выпуклость функции. Точки перегиба - student2.ru или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод о направлении выпуклости и точках перегиба на основании достаточных условий.

Наши рекомендации