Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

· Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .

· Область значений функции y = arcsin(x): .

· Функция арксинус - нечетная, так как .

· Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

· Асимптот нет.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

· Область определения функции арккосинус: .

· Область значений функции y = arccos(x): .

· Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба .

· Асимптот нет.

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

· Область определения функции y = arctg(x): .

· Область значений функции арктангенс: .

· Функция арктангенс - нечетная, так как .

· Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .

· Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

· Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .

· Область значений функции y = arcctg(x): .

· Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция убывает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба .

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .

Сложная функция

Если функция y зависит от переменной u, т. е. у = f (u), u U, а u, в свою очередь, является какой - либо функцией от независимой переменной х, т. е u = g (x), х Х, то переменная у называется функцией от функции (или сложной функцией) от x и записывается в виде Y = f (u), u = g (x), или y = f [g (x)].
Область определения сложной функции - это множество тех значений х X, для которых функция g (x) определена, кроме того, значения u принадлежат области определения функции y = f (u).
П р и м е р 3. Функция является сложной. Здесь y = √ u и u = x² − 2·x − 3.
Функция u = x² − 2·x − 3 определена на всей числовой прямой, т. е. x R. В область определения функции y = f (x) входят лишь те значения х, для которых подкоренное выражение неотрицательно x² − 2·x − 3 ≥ 0, поэтому х ≤ − 1 и х ≥ 3. Следовательно, D = (− ∞, 1] [3, + ∞) . На интервале [− 1, 3] заданная функция не существует.
Из определения следует, что сложная функция у = f [g (x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций: у = f (u), u = g (x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной х.

Понятие обратной функции

Если функция задана уравнением вида f (x, y) = 0, не разрешенным относительно у, то она при некоторых условиях называется неявной функцией аргумента x.
Пусть задана некоторая функция у = f(х), которая каждому элементу из множества D (f) ставится в соответствие один элемент из множества Е ( f ). Если обратное соответствие есть тоже функция, то есть, каждому значению у E( f ) соответствует единственное значение х D ( f ), то ее называют обратной функцией по отношению к функции f (х).
В этом случае соотношение у = f (х) определяет х как неявную функцию от у. Если это соотношение разрешимо относительно х, то получим явное выражение обратной функции: х = g (у).
Если функция g является обратной по отношению к функции f, то и функция f является обратной по отношению к функции g, т. е. эти две функции - взаимно-обратные.
Одна и та же кривая у = f (х) представляет собой график функции у = f (х) и график обратной функции х = g (у) (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси Оу, а значения функции - на оси Ох.
Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через х, а функцию − через у, то функция, обратная по отношению к у = f(х), запишется в виде у = g (х). В этом случае график функции у = g (х) симметричен графику функции у = f (х) относительно прямой у = х − биссектрисы I и III координатных углов.
Для взаимно - обратных функций имеют место следующие соотношения

D ( f ) = E ( g ), E ( f )= D (g),

т. е. область определения данной функции совпадает с множеством значений обратной функции, и наоборот.