Задачи с целочисленными неизвестными

Целочисленность неизвестного обычно является дополнительным условием, позволяющим выбрать однозначно из некоторого множества значений, удовлетворяющим остальным условиям задачи. Уравнения с целочисленными коэффициентами и значениями неизвестных обычно называют диофантовыми.

Греческий математик Диофант из Александрии жил в конце III века до нашей эры. Он отошел от традиционных в греческой математике геометрических проблем и занимался алгеброй. Основное его произведение "Арифметика" Сохранилось лишь шесть томов из предполагаемых тринадцати. В них содержится 189 уравнений с решениями. В большинстве случаев это неопределенные уравнения, т.е. имеющие несколько решений. Автора интересуют только одни решения

— положительные и целые (иногда рациональные). Общих методов Диофант не приводит: они меняются от задачи к задаче.

ПРИМЕР 1.15. (Задача из "Арифметики" Диофанта). Найти три натуральных числа так, чтобы суммы всех трех и каждых двух были квадратами.

РЕШЕНИЕ. По условию задачи нужно найти хотя бы один такой набор чисел. Сам Диофант приводит такое решение. Положим, что сумма всех трех чисел равна

x²+2x +1=(x +1)².

Положим далее, что сумма первого и второго числа равна х². Тогда третье

число равно 2х + 1. Пусть теперь сумма второго и третьего числа равна x²−2x +1=(x −1)².

Тогда получим, что первое число равно 4х, а второе — х² - 4х. Далее, сумма первого и третьего, равная 6х + 1, должна быть полным квадратом некоторого числа, например 11² = 121. Тогда для определения х получим уравнение

6х+ 1 = 121,

откуда х = 20. На основании этого находим: первое число равно 80, второе число равно 320, третье число 41. Ясно, что решение не единственное, мы можем, например, взять 6х + 1 = 13² или 6 х + 1 = 5².

Заметим, что сам Диофант не ставил задачу найти все тройки чисел, удовлетворяющих условию. Тем более, что в данном случае их бесконечно много. Вы можете сами попробовать найти все такие числа. □

ОТВЕТ. 80, 320, 41.

ПРИМЕР 1.16. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4, 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем "троек" было больше, чём "пятерок", и меньше, чем "четверок". Кроме того, число "четверок" делилось на 10, а число 'пятерок" было четным. Определить сколько каких оценок получила группа?

РЕШЕНИЕ. Обозначим число "двоек" — х, "троек" — у, "четверок" — z, "пятерок" — u. Тогда условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений и неравенств:

x + y + z + u =30 ,2x + 3y + 4z + 5u = 93 ,

y > u ,

y < z ,

z = k ⋅10 ,

u =2l ,

причем l, k — натуральные числа.

Вычитая из второго уравнения первое, получаем

1 2

x +2 y +3z +4u =63.

(8)

Так как z кратно 10, то единственное возможное значение для k это 1. Действительно, при k > 1 уравнение (8) не имеет решения в целых положительных числах. Итак, z = 10.

Используя это, перейдем от уравнения (8) к уравнению x +2 y +4u =33 .

Возможные значения для u (оно должно быть положительным четным и меньшим у < 10) u = 2,4,6,8. Однако при u = 6 и u= 8 получаем, что u > у при любом х. Следовательно, проверке подлежат лишь значения 4 и 2.

При u = 4 неизвестные х и у можно найти из следующей системы уравнений:

x +2 y =17,2x + 3y = 33^,

решением которой является пара у = 1, х = 15, не удовлетворяющая условию

у > u. При u = 2 система уравнений для х и у имеет вид

x + 2 y = 25, _.

2x + 3y = 43

Решение этой системы х = 11, у = 7 удовлетворяет условиям задачи. □ ОТВЕТ. "Пятерок" — 2, "четверок" — 10, "троек" — 7, "двоек" — 11. ПРИМЕР 1.17. В первой коробке находилось некоторое количество

красных шаров, а во второй — синих, причем число красных шаров составляло 15/19 от числа синих шаров. Когда из коробок удалили 3/7 красных шаров и 2/5 синих, то в первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй — более 1000 шаров. Сколько шаров первоначально было в каждой коробке?

РЕШЕНИЕ. Если обозначить число красных шаров через х, а число синих шаров через у, то условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений и неравенств:

x =₁₉¹⁵ y ,₇⁴ x <1000 ,

₅³ y >1000 .

Так как число шаров должно быть целым положительным, то у должно делится на 5 и 19, а значит и на их произведение, т.е. на 95. Число х должно делиться на 7 и на 15, т.е. — на 105.

Введем новые неизвестные y = 95y₁ , x =105x₁ . Тогда система примет

вид:

7x₁ = 5y₁ ,

3x₁ < 50 ,

57 y₁ >1000 ,

числа х₁ и у₁ — натуральные.

Учитывая, что (в силу первого уравнения) х₁ кратно 5, a у₁ кратно 7, вводим новые неизвестные x₁ = 5x₂ , y₁ = 7 y₂ . Тогда система становится однозначно разрешимой

x₂= y₂, x₂<4, y₂>2.

Следовательно, х₂ = y₂ = 3. Поэтому x =7⋅15x₁⋅5x₂=1575, а

y =5⋅19 y₁=5⋅19⋅7 y₂=1995.□ОТВЕТ. 1575 и 1995.