Линейные действия над матрицами

Лекция 4

Раздел 3. Матрицы.

Первоначальные сведения о матрице.

Определение 1. Прямоугольной, или - матрицей называется совокупность чисел , расположенных в виде прямоугольной таблицы из т строк и п столбцов:

. (1)

Размер матрицы А обозначается символом: . Числа называются элементами матрицы А. У элемента первый индекс указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице.

Например, матрица

имеет размер , её элемент , принадлежащий 3-ей строке и 1-му столбцу, равен .

Определение 2.Матрица называется комплексной, если хотя бы один ее элемент является комплексным числом, и действительной, если все ее элементы – действительные числа.

Пример.

- комплексная матрица, - действительная матрица.

В учебной и математической литературе встречаются следующие обозначения матриц: , , , где , . (Запись означает, что )

Матрицы А и В имеют одинаковый размер, т.е. , если они содержат равное количество строк и столбцов.

Определение 3.Матрицы А и В называются равными, если , и их соответствующие элементы равны, т.е. , , . В таких случаях пишут .

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:

, .

Матрица, имеющая лишь один столбец, называется матрицей-столбцом:

, .

Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой. Нулевые матрицы разных размеров принято обозначать одним и тем же символом О, что не приводит к недоразумениям.

Линейные действия над матрицами.

Определение 1. Пусть матрицы А, В и С такие, что . Суммой матриц А и В называется такая матрица , элементы которой определяются равенствами , где , .

Пример.

а) - сложение не имеет смысла, т.к. матрицы разного размера;

б) .

Определение 2. Матрица называется противоположной матрицей к матрице А, если и каждый элемент матрицы есть элемент матрицы А, взятый с противоположным знаком.

Пример. Если , то противоположная матрица .

Свойства операции сложения матриц.

Для матриц А, В, С, О таких, что , справедливы следующие утверждения:

1. (сложение матриц коммутативно);

2. (сложение матриц ассоциативно);

3. (свойство нулевой матрицы);

4. .

Сложение матриц обладает обратной операцией – вычитанием.

Определение 3. Пусть матрицы А, В и С такие, что . Разностью матриц А и В называется такая матрица , элементы которой определяются равенствами , где , .

Пример.

а)

б) - вычитание не имеет смысла, т.к. матрицы разного размера.

Определение 4. Пусть матрицы А и В такие, что . Произведением матрицы А на число l называется матрица , элементы которой определяются равенствами: , где , .

Пример.

Свойства операции умножения матрицы на число.

Для матриц А и В таких, что , и любых действительных чисел a и b справедливы равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Умножение матриц.

Определение 1.Матрица А называется согласованнойс матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. , .

Из согласованности матрицы А с матрицей В, не следует согласованность матрицы В с матрицей А.

Пример.

, .

Матрица А согласована с матрицей В (А имеет 3 столбца, В – 3 строки), но матрица В не согласована с матрицей А (В имеет 3 столбца, А – 3 строки).

Определение 2. Пусть матрица А согласована с матрицей В, т.е. , . Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица , размер которой равен , а элементы вычисляются по формулам:

, ; .

Пример.

1) ,

. В этом примере произведение определено, а произведение не определено, т.к. число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

Оба произведения и определены, если , .

Пример. Для матриц и определены произведения и , т.к. , . Найдем произведение :

, .

Вычислим :

, .

Из приведенных примеров видно, что если даже оба произведения и имеют смысл, то эти произведения могут оказаться не одинаковыми, т.е. умножение матриц не обладает свойством коммутативности.

Свойства операции умножения матриц.

1. ;

2. ;

3. .

Эти свойства доказываются непосредственной проверкой. Докажем, например, свойство 3. Пусть , , . По определению произведения матриц элементами произведений и будут элементы и , а элементами двойных произведений и - соответственно элементы и . Таким образом, соответствующие элементы матриц и равны. Следовательно, сами эти матрицы равны.

3.4 Операции над матрицами: транспонирование, комплексное сопряжение, сопряжение по Эрмиту.

Определение 1. Транспонированием матрицы А называется операция замены каждой ее строки столбцом с тем же номером. Полученную в результате этой операции матрицу называют транспонированной к матрице А и обозначают через .

Если А – матрица размера , то - матрица размера .

Пример. , .

Запишем транспонированную матрицу: , .

Определение 2. Комплексным сопряжением матрицы А называется операция замены каждого элемента матрицы А на комплексно сопряженный ему элемент. Матрица, полученная в результате этой операции, называется комплексно сопряженной с матрицей А и обозначается .

Пример. Пусть .

Представим все элементы матрицы А в алгебраической форме

,

тогда комплексно сопряженная матрица имеет вид

.

Определение 3. Сопряженим по Эрмиту матрицы А называется операция сочетающая транспонирование и комплексное сопряжение. Матрица, полученная в результате этой операции, называется эрмитово-сопряженной с матрицей А и обозначается , т.е. .

Пример. Пусть ,

тогда и .

Для всех трех операций, непосредственной проверкой, можно доказать следующие свойства:

I. II.

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) ;

III. IV.

7) ; 10) ;

8) ; 11) .

9) ;

3.5 Квадратные матрицы.

Определение 1. Квадратной матрицей называется матрица А, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. .

В квадратной матрице совокупность элементов на линии, соединяющей верхний левый угол с правым нижним, называют главной диагональю. У элементов главной диагонали номер строки совпадает с номером столбца. Например, у матрицы размера элементы образуют главную диагональ.

Определение 2.Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, т.е.

называют диагональными.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали одинаковые, называется скалярной. Частным случаем скалярных матриц является единичная матрица

.

Легко видеть, что .

Определение 3.Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. При этом матрицу вида

называют верхней треугольной матрицей, а матрицу вида

-нижней треугольной матрицей.

Определение 4.Квадратную матрицу А называют симметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е. .

Например, рассмотрим матрицу . Так как транспонированная матрица имеет вид: , то матрица А симметрическая.

Определение 5. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если при транспонировании она меняет свой знак, т.е. .

Например, для матрицы , транспонированная матрица имеет вид: , поэтому матрица А кососимметрическая.

Определение 5. Квадратная матрица называется эрмитовой, если она равна эрмитово-сопряженной, т.е. .

Определение 6. Квадратная матрица называется ортогональной, если ее произведение на

транспонированную матрицу равно единичной матрице, т.е.

.

Определение 7. Квадратная матрица называется унитарной, если ее произведение на

эрмитово-сопряженную матрицу равно единичной матрице, т.е.

.

При помощи матриц изучаются свойства различных устройств в электротехнике и технике сверхвысоких частот (СВЧ).

В частности, в технике сверхвысоких частот (СВЧ) применяют матрицу рассеяния S, связывающую амплитуды волн, бегущих к устройству и амплитуды волн, бегущих от устройства :

,

где п – число каналов, по которым волны бегут к устройству или от него. В теории устройств СВЧ доказывается, что необходимым и достаточным условием отсутствия потерь в устройстве служит унитарность матрицы рассеяния.

Пример. Проверить, обладает ли потерями устройство, описываемое матрицей рассеяния

.

Решение. Проверим, будет ли матрица S унитарной.

1. Ищем эрмитово-сопряженную матрицу.

Þ

2. Проверяем равенство .