Примеры решения комбинаторных задач

При решении конкретной комбинаторной задачи надо сначала выяснить, не решается ли она непосредственно применением правил суммы и произведения. Если такое решение окажется затруднительным, то следует составить математическую схему решаемой задачи, выяснив, идет ли в ней речь о составлении кортежей или подмножеств.

Приведем примеры решения комбинаторных задач.

З а д а ч а 1. Из города А в город В ведут 6 дорог, из города В в город С – 4 дороги и из города С в город D – 8 дорог. Сколько можно выбрать маршрутов, ведущих из города А в город D через города В и С?

Решение. Каждый путь искомого вида задается тройкой (а, b, с), где а – один из путей, соединяющих А и В, b – один из путей, соединяющих В и С, с – один из путей, соединяющих С и D. Так как по условию а можно выбрать шестью способами, b – четырьмя способами, с – восемью способами, то тройку (а, b, с) можно по правилу произведения выбрать 6 · 4 · 8 = 192 способами. Итак, можно выбрать 192 маршрута.

З а д а ч а 2. В отделении 12 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из трех человек?

Решение. Так как порядок солдат не играет роли, то надо выбрать из множества, содержащего 12 элементов, подмножества, содержащие по 3 элемента. Число таких подмножеств равно .

. Составить наряд можно 220 способами.

З а д а ч а 3. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

Решение. Обозначим пять имеющихся цветов буквами а, b, с, d, e. Тогда любой флаг «зашифровывается» кортежем из трех различных букв. Поэтому число флагов равно числу размещений без повторений из 5 по 3, т.е. = 5 · 4 · 3 = 60.

З а д а ч а 4. Чему равно число подмножеств m элементного множества А?

Решение. Обозначим , тогда каждое подмножество «зашифровывается» кортежем, состоящем из 0 и 1, по следующему правилу. Если элемент а_i принадлежит подмножеству М, на i-ое место в кортеже пишем 1, если не принадлежит М, то на i-ое место пишем 0, в результате получим кортежи длиной m, состоящее из 1 и 0. Например, пустому множеству будет соответствовать кортеж, состоящий из одних нулей: (0, 0, …, 0). Множеству А соответствует кортеж, состоящий из одних единиц (1, 1, …, 1). Подмножеству М = {а₃, а₅} – кортеж (0, 0, 1, 0, 1, 0, …, 0). Итак, каждому подмножеству поставлен в соответствие единственный кортеж из 0 и 1, обратно, каждый такой кортеж определяет единственное подмножество множества А. Поэтому задача отыскания числа всех подмножеств множества А сводится к отысканию числа кортежей длиной m, составленных из 0 и 1, но каждый такой кортеж является размещением с повторениями из 2 по m. Следовательно, число всех таких кортежей равно , значит, число всех подмножеств множества А, состоящего из m элементов, равно 2^m.

Замечание. Число всех подмножеств А можно найти как сумму: . Поэтому

. Это еще одно из свойств числа сочетаний.

§ 5. Перестановки и сочетания с повторениями

Решим следующую з а д а ч у:

Найти число перестановок с повторениями из букв а, а, а, b, b, с, с.

Решение. Сначала перенумеруем все буквы так: а₁, а₂, а.₃, b₁, b₂, с₁, с₂. Считая теперь все буквы различными, из них можно составить 7! перестановок. Заметим при этом, что 7 = 3 + 2 + 2.

Теперь уберем номера при буквах и тогда получим перестановки с повторениями из букв а, а, а, b, b, с, с. При этом одна и та же перестановка с повторениями получается несколько раз. Например, перестановка с повторениями (а, а, а, b, b, с, с) получается из всех перестановок букв (а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, с₁, с₂),в которых на первых трех местах стоят буквы а₁, а₂, а₃ (в любом порядке), на четвертом и пятом – буквы b₁, b₂(влюбом порядке), а шестое и седьмое место занимают буквы с₁и с₂ (в любом порядке). Но буквы а₁, а₂, а₃ можно переставлять 3!способами, буквы b₁, b₂ – 2!способами, буквы с₁, с₂ – 2!способами. Поскольку эти способы можно произвольно комбинировать друг с другом, то получаем, что перестановка (а, а, а, b, b, с, с)получается из 3! · 2! · 2! перестановок букв а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, с₁, с₂. Столькими же способами можно получить любую другую перестановку с повторениями из букв а, а, а, b, b, с, с. Значит, число различных перестановок с повторениями в 3! · 2! · 2! раз меньше общего числа перестановок семи букв а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, с₁, с₂, т.е. равно .

Рассуждая аналогично, как в приведенной выше задаче, можно найти число перестановок с повторениями, имеющих состав (п₁, п₂, п₃, ..., п_т). Их число обозначается Р(п₁, п₂, ..., п_т) и выражается формулой:

.

Из этой формулы вытекает, что, если задано множество, состоящее из (т – k)букв а и k букв b, то число перестановок с повторениями будет равно: , но это число равно (см. формулу в § 2 этой главы).

Значит, получим: .

П р и м е р. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «кишмиш»?

Решение. Слово «кишмиш» состоит из 6 букв и их можно переставить 6! =720 способами. Однако, заметим, что в этом слове дважды повторяются буквы «и» и «ш», а потому при перестановке, например, 2-й и 5-й букв, слово не меняется. Сосчитаем сначала число перестановок букв, не меняющих слово. Итак, можно оставить все буквы на месте; можно поменять местами буквы «и», можно поменять местами буквы «ш», можно поменять местами и две буквы «и» и две буквы «ш». Значит, число таких способов всего 4. Число различных перестановок букв слова «кишмиш» в 4 раза меньше, чем 720, т.е. равно 720 : 4 = 180.Или по формуле Р(1, 2, 2, 1)= .

Выше мы нашли число кортежей данного состава. Найдем теперь число различных составов, которые могут иметь кортежи длины п, состоящие из элементов множества X, содержащего т элементов. Каждый такой состав является кортежем, состоящим из т чисел п₁, п₂, ..., п_т, таких, что п₁ + п₂ + ... + п_т = п. Его можно записать в виде кортежа из нулей и единиц, заменив каждое число соответствующим числом единиц и поставив 0после каждой группы единиц, кроме последней. Например, вместо кортежа (4, 2, 1) можно записать (1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1), а вместо кортежа (2, 0, 0, 3) – кортеж (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1). Число единиц, входящих в полученные кортежи, равно п₁ + п₂ + ... + п_т = п, а число нулей равно равно т – 1. Поэтому число различных кортежей такого вида равно числу перестановок с повторениями из п единиц и т – 1нулей, т.е. Р(п, т – 1).По формуле, выведенной выше, получим Р(п, т – 1) = .

Итак, мы доказали, что число составов кортежей длины п, компоненты которых принадлежат данному т элементному множеству, равно . Различные составы кортежей длины п, компоненты которых принадлежат данному т элементного множеству, называют также сочетаниями с повторениями из т элементов по п. Их число обозначают .Итак, = .

П р и м е р. Сколькими способами можно составить набор из 5 плиток шоколада, если их имеется 4 вида?

Решение. Поскольку в этой задаче порядок плиток шоколада не играет роли, то каждый набор задается кортежем длины 5 из 4 элементов, причем порядок компонентов не играет роли. Иными словами, надо найти число различных составов таких кортежей, т.е. число сочетаний с повторениями из 4 элементов по 5. По формуле получим: .

Существует 56 различных наборов.

§ 6. Первоначальные понятия теории вероятностей

При изучении математики, физики и других предметов решаются задачи, предусматривающие, как правило, однозначный результат действия. Например, если требуется определить площадь треугольника со сторонами а, b, с, то она однозначно может быть определена по формуле Герона.

Но есть большой круг задач в науке, в технических и художественных приложениях, в которых результат действия не определен однозначно. Рассмотрим простейший пример. Если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной она ляжет вверх – гербом или цифрой. Однако при большом числе бросков примерно в половине случаев выпадает герб, а в половине – цифра. И это уже некоторая закономерность, именно такие закономерности и изучаются в теории вероятностей. При этом изменяется сама постановка задачи, в которой ставится цель определить не результат отдельного опыта, а результат, полученный после многократного повторения. В теории вероятностей изучаются закономерности массовых случайных событий.

Большое число вероятностных задач возникает при постановке экспериментов и планировании. Например, сколько опытов надо поставить, чтобы выводы из них были достоверны? Конечно, чем больше опытов, тем надежнее сделанные из них выводы. И все равно нужно знать, на каком большем числе опытов надо остановиться. В теории вероятностей имеются рекомендации о необходимом числе опытов для получения достаточно надежных выводов из эксперимента.

§ 7. Случайные события

В теории вероятностей опыт, эксперимент, наблюдение явления называют испытанием. Результат, исход испытания, называют случайным событием (или просто событием). События принято обозначать большими латинскими буквами: А, В, С, ... .

П р и м е р. Рассмотрим такой опыт: игральную кость (кубик, на стороне которого указаны точки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, соответствующие количеству очков) бросают на стол и смотрят, сколько очков выпало на верхней грани. При этом могут произойти следующие события:

А₁–«выпало 1 очко», А₄–«выпало 4 очка»,

A₂ –«выпало 2 очка», А₅ –«выпало 5 очков»,

A₃ –«выпало 3 очка», А₆–«выпало 6 очков».

Еще можно рассмотреть следующие события:

В –«число выпавших очков простое»,

С –«число выпавших очков четное»,

D –«число выпавших очков нечетное».

Ограничимся этими событиями, хотя их список можно было продолжить. Нетрудно заметить, что между отдельными событиями существует определенная связь.

Ясно, что события D и С немогут произойти одновременно, такие события называют несовместными, а события В и С совместные, они могут произойти одновременно.

Определение. Два события называют несовместными, если они в одном и том же испытании не могут произойти одновременно. События, которые в рассматриваемом опыте при одном и том же исходе испытания могут произойти одновременно, называют совместными.

Определение. Событие А благоприятствует событию В (пишут А Ì В), если из того, что произошло событие А следует, что произошло событие В. Если из того, что произошло событие А, еще не следует, что произошло событие В, то событие А не благоприятствует событию В (пишут: А Ë В). В приведенном выше примере:

A₃ Ì В , С Ë В.

Исходы испытания считаются равновозможными, если любой исход испытания не более возможен, чем другие. При решении конкретных задач о равновозможности исходов испытания обычно судят по тому, что выбор производится наудачу.

Например, если из набора экзаменационных билетов наудачу извлекается один билет, причем все билеты написаны на одинаковой по форме бумаге и не имеют пометок, то выбор любого билета равновозможен.

Определение. Два события А и В называют противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через .

Определение. Событие U называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным (V), если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

П р и м е р. Из урны, в которой все шары белые, извлекается шар. Событие А – вынут белый шар – достоверное событие; событие В – вынут черный шар – невозможное событие.

§ 8. Формула для непосредственного подсчета вероятностей

Понятие вероятности является основным в теории вероятностей. Для введения этого понятия познакомимся с одной из важнейших схем теории вероятностей, так называемой классической схемой. Эта схема имеет место, когда все исходы испытания равновозможны и несовместны, а число всех исходов конечно.

Рассмотрим пример и попытаемся ответить на вопрос, какое из двух данных событий А или В является более возможным. Событие А, состоящее в том, что извлеченный экзаменационный билет имеет четный номер (из билетов, имеющих по порядку номера 1-25) или событие В, состоящее в том, что экзаменационный билет имеет нечетный номер (из числа тех же билетов). Можно сказать, что событие В более возможно, чем событие А, ведь среди номеров билетов от 1 до 25 включительно нечетных больше, чем четных.

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность (группу) исходов, т.е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания, т.е. всю группу.

Определение. Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них, и любые два из них несовместны, то эту группу событий называют полной группой событий. События, образующие полную группу, называют элементарными событиями.

Приведем примеры полных групп событий: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.

Определение. (классическое определение вероятности).

Вероятностью Р(А) события А называют отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.

(1).

Эту формулу называют формулой для непосредственного подсчета вероятностей.

Из приведенного определения вытекают следующие ее свойства:

1º. Вероятность наступления достоверного события (U)равна 1.

В самом деле, достоверное событие (U) – это событие, происходящее при всех исходах испытания, следовательно, т = п и, значит, Р(U) = 1.

2º. Вероятность наступления невозможного события (V)равна 0.

В самом деле, невозможное событие (V)не происходит ни при одном исходе испытания, следовательно, т = 0и, значит Р(V) = 0.

3º. Вероятность наступления случайного события есть положительное число, меньшее единицы.

В самом деле, случайное событие А происходит не при всех исходах испытания, следовательно 0 < т < п. Разделив члены этого неравенства на п, получим: , т.е. 0 < Р(А) < 1.

Если при анализе реальной задачи установлено, что все исходы испытания являются равновозможными и несовместными, а их число конечно, то для вычисления вероятности наступления рассматриваемого случайного события надо применять формулу (1). При этом те исходы, при которых случайное событие происходит, будем называть исходами, благоприятствующими этому событию. Заметим, что если событию А благоприятствует т исходов испытания из п возможных, то это событие не происходит при п – т исходах испытания. Следовательно, вероятность того, что событие А не произойдет, равна .

П р и м е р. Из полного набора костей домино наудачу выбирается одна. Какова вероятность выбора кости, сумма очков на которой равна 6?

Решение. Испытание состоит в том, что извлекается одна кость из полного набора костей домино. Т.к. кость выбирается наудачу, то все исходы испытания равновозможны, причем они несовместны. В полном наборе игры домино 28 костей, следовательно п = 28. Пусть событие А означает, что сумма очков на выбранной кости равна 6. Событию А благоприятствует 4исхода испытания, а именно появление таких костей, на которых нанесены очки 0-6, 1-5, 2-4, 3-3. Следовательно, Р(А) = .

§ 9. Применение формул числа перестановок и сочетаний
к вычислению вероятностей

Выбор т элементов из множества, содержащего п элементов, можно рассматривать как испытание, возможными исходами которого являются выборки объема т. Число всех возможных исходов испытаний и исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, легко подсчитать, используя формулы числа перестановок и сочетаний. Если из условия задачи можно усмотреть равновозможность всех исходов испытания, то вероятность рассматриваемого события может быть вычислена по формуле (1), а именно Р(А) = .

П р и м е р ы. 1) На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

Решение. Испытание состоит в том, что из 15карточек наудачу извлекается две. Выборка неупорядоченная, без повторений, следовательно, число исходов испытания равно . Событию А –сумма чисел на двух карточках равна десяти – благоприятствуют 4исхода, а именно 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6.Все исходы испытания равновозможны и несовместны. Значит, вероятность наступления события А равна: Р(А) = .

2) На книжной полке случайным образом расставлены 4 книги по алгебре и 3 по – по геометрии. Какова вероятность того, что книги по каждому предмету окажутся рядом?

Решение. Испытание состоит в том, что 7 книг, из которых 4 – по алгебре и 3 по – геометрии, случайным образом расставлены на полке. Выборка состоит из семи элементов, упорядоченных с заданным числом повторений. Следовательно, число исходов испытания равно: п = Р₇ (4, 3) = . Событию А –книги по каждому предмету оказались рядом – благоприятствуют два исхода испытания. Все исходы испытания равновозможны и несовместны. Значит, вероятность наступления события А равна:

Р(А) = .

3) Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию на слет команду из 4 человек. Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки?

Решение. Испытание состоит в том, что из 20человек наудачу выбираются 4.Выборка неупорядоченная, без повторений, следовательно, число исходов испытания . Пусть событие А –в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки. Двое юношей из 15могут быть выбраны способами, и после каждого такого выбора две девушки из пяти могут быть выбраны способами. По правилу произведения выборки событию А благоприятствует исходов испытания и искомая вероятность равна: .

§ 10. Относительная частота.
Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности имеет место для испытаний с конечным числом равновозможных исходов испытания. Однако при проведении многих испытаний мы получаем исходы, которые не являются равновозможными. Так вероятность появления шести очков на верхней грани игрального кубика, у которого центр тяжести не совпадает с геометрическим, не будет равна . Для всех также ясно, что при испытании парашюта исходы – парашют раскрылся и парашют не раскрылся – не являются равновозможными.

С другой стороны, очевидно, что каждое из этих событий обладает вероятностью наступления, которую в принципе можно измерить численно и которая при проведении серии подобных испытаний будет отражаться в относительной частоте появления соответствующих событий.

Определение. Относительной частотой появления события А называют отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось, к общему числу n проведенных испытаний: , где – относительная частота появления события А.

П р и м е р. Проверено 100 деталей. Среди них оказалось 80 стандартных. Какова относительная частота появления стандартной детали?

Пусть событие А: – при проверке деталь оказалась стандартной. Тогда .

Так же как и вероятность, относительная частота события А заключена между нулем и единицей: .

Установлено, что относительная частота появления события А при сохранении одних и тех же условий проведения испытаний и при проведении k серий испытаний по n испытаний в каждой, если n достаточно велико, для большинства таких серий сохраняет почти постоянную величину.

Оказывается, что для тех случаев, к которым применимо классическое определение вероятности, колебание относительной частоты происходит около вероятности появления события А.

Это и заставляет нас в общем случае считать, что существует некоторая постоянная, около которой колеблется относительная частота.

За численное значение этой постоянной при большом числе испытаний может быть приближенно принята или относительная частота появления события А; или же число, близкое к относительной частоте.

Эту постоянную будем называть статистической вероятностью случайного события А.

§ 11. Операции над событиями

Рассмотрим операции над событиями, которые позволяют из данных событий получать другие, новые события. При этом предполагается, что каждое из данных событий является совокупностью некоторого числа элементарных событий рассматриваемого испытания, и будем требовать, чтобы вновь образованное событие представляло собой совокупность элементарных событий того же испытания.

Определение. Пусть даны два события А и В. Суммой событий А и В (обозначаемое А + В) называется событие, которое происходит тогда, и только тогда, когда происходит хотя бы одно из двух событий А или В.

П р и м е р ы.

1) Пусть событие А – выигрыш по билету одной лотереи, событие В – выигрыш по билету другой лотереи. Тогда событие А + В – выигрыш хотя бы по одному билету, т.е. по билету первой лотереи, или второй, или по первой и второй.

2) Имеется 25 экзаменационных билетов. Пусть событие А – номер билета кратен 5, событие В – номер билета кратен 7. Тогда событие А + В означает, что номер билета кратен пяти или семи.

Определение. Пусть даны два события А и В. Произведением событий А и В (обозначаемое АВ) называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события и А, и В.

Легко видеть, что события А и В будут несовместными, когда
АВ = V, где V – невозможное событие.

П р и м е р ы.

1) Пусть событие А – выигрыш по билету одной лотереи, событие В – выигрыш по билету другой лотереи, тогда событие АВ означает выигрыш по билетам обеих лотерей.

2) Имеется 25 экзаменационных билетов, занумерованных целыми числами от 1 до 25. Если событие А – номер билета кратен двум, событие В – номер билета кратен трем, то событие АВ означает, что номер билета кратен шести.

Определение. Пусть дано событие А. Событие называется противоположным событию А (обозначаемое ), которое происходит тогда, и только тогда, когда не происходит событие А.

П р и м е р ы:

1) Пусть событие А – выпадение герба при подбрасывании монеты, тогда событие – выпадение цифры при подбрасывании монеты.

2) Пусть событие А – обе пули в двух выстрелах не попадают в цель, тогда событие – хотя бы одна пуля в двух выстрелах попадает в цель.

Заметим, что для противоположных событий имеют место два соотношения: .

Операции над событиями можно проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна (рис. 1). Пусть все точки прямоугольника диаграммы обозначают множество всех элементарных событий рассматриваемого испытания, а все точки кругов, расположенных внутри прямоугольника – случайные события. Тогда сумму событий А + В, произведение АВ, противоположное событие можно представить в виде заштрихованных областей.

Рис. 1

§ 12. Теорема о вероятности суммы несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство. Пусть n – число всех элементарных событий (точек) рассматриваемого испытания.

Пусть m₁ и m₂ – число точек, содержащихся соответственно в событиях А₁ и А₂. Так как события А₁ и А₂ несовместны, т.е. не могут появиться при одном исходе испытания, то событие А = А₁ + А₂ содержит m = m₁ + m₂ точек. Вероятности событий А₁ и А₂ соответственно равны: и , а вероятность события А равна:

.

Отсюда .

Итак, теорема доказана. Заметим, что доказанная теорема с помощью метода математической индукции может быть распространена на случай нахождения вероятности суммы n попарно несовместных событий , т.е.

).

Перепишем последнее равенство короче: , где знак – означает сумму.

Следствие 1. Если в результате испытания обязательно происходит одно из возможных попарно несовместных событий , то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Так как одно из событий , обязательно произойдет, то событие является достоверным, т.е. . Отсюда . Но по теореме о вероятности суммы попарно несовместных событий имеем .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице.

Действительно, так как события А и несовместны, то . Но событие А + является достоверным, и поэтому . Следовательно, .

§ 13. Условная вероятность

Выяснение смысла понятия условная вероятность проведем на конкретном примере.

Пусть в группе, состоящей из 20 юношей и 15 девушек, 10 человек занимаются в математическом кружке. Среди этих 10 человек – 4 девушки.

Наудачу выбирается один ученик. Пусть стало известно, что выбранный ученик занимается в математическом кружке. Как после этого изменится вероятность того, что выбранной оказалась девушка?

Решение. Событие А состоит в том, что выбранный ученик занимается в математическом кружке, а событие В – выбрана девушка. Из условия следует вывод, что и .

Вероятность же события АВ, означающего, что выбрана девушка, занимающаяся в математическом кружке, равна .

Пусть теперь стало известно, что событие А произошло, т.е. стало известно, что выбранный ученик занимается в математическом кружке. В новых условиях число всевозможных исходов испытания равно 10, а событию В благоприятствуют 4 исхода испытания. Следовательно, (читается: «вероятность события В при условии, что событие А произошло»).

Разделив числитель и знаменатель правой части равенства на 35 и учитывая, что и , окончательно получим формулу , где .

Проведя аналогичные рассуждения в общем виде, можно показать, что условная вероятность равна отношению вероятности совместного наступления событий А и В к вероятности наступления события А.

§ 14. Теоремы о вероятности произведения двух событий

Пусть даны события А и В. Теперь мы можем ответить на вопрос, чему равна вероятность совместного появления событий А и В.

Теорема о вероятности произведения двух событий непосредственно следует из формул:

, .

Отсюда

Полученный вывод сформулируем в виде теоремы 1.

Теорема 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Если , то наступление события А не изменяет вероятности события В. В этом случае говорят, что событие В независимо от события А. Докажем, что в этом случае событие А так же независимо от события В.

Так как и , получим , что означает, что событие А также независимо от события В. В этом случае события А и В являются взаимно независимыми.

Теорема 2. Если события А и В являются независимыми, то .

В самом деле в этом случае

и .

Заметим, что если из событий любое событие не зависит от произведения любого числа остальных событий, то последнюю теорему можно распространить на n событий, т.е. или короче , где знак означает произведение.

При решении задач практического содержания независимыми следует считать такие события, для которых вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

§ 15. Теорема о вероятности суммы двух совместных
событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности произведения этих же событий.

.

В справедливости этой теоремы можно убедиться, рассматривая диаграмму Эйлера-Венна для совместных событий А и В.

Теперь рассмотрим примеры решения задач на совместное применение теорем о вероятности суммы и вероятности произведения событий.

Анализ и решение таких задач можно осуществлять по следующей схеме:

1. Уяснить, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

2. Обозначить буквами события, рассматриваемые в условии задачи.

3. С помощью введенных обозначений выразить событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

4. Если необходимо найти вероятность суммы событий, то необходимо выяснить, являются ли рассматриваемые события совместными или несовместными. А если необходимо найти вероятность произведения событий, то необходимо выяснить, являются они зависимыми или независимыми.

5. Выбрать соответствующие условию задачи формулы и произвести вычисления.

6. Если вероятности рассматриваемых событий не даны в условии задачи, то их надо предварительно вычислить.

З а д а ч а 1. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель по одному разу. Вероятность попадания в цель первого стрелка 0,8, второго – 0,7. Какова вероятность того, что один стрелок промахнется, а другой попадет в цель?

Решение.

1. Испытание состоит в том, что в цель производится два независимых выстрела.

2. Пусть событие А – попадание в цель первого стрелка, событие В – попадание в цель второго стрелка.

3. Событие, вероятность наступления которого необходимо найти, выражается формулой .

4. Так как необходимо найти вероятность суммы событий, то определим, что события и несовместны.

5. .

События А и В, по условию задачи, независимые, следовательно:

.

З а д а ч а 2. Вероятность того, что наудачу названный ученик сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй экзамен – 0,8 и третий экзамен – 0,7. Какова вероятность того, что ученик сдаст хотя бы один экзамен, если считать экзамены независимыми друг от друга?

Решение.

1. Испытание состоит в том, что ученик сдает три экзамена.

2. Пусть события означают соответственно сдачу первого, второго и третьего экзаменов, а событие А, что ученик сдаст хотя бы один экзамен, тогда означает, что ученик не сдал ни одного экзамена.

3. Событие, вероятность наступления которого требуется найти выражается формулой:

. .

4. События независимые, поэтому

.

§ 16. Формула полной вероятности. Формула Байеса

На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместных событий, образующих полную группу. Вероятность подобных событий находится по так называемой формуле «полной вероятности», определяемой доказанной ниже теоремой.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А, т.е. .

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий . Это означает, что наступление события А влечет появление одного из событий . Поэтому событие А может быть представлено в виде . Так как события по условию теоремы попарно несовместны, то, очевидно, несовместны и события . Тогда применяя теорему сложения для несовместных событий, получаем

.

Далее по теореме умножения вероятностей, можно записать

. (*)

Формула (*), в справедливости которой убеждает доказанная теорема, называется формулой полной вероятности, а события – гипотезами.

П р и м е р. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 30 задач по алгебре, 20 задач по геометрии. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решать 21 задачу по алгебре и 12 задач по геометрии?

Решение. Вероятность получить задачу по алгебре (событие Н₁) равна , по геометрии (событие Н₂) – . Если событие А означает, что задача решена, то , . Теперь по формуле (*) имеем:

.

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А, вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий , образующих полную группу, при этом вероятности указанных событий (гипотез) были известны заранее. Предположим, что проведен опыт и событие А наступило. Установим, как изменятся после этого вероятности гипотез, т.е. найдем условную вероятность для каждой гипотезы.

По теореме умножения имеем

, i = 1, 2, 3, …, n, или

.

Отсюда или

, j = 1, 2, 3, …, n.

Полученная формула называется формулой Байеса[4] или теоремой гипотез. Формула Байеса позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в случае появления события А.

§ 17. Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно.

Пусть проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события в каждом отдельном испытании постоянна, т.е. не меняется от испытания к испытанию.

Пусть требуется определить вероятность m появлений события А в результате n испытаний. Решим эту задачу для независимых относительно события А испытаний: т.е. таких, что вероятность события А в каждом из них не зависит от исхода других испытаний. Если вероятность появления события А в каждом испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна . Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз .

Пусть событие А наступило в первых m испытаниях m раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения: .

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает m раз, равно числу сочетаний из n элементов по m элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: . Так как эти сложные события являются несовместными, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если обозначить через вероятность появления события А m раз в n испытаниях, то

или

.

Полученную формулу называют формулой Бернулли[5]. Проиллюстрируем ее применение.

П р и м е р. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадает «герб»?

Здесь n = 8, m = 4, p = q = . По формуле Бернулли получаем: .

Вопросы и задания для самопроверки

1. Образуйте, из элементов множества А = {х, у, z, t} все возможные кортежи длины 2. Как называются эти кортежи в комбинаторике? Подсчитайте их число.

2. Образуйте из элементов множества А = {х, у, z, t} все возможные:

а) упорядоченные 2-х элементные подмножества;

б) неупорядоченные 2-х элементные подмножества.

Как называются эти подмножества в комбинаторике в каждом из этих случаев? Подсчитайте их число.

3. Используя формулу для определения числа сочетаний, докажите свойства:

1) ; 2) .

ГЛАВА IV