Свободные колебания с вязким сопротивлением

Существуют устройства (демпферы), которые создают силу пропорциональную относительной скорости (рис.17). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом вязкого сопротивления.

Рис.17

Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере имеет вид:

Начальные условия имеют вид: t=0,

Характеристическое уравнение имеет вид: .

Корни характеристического уравнения равны:

Рассмотрим возможные решения:

1-й случай

Решение имеет вид:

- условная амплитуда затухающих колебаний;

Рис.18

- круговая или циклическая частота затухающих колебаний. Измеряется в рад/сек.

- фазовый угол (или просто фаза).

- период затухающих колебаний (рис.18).

- частота колебаний (1 колеб/cек=1 Гц)

- логарифмический декремент колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой, величина которой все время убывает.

Движение изображающей точки на фазовой плоскости показано на рис. 19.

Рис.19

2-й случай

Решение имеет вид:

Материальная точка совершает затухающее неколебательное движение (рис.39).

Рис.20

3-й случай (два одинаковых корня)

Решение имеет вид:

Материальная точка так же совершает затухающее неколебательное движение (рис.20).

Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.

Рассмотрим движение точки под действием трех сил: одна восстанавливающая сила, вторая - сила демпфирования (сила вязкого сопротивления), а третья зависит от времени. - гармоническая возмущающая сила.

F₀ - амплитуда возмущающей силы.

- круговая частота возмущающей силы.

Рис.21

Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере (рис.21), под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:

Задавая решение уравнения в виде: и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний.

Разделим его на массу и обозначим тогда и окончательно

- амплитуда вынужденных колебаний.

- частота собственных колебаний

Материальная точка колеблется с амплитудой и частотой возмущающей силы .

Построим зависимость модуля амплитуды от частоты возмущающей силы (рис.22).

Рис.22

Модуль амплитуды вынужденных колебаний возрастает от (при ) до некоторой величины, а затем убывает до нуля (при ).

Примеры решения задач

Пример 1. Колебания материальной точки происходят относительно положения равновесия по закону х=А∙sinωt с периодом T=12 с. Определить, за какой наименьший промежуток времени t₁ точка удалится от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды x=A/2. За какой промежуток времени t₂ она пройдет оставшуюся часть пути до максимального отклонения.

Найти: t₁-? t₂-?

Решение. В момент времени t₁ cмещение равно А/2: А/2=А∙sinωt₁, sinωt₁=1/2, т.е. ωt₁=π/6, или (2π/Т)t₁=π/6.

Отсюда t₁=T/12=1 c.

Расстояние от точки равновесия до точки максимального отклонения материальная точка проходит за t=T/4. Следовательно, t₂=T/4- T/12= 2 c.

Пример 2.За какую часть периода точка, совершающая гармонические колебания по закону косинуса, сместится на половину амплитуды, если в начальный момент она находилась в положении равновесия?

Решение.Колебания точки описываются уравнением x=Acos(ω₀t+α). Поскольку при t = 0 смещение х = 0, то начальная фаза φ должна равняться π/2, т.е. уравнение имеет вид:

По условию смещение x=A/2, следовательно, (знак «минус» не учитываем, т.к. нас интересует первое попадание колеблющейся частицы в данное положение).

Отсюда и

Пример 3.Точка совершает колебания по закону x=5cosω₀t (м), где ω₀= 2 с^–1. Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость равна 8 м/с.

Решение.Зависимости скорости и ускорения колеблющейся точки от времени задаются уравнениями

и при α=0

Следовательно, . Тогда и с учетом того, что α=0, получаем

Пример 4.Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение равно 100 см/с². Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду.

Решение.Из формул

x=Acos(ω₀t+α),

v=-Acos(ω₀t+α)=-v_maxsin(ω₀t+α),

a=-A cos(ω₀t+α)=- a_maxcos(ω₀t+α),

видно, что x_max=A; v_max=Aω; a_max=Aω².

Откуда ω₀=10 с^–1.

Период

Амплитуда

Пример 5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 0,02 м, полная энергия колебаний W=3∙10^–7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F= 2,25∙10^–5 Н?

Решение.Из можно выразить

Тогда, используя выражение F=-kx, получим

Искомое смещение

Пример 6.В качестве физического маятника используется стержень, подвешенный за один из его концов. Чему равен период колебаний при длине стержня 1 м?

Решение.Для того, чтобы воспользоваться формулой , необходимо по теореме Штейнера посчитать момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса:

Тогда, учитывая, что x=l/2,

Пример 7.Два одинаково направленных гармонических колебания заданы уравнениями x₁=A₁∙sinω₀t и x₂=A₂∙cosω₀t, где А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; ω₀ = 1 с^–1. Определить амплитуду результирующего колебания А, его частоту v и начальную фазу α. Найти уравнение этого движения.

Решение.Преобразуем первое уравнение, заданное в условии задачи, к виду x=A∙cos(ω₀t+α) и получим

Тогда по формуле амплитуда результирующего колебания:

=1+4+2∙2∙cos0,5π=5 см².

Частота результирующего колебания равна частоте складывающихся колебаний

Начальную фазу находим по формуле:

Начальная фаза α=arctg(-0,5)=-26,6°=-0,46 рад.

Уравнение результирующего колебания имеет вид x=2,24∙10^-2cos(t-0,46) м.

Пример 8.Складываются два колебания одинакового направления (рис.23), выражаемых уравнениями x₁=A₁cosω(t+τ₁) и x₂=A₂cosω(t+τ₂), где А₁=1 см; А₂=2 см; τ₁=1/6 с; τ₂=1/2 с; ω=π рад/с. Определить начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний; найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания.

Рис.23

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

х=А∙cos(ωt+φ) (1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

x₁=A₁cos(ωt+ωτ₁) и x₂=A₂cos(ωt+ωτ₂) (2)

Из сравнения выражений (2) с (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний: φ₁=ωτ₁=π/6 рад и φ₂= ωτ₂=π/2 рад.

Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис.23.

Согласно теореме косинусов, получим:

φ₂-φ₁=π/3 рад.

Подставим значения А₁, А₂ и φ₂-φ₁ в (3), извлечем корень и получим: А=2,65 см.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим непосредственно из рисунка 41.1:

Тогда φ=arctg(5/ )=70,9°=0,394π рад.

Так как циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω.

Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде х=А∙cos(ωt+φ),

где А=2,65 см, ω=π рад/с, φ=0,394π рад.

Пример 9. Шарик массой m=10^-2 кг=10 г совершает гармонические колебания с амплитудой А=0,2 м и периодом Т=4 с. В начальный момент времени t=0: х=А. Найти кинетическую и потенциальную энергию в момент времени t= 1 с.

Найти: Е_к-? Е_п-?

Решение: Запишем уравнение гармонических колебаний

х=Аcos(ωt+φ₀), где ω=2π/Т.

Т.к. при t=0 х=А, то можно определить начальную фазу Асоs(ω∙0+φ₀)=A, соsφ₀=1, φ₀=0.

Таким образом, х=0,2cos[(2π/4)t]= 0,2cos[(π/2)t] (м).

Кинетическая энергия шарика определяется по формуле: Е_к=mv²/2, где v=dx/dt=-Aω∙sinωt.

Е_к=[mA²ω²∙sin²ωt]/2=5∙10^-3 Дж.

Потенциальная энергия шарика равна:

Е_п=kx²/2=[kА²cos²ωt]/2=[kА²cos²(π/2)]/2,

Е_п=0.

Пример 10. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой m_c=3m₁ с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d=l/2 и массой m_о=m₁. Горизонтальная ось ОZ проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 24). Определить период колебаний такого маятника T - ?.

Рис.24

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний, m - его масса, l_c - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J₁ и обруча J₂:

J=J₁+J₂. (2)

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по формуле J₁=m_cl²/12, т.е. J₁=m₁l²/4.

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера J=J_o+ma². Применив эту формулу к обручу, получим

J₂=m₁(l/4)²+ m₁(3l/4)² = (5/8)m₁l².

Подставив выражения J₁ и J₂ в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

J= m₁l²/4+(5/8)m₁l²=(7/8)m₁l².

Расстояние l_c от оси маятника до его центра масс равно

l_c=(Σm_ix_i)/Σm_i=(3m₁∙0 + m₁(3l/4))/(3m₁+m₁)=(3/16)l.

Подставив в формулу (1) выражения J, J_c и массы маятника (m=3m₁+m₁=4m₁), найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим Т=2,17 с.

Пример 11. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (рис.25), выражаемых уравнениями x=2cosω₀t (см) и y=sinω₀t (см). Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения, если ω₀=π/3 (с^–1).

Рис.25

Решение.Преобразуем второе уравнение к виду y=Аcos(ω₀t+α) и получим:

Как видно, разность фаз складывающихся колебаний α= -π/2 и это соответствует частному случаю, когда уравнение траектории имеет вид: . Траекторией движения в этом случае является эллипс, приведенный к главным осям, уравнение которого .

Для того, чтобы указать направление движения точки, необходимо проследить, как меняется ее положение с течением времени. Для этого найдем координаты точки для двух ближайших моментов времени. Период результирующих колебаний Поэтому моменты времени, отличающиеся на одну секунду, можно считать достаточно близкими.

При t=0: x₁=2cos0=2; y₁=1cos(-π/2)=0;

При t=1 c: x₂=2cos(π/3)=1; y₂=1cos(π/3-π/2)=1cos(-π/6)=0,86.

Следовательно, точка 1 имеет координаты (2; 0), а точка 2 – (1; 0,86). Это означает, что движение происходит против часовой стрелке.

Пример 12.Амплитуда колебаний математического маятника длиной 1 м за время 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания колебаний и количество колебаний, совершенных за это время. Записать уравнение колебаний, если в начальный момент маятник был отведен из положения равновесия на 5 см и отпущен.

Решение.Период и частоту колебаний математического маятника найдем из выражения:

Запишем отношение амплитуд (начальной A₀=5 см и через время t = 10 мин = 600 с):

следовательно, βt=ln2, отсюда

Количество колебаний N, совершенных за время t , найдем из того, что t=NT, а, значит, βNT=ln2, и тогда

Логарифмический декремент затухания определим по:

δ=βT=2∙10^-3.

Выбор гармонической функции для написания уравнения колебаний проведем на основании того, что в начальный момент смещение точки от положения равновесия равно амплитуде, а этому условию удовлетворяет функция косинус. Тогда уравнение данных затухающих колебаний имеет вид: x=5∙10^-2e^-0,001tcosπt (м).

Пример 13.Пружинный маятник, (жесткость пружины которого равна k = 10 Н/м, а масса груза m = 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определить коэффициент затухания β и резонансную амплитуду А_рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F₀ = 10 мН.

Решение.Коэффициент затухания:

Собственная частота:

Тогда резонансная частота:

Пример 14.Тело D массы m_D = 10 кг расположено на гладкой плоскости, наклоненной под углом = 30° к горизонту, и прикреплено к концу A пружины, коэффициент жесткости которой с = 36.1 Н/см (рис. 26). В некоторый момент к грузу D присоединяют груз Е массы m_Е = 15 кг. В тот же момент времени верхний конец пружины B начинает двигаться вдоль наклонной плоскости по закону см, причем точка O₁ совпадает со средним положением точки B (при ). Сопротивление движению двух грузов пропорционально их скорости v, , где = 100 (Нс)/м – коэффициент сопротивления. Найти уравнение движения грузов D иE.

Рис.26

Решение. Направим оси O_x и вдоль наклонной плоскости вниз, в сторону растяжения пружины (рис. 27). Начало O координатной оси O_x совместим с положением покоя грузов D и E, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка B занимает свое среднее положение ( ). В этом положении пружина растянута на величину , где и – статические деформации пружины под действием груза D и E.

Рис.27

Изобразим грузы в промежуточном положении, отстоящем от начала координат на величину x (точка M). Если бы верхний конец пружины был неподвижен, то в этом положении пружина была бы растянута на величину ( ). Но при смещении вниз верхнего конца пружины на некоторую величину удлинение пружины окажется меньшим на эту величину , т.е. . Следовательно, проекция силы упругости пружины на ось x в точке M будет определяться выражением: . Проекция силы сопротивления . Таким образом, дифференциальное уравнение движения грузов в проекции на ось x имеет вид

,

где . Учитывая, что в состоянии статического равновесия грузов , получим

,

или

, (1)

где

Начальные условия для уравнения (1) определяются соотношениями

Как известно, решение линейного дифференциального уравнения (1) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

и частного решения x₂ неоднородного уравнения (1)

. (3)

Общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

. (4)

Частное решение неоднородного уравнения (3) будем искать в виде

. (5)

Определив производные подставив их в уравнение (3), получим

Чтобы полученное равенство выполнялось в любой момент времени, необходимо равенство нулю выражений в квадратных скобках. Таким образом, для определения коэффициентов A₁ и A₂ имеем систему из двух линейных уравнений

решение которой записывается так

или после подстановки численных данных

А₁ = –0.7472 см, А₂ = –0.0034 см.

Рис. 7

Следовательно, решение уравнения (1) принимает вид

причем скорость точки равна

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ определим из начальных условий: С₁ = –1.2928 см, С₂ = –0.2181 см. В результате уравнение движения груза имеет вид

Вопросы для самопроверки

- Под действием какой силы совершаются свободные колебания материальной точки?

- Какой вид имеет дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки?

- От каких факторов зависят частота, период, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний материальной точки?

- Каков вид графиков свободных и затухающих колебаний, а также апериодического движения материальной точки?

- Какой вид имеет дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки и каково его общее решение?

- Из каких составляющих движений складывается движение материальной точки, находящейся под действием восстанавливающей и возмущающей сил?

- Каковы частота и период вынужденных колебаний материальной точки?

- Какие вынужденные колебания называются колебаниями малой частоты и какие – колебаниями большой частоты? Чем характеризуется тот и другой вид колебаний?

- От каких факторов зависит амплитуда вынужденных колебаний точки?

- Что называют коэффициентом динамичности и каков график его зависимости от отношения p/k?

- При каком условии возникает явление биений? Каков график биений?

- При каких условиях возникает резонанс и каковы уравнения и график вынужденных колебаний материальной точки при резонансе?

- Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на амплитуду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний?

- Как определить максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний при данном значении коэффициента затухания n?

- При каком значении коэффициента затухания максимум амплитуды вынужденных колебаний не существует?

- Какова зависимость сдвига фазы колебаний от частоты изменения возмущающей силы p и от коэффициента затухания n?