Задачи для самостоятельного решения. 8.1. Поголовье крупного рогатого скота в стране характеризуется следующими данными, тыс
8.1. Поголовье крупного рогатого скота в стране характеризуется следующими данными, тыс. голов:
1996г. 1997г. 1998г. 1999г. 2000г. 2001г. 2002г.
67,2 73,4 68,2 64,1 65,0 66,7 70,5
Выявите тенденцию ряда динамики поголовья крупного рогато-го скота в стране с помощью аналитического выравнивания. Произ-ведите расчет показателя на 2006г. Сделайте выводы.
8.2. По страховым организациям города имеются следующие данные о страховых взносах по месяцам 2002 г., тыс. грн.
| 22,7 | 24,5 | 31,3 | 29,4 | 30,2 | 27,4 | 30,3 | 32,5 | 28,1 | 34,1 | 32,0 | 34,7 |
Установите, по какой функции следует произвести выравнива-ние этого ряда. Определите параметры уравнения, характеризующего тренд. Рассчитайте теоретические (выравненные) уровни. Сделайте выводы.
8.3.Производство продуктов земледелия в регионе характеризуется следующими данными, млн. т.
| Годы | Морковь | Баклажаны | Картофель |
| 1,8 | 1,1 | ||
| 1,9 | 1,6 | ||
| 2,0 | 1,7 | ||
| 2,4 | 1,5 | ||
| 2,2 | 1,2 | ||
| 2,5 | 1,3 | ||
| 2,4 | 1,0 | ||
| 2,6 | 0,9 | ||
| 2,3 | 1,1 |
Для изучения общей тенденции производства сельскохозяйственной продуктов произведите: 1) сглаживание уровней рядов динамики с помощью трехчленной скользящей средней; 2) аналитическое выравнивание; 3) прогноз объема производства каждого продукта на 2005 год.
8.4.Размеры ссуд, выданных банком по месяцам, характеризуются данными, млн. грн.:
| Месяцы | 2000 г. | 2001 г. | 2002 г. |
| Январь | 7,4 | 10,1 | 14,2 |
| Февраль | 8,2 | 12,4 | 13,8 |
| Март | 7,8 | 11,8 | 14,4 |
| Апрель | 7,9 | 13,2 | 12,1 |
| Май | 8,1 | 12,4 | 11,0 |
| Июнь | 8,0 | 13,1 | 13,4 |
| Июль | 8,2 | 10,8 | 12,8 |
| Август | 7,9 | 12,8 | 11,0 |
| Сентябрь | 8,3 | 12,2 | 12,5 |
| Октябрь | 7,8 | 14,0 | 10,8 |
| Ноябрь | 8,5 | 13,6 | 11,6 |
| Декабрь | 8,4 | 13,8 | 9,2 |
Для изучения тенденции данного показателя по месяцам 2000 - 2002гг., произведите: 1) укрупнение интервалов времени в квартальные уровни; 2) сглаживание данных с помощью скользящей средней.
8.5.Имеются следующие данные об издержках обращения посреднических торговых фирм в регионе, млн. грн.:
| Месяцы | |||
| Январь | 4,2 | 4,8 | 5,2 |
| Февраль | 4,7 | 5,4 | 5,9 |
| Март | 4,4 | 5,1 | 5,1 |
| Апрель | 4,9 | 4,9 | 5,6 |
| Май | 4,8 | 5,2 | 6,0 |
| Июнь | 5,1 | 5,6 | 5,8 |
| Июль | 5,3 | 4,8 | 5,9 |
| Август | 5,0 | 5,3 | 6,1 |
| Сентябрь | 4,9 | 5,0 | 6,3 |
| Октябрь | 4,5 | 5,4 | 5,7 |
| Ноябрь | 4,9 | 5,3 | 5,8 |
| Декабрь | 4,6 | 4,9 | 6,2 |
Для изучения тенденции изменения издержек обращения по месяцам за 2000 - 2002гг. произведите: 1) преобразование начальных данных путем укрупнения периодов времени в квартальные уровни; 2) сглаживание показателей издержек обращения по месяцам каждого года с помощью скользящей средней. Сделайте выводы.
8.6.Имеются следующие данные о продаже шелковых тканей в розничной торговле города по кварталам за 2000 - 2002гг., тыс. грн.:
 Кварталы | 2000 г. | 2001 г. | 2002 г. |
| I II III IV | 60,3 95,7 148,4 100,1 | 68,2 111,8 155,7 102,5 | 70,4 120,1 164,5 118,3 |
Для анализа внутригодовой динамики продажи шелковых тканей: 1) определите индексы сезонности методом простой средней; 2) изоб-разите сезонную волну на графике по кварталам года. Сделайте выводы.
8.7.По данным о реализации картофеля на колхозных рынках города (тыс. т.) рассчитайте 3-месячные скользящие средние и на их основе вычислите индексы сезонности:
| Месяцы | 2001 г. | 2002 г. |
| Январь | 15,2 | 16,8 |
| Февраль | 14,6 | 15,1 |
| Март | 11,8 | 12,4 |
| Апрель | 8,4 | 9,7 |
| Май | 6,2 | 7,3 |
| Июнь | 9,8 | 10,4 |
| Июль | 11,5 | 12,7 |
| Август | 16,8 | 18,2 |
| Сентябрь | 29,6 | 35,9 |
| Октябрь | 38,7 | 42,8 |
| Ноябрь | 19,4 | 22,5 |
| Декабрь | 16,1 | 18,7 |
8.8.Используя данные задачи 8.5для анализа внутригодовой динамики издержек обращения посреднических торговых фирм в регионе по месяцам 2000 - 2002гг., определите индексы сезонности с применением: 1) 3-месячной скользящей средней; 2) аналитического выравнивания по прямой. Изобразите сезонную волну графически с помощью линейной диаграммы и сделайте выводы.
8.9.Имеются следующие данные в регионе о числе родившихся и количестве зарегистрированных браков по месяцам 2001 - 2002гг., тыс.:
| Месяцы | Число родившихся | Количество зарегистрированных браков | ||
| 2001 г. | 2002 г. | 2001 г. | 2002 г. | |
| Январь | 24,1 | 25,8 | 11,5 | 10,9 |
| Февраль | 19,5 | 20,4 | 12,4 | 11,9 |
| Март | 26,2 | 24,2 | 11,4 | 10,5 |
| Апрель | 21,2 | 23,1 | 9,2 | 8,4 |
| Май | 25,0 | 24,8 | 8,8 | 7,8 |
| Июнь | 23,4 | 24,1 | 12,0 | 11,9 |
| Июль | 24,0 | 25,6 | 13,1 | 12,8 |
| Август | 20,2 | 25,0 | 18,4 | 19,2 |
| Сентябрь | 18,4 | 18,9 | 18,0 | 17,0 |
| Октябрь | 17,0 | 17,4 | 11,0 | 11,7 |
| Ноябрь | 17,8 | 17,0 | 9,5 | 9,2 |
| Декабрь | 18,2 | 20,5 | 8,0 | 7,5 |
Для анализа внутригодовой динамики числа родившихся и количества зарегистрированных браков определите индексы сезонности: 1) методом простой средней; 2) с помощью аналитического выравнивания по прямой. Представьте графически сезонную волну развития изучаемых явлений по месяцам года. Сделайте выводы.
8.10.Строительные организации региона имеют следующие данные о сметной стоимости выполненных работ по месяцам, млн.грн.:
| Месяцы | 2000 г. | 2001 г. | 2002 г. |
| Январь | 4,8 | 6,0 | 6,6 |
| Февраль | 5,4 | 6,3 | 7,2 |
| Март | 6,6 | 7,2 | 8,4 |
| Апрель | 7,2 | 7,8 | 8,7 |
| Май | 7,8 | 8,4 | 9,3 |
| Июнь | 8,4 | 9,0 | 9,6 |
| Июль | 9,6 | 9,9 | 10,2 |
| Август | 9,9 | 10,5 | 10,2 |
| Сентябрь | 9,6 | 9,9 | 9,0 |
| Октябрь | 8,7 | 9,3 | 9,6 |
| Ноябрь | 8,1 | 8,1 | 9,6 |
| Декабрь | 7,5 | 7,5 | 9,0 |
Для анализа внутригодовой динамики объема выполненных работ в строительстве: 1) определите объем выполненных работ по месяцам, используя периодическую функцию ряда Фурье по первой и второй гармоникам; 2) сравните полученные результаты путем определения сумм квадратов отклонений исходных и выравненных данных; 3) вычислите индексы сезонности как отношение выравненных уровней объема работ по месяцам к среднему годовому; 4) постройте график сезонной волны. Сделайте выводы.
8.11.Имеются следующие данные о внутригодовой динамике поставки тканей в розничную торговую сеть города по кварталам за 2000-2002гг., тыс. грн.:
| Кварталы | 2000 г. | 2001 г. | 2002 г. |
| I II III IV | 80,5 114,8 156,7 102,1 | 91,4 121,5 168,4 108,4 | 100,3 128,4 182,0 112,5 |
Для анализа внутригодовой динамики поставки тканей: 1) определите индексы сезонности с применением метода аналитического выравнивания по прямой; 2) изобразите графически сезонную волну поставки тканей по кварталам года. Сделайте выводы.
8.12.По данным задачи 8.7: 1) определите реализацию картофе-ля по рынкам города, используя периодическую функцию ряда Фурье по первой и второй гармоникам; 2) сравните полученные результаты путем расчета сумм квадратов отклонений исходных и выравненных данных; 3) вычислите индексы сезонности как отношение выравненных уровней реализации картофеля по месяцам к среднему годовому; 4) постройте график сезонной волны.
8.13.Данные задачи7.4о транспортировании грузов трубопроводами страны за 1997 - 2002гг. экстраполируйте на предстоящие пять лет на основе: 1) среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста; 2) аналитического выравнивания уровней ряда динамики. Сравните полученные результаты и выберите наилучший прогноз.
8.14.Данные задачи 7.5о числе безработных по региону за 1997 - 2002гг. экстраполируйте на ближайшие пять лет на основе: 1) средних показателей ряда динамики; 2) аналитического выравнивания. Сравните полученные результаты и выберите наилучший прогноз.
Тема 9. ИНДЕКСЫ
Методические указания
Индекс – это относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо социально-экономического явления во времени или соотношение её в пространстве.
Различают индивидуальныеиндексы и общие. Первые устанавливают изменение единичных, простых показателей (производства отдельного вида изделий, цен на отдельные виды продукции и т.п.), их обозначают буквой “і”. Общие индексы характеризуют изменение показателя по сложной совокупности (объема реализации продукции нескольких видов, цен на все виды проданных товаров и т.п.), их обозначают буквой “І” (рис.9.1)
Все анализируемые с помощью индексов показатели также имеют свою символику и условно делятся на три группы: количественные, качественные и объемные (некоторые из них приведены в табл.9.1.).
Таблица 9.1
Группировка статистических показателей и их символы
в индексном анализе
| С т а т и с т и ч е с к и е п о к а з а т е л и | |||||
| количественные | качественные (показатели уровня) | объёмные | |||
| символ | название | символ | название | символ | название |
| q | количество продукции | p | цена | C | выручка, товарооборот |
| q | количество продукции | z | себестоимость | Z | общие затраты на производство |
| h | посевная площадь | u | урожайность | V | валовой сбор |
| T | затраты труда | w | выработка | q | количество продукции |
| T | затраты труда | f | средняя зарплата | F | фонд заработной платы |
| q | количество продукции | t | трудоемкость | T | затраты труда |
| ОФ | стоимость ос-новных фондов | f0 | фондоотдача | q | количество продукции |
 | средние товарные запасы | с | скорость товарооборота | ТО | товарооборот |
 |
Рис.9.1. Классификация индексов.
Всякий объёмный показатель есть произведение количественного на качественный, т.е. всегда C = q · p; Z = q · z; q = T · w; T =q · t и т.д. Качественными называют показатели, характеризующие уровень явления, т.е. величину объёмного показателя, приходящуюся на единицу количественного. При расчете индексов сравниваемая величина показателя (числитель отношения) называется текущей или отчетной и помечается в формулах подстрочным знаком “1”. А значение показателя, с которым ведется сравнение (знаменатель дроби), называют базисным и помечают в формулах подстрочным знаком “0”. Подстрочным знаком после символа индекса указывается символ индексируемой величины (табл. 8.1).
Индивидуальные индексы.Индивидуальные индексы представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения. Их расчет не требует знания специальных правил.
Формула индивидуального индекса некоторого показателя (х) записывается в следующей последовательности:
.
Тогда индивидуальные индексы отдельных показателей имеют вид: цен - 
= 
; себестоимости - 
; валового сбора - 
; трудоемкости - 
; количества проданной продукции отдельного вида – 
и т. д.
Агрегатные индексы. Агрегат – сложный экономический показатель, получаемый путем произведения непосредственно не суммируемых взаимосвязанных величин с последующим суммированием результатов умножения. Такие расчеты выражают аддитивно-муль-типликативную зависимость. Агрегатные индексы являются общими.
Общие индексы объёмных показателей строятся аналогично индивидуальным индексам. Последовательность записи формулы об-щего индекса некоторого объёмного показателя (M) можно представить следующим образом: 
.
Тогда, например, формулы общих индексов отдельных объёмных показателей записываются в следующем виде:
индекс стоимости: 
или 
, т.к. 
;
индекс общих затрат: 
или 
, т.к. 
;
индекс валового сбора: 
или 
, т.к. V = h · u .
Построение общих индексов количественныхпоказателей, суммируемых в натуральном выражении, осуществляется аналогично агрегатным индексам объемных показателей, а именно: суммируются отдельные значения показателя в каждом из сравниваемых периодов и полученные суммы соотносятся между собой. Например:
индекс затрат труда: 
; индекс посевных площадей: 
.
При построении общих индексов количественныхпоказателей, непосредственно несуммируемых в натуральном выражении, необходимо предварительно привести их к сопоставимому виду. Это достигается чаще всего путем выражения показателя в денежном измерении (через цену - “р” или себестоимость - “z”). Качественные показатели-соизмерители (веса) не должны влиять на динамику анализируемого количественного показателя и их следует взять неизменными, т.е. на уровне одного периода (как правило базисного) и в числителе, и в знаменателе индекса.
Формула общего индекса физического объёма и последовательность её построения следующая:
При построении агрегатных индексов качественныхпоказателей также возникает проблема соизмерения (взвешивания), т.к. суммирование отдельных значений качественных показателей (показателей уровня) лишено смысла. Показателями-соизмерителями (весами) при этом выступают только те количественные, на единицу которых рассчитаны индексируемые качественные показатели. Количественные показатели-веса принято фиксировать на уровне отчетного периода. Последовательность записи формулы, например, общего индекса цен будет следующей: 
Агрегатные индексы других качественных показателей имеют вид: выработки (производительности труда) - 
; урожайности - 
; трудоемкости - 
и т. д.
Разность между числителем и знаменателем соответствующих агрегатных индексов позволяет установить абсолютную величину изменения объемного показателя в целом, а также под влиянием отдельно количественного и качественного показателей-факторов. Знак полученной разности укажет на направление изменений: рост (+) или снижение (–).
Например, общее абсолютное изменение стоимости продукции (объемного показателя) находится как разность числителя и знаменателя агрегатного индекса стоимости:
- 
(напомним, что 
).
Абсолютный прирост стоимости товаров за счет изменения их количества (физического объема) будет равен:
- 
(напомним, что 
).
Абсолютный прирост стоимости товаров за счет изменения их цен:
- (напомним, что 
).
Таким образом, агрегатные индексы количественных и качественных показателей выступают аналитическими индексами, т.е. измерителями роли показателей-факторов в общей динамике объёмного показателя. Это требует их взаимосвязи.
Индексы показателей связаны точно также, как связаны сами показатели, т.е. если C = q · p, то и 
; если Z = q · z, то и 
; если T = q · t , то и 
и т.д.
Покажем эту взаимосвязь на примере индексов стоимости, физического объема и цен: 
= 
= 
.
Средние из индивидуальных индексов.Средние из индивидуальных индексов образуются из агрегатной формы индекса, когда нет данных об абсолютных значениях индексируемой величины за базис-ный и отчетный периоды, но известно относительное её изменение в динамике (индивидуальный индекс). При этом из формулы индиви-дуального индекса выводят недостающую для агрегатного индекса величину и полученное выражение подставляют в исходную формулу.
Так, агрегатный индекс физического объема ( 
) преобразовы-вается в средний арифметический индекс, когда из формулы индивидуального индекса физического объема ( 
) выводят величину числителя: 
и полученное выражение подставляют в числитель агрегатного индекса 
; агрегатный индекс цен ( 
) преобразовыва-ется в средний гармонический индекс, когда из формулы индивидуального индекса цены ( 
) находится знаменатель: 
и полученное выражение подставляется в знаменатель агрегатного индекса цен - 
.
Индексы средних величин.Из трех видов показателей, выделяемых в индексном анализе, осредняют индивидуальные значения только качественных. Расчет их средних уровней ведут по формуле средней арифметической взвешенной ( 
). Например:
- средняя цена некоторого товара “А”, продаваемого несколькими торговыми предприятиями, будет равна: 
где p - цена товара “А” на каждом торговом предприятии; q - количество товара “А”, проданного каждым торговым предприятием;
- средняя себестоимостьнекоторого изделия “С”, производимого несколькими предприятиями:
,
где z - уровень себестоимости изделия “С” на каждом предприятии, q - количество изделий данного вида, произведенного каждым предприятием.
Относительная оценка изменения во времени среднего уровня качественного показателя ведется с помощью индекса переменного состава, который, например, для средней цены имеет вид:
: 
= 
.
Разность числителя и знаменателя этого индекса устанавливает абсолютное изменение анализируемого показателя
.
Чтобы установить, как изменилась величина среднего показателя за счет изменения только индивидуальных значений осредняемого признака (в нашем примере - индивидуальных цен), рассчитывают индекс постоянного (фиксированного) состава. Применительно к показателю средней цены он имеет вид:
: 
= 
.
Если найти разность числителя и знаменателя индекса фиксированного состава, будет получено абсолютное изменение средней цены за счет изменений в отчетном периоде по сравнению с базисным индивидуальных цен товара, продаваемого разными объектами: 
Влияние изменений в структуре совокупности на динамику среднего показателя устанавливают с помощью индекса структурных сдвигов. Покажем его вид на примере средней цены:
: 
= 
.
Чтобы установить на сколько изменилась средняя цена товара в результате изменения в структуре ее реализации нужно вычислить разность числителя и знаменателя индекса структурных сдвигов.
.
Прикладные индексные модели.Рассмотренные принципы построения индексов не являются единственно возможными в экономико-статистическом анализе. Так, агрегатный индекс цен с весами, зафиксированными на уровне отчетного периода ( 
), называется индексом Пааше и используется, как было отмечено, в оценке динамики розничных цен. Несколько иной результат будет получен, если применить веса базисного периода: 
. Этот индекс служит основой для расчета индекса потребительских цен и называется формулой Ласпейреса. Он позволяет установить изменение потребительских расходов в текущем периоде по сравнению с базисным, если при изменении цен уровень и структура потребления останутся прежними. Поэтому значение данного индекса в оценке динамики цен возрастает в условиях высоких темпов инфляции, когда как раз не происходит существенных изменений ни в объеме, ни в структуре потребления.
Средняя геометрическая из индексов Пааше и Ласпейреса получила название “индекс Фишера”: 
Данная формула применяется в случаях трудностей с выбором весов или значительного изменения структуры весов.
В статистической теории известен индекс цен, получивший название формулы Эджворта-Маршалла: 
.
Многие сложные экономические явления описываются смешанной (аддитивно-мультипликативной) функциональной зависимостью. Так, например, среднюю производительность труда одного работника (W) можно представить произведением четырех показателей-факто-ров: средней часовой производительности труда (wчас), средней продолжительности рабочего дня (tчас), средней продолжительности рабочего периода (tдн), долей рабочих в общей численности работников предприятия (dр). Общий вид модели будет таким: W = wчас· tчас· tдн · dр
Для установления влияния каждого показателя-фактора (сомножителя) на результативный показатель-функцию (W) в индексном анализе используются два подхода:1) схема обособленного учета влияния факторов; 2) последовательно-цепная схема разложения.
Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Покажем их, обозначив показатели-факторы буквами: “а”, “в”, “с”, “d”, а результативный показатель-функцию буквой “У”.
При определении влияния каждого фактора методом их обособленного учета любой частный индекс (субиндекс) строят в предположении, что изменяется от базисного периода к отчетному уровень только данного фактора, величины же всех остальных показателей остаются неизменными, зафиксированными на уровне базисного периода. При данной схеме не имеет значения очередность рассмотрения факторов (это достоинство метода), т.к. при любой очередности получают одинаковые результаты. Но произведение частных индексов не дает полной взаимосвязи с общим индексов (в этом состоит недостаток метода):
≠ 
.
При определении влияния факторов последовательно-цепным методом (с помощью взаимосвязанных частных индексов) предполагают, что факторы оказывают свое влияние на изменение экономического явления в определенной последовательности, при этом каж-
дый следующий фактор действует при условии уже изменившихся ранее учтенных факторов. Достоинство и недостаток первого метода меняются местами, а именно: произведение частных индексов дает общий индекс, но возникает вопрос о том, в какой последовательности должны быть расположены и рассмотрены факторы. От этого зависит размер изменения явления, приписываемый каждому из них. Другими словами, в первую очередь необходимо решить, какой из двух очередностей отдать предпочтение: a в с d
= 
или d c b a:
= 
.
В решении этой проблемы исходят из общепринятого правила взвешивания при построении индексов: веса – качественные показатели берутся базисными, а веса – количественные показатели следует фиксировать на уровне отчетного периода. В соответствии с этим требованием, в первую очередь, необходимо учитывать влияние количественных показателей-факторов, а очередность расположения всех факторов должна быть такой, чтобы еще не рассмотренные факторы в произведении давали качественный показатель. Это положение в нашем случае требует очередности: d c b a:
Примирить оба подхода возможно с помощью приема, который получил название цепных показателей. Относительное влияние каждого фактора на общую динамику результативного показателя устанавливается при этом через соотношение соответствующих индексов: в числителе дроби берется разность индексов числителя и знаменателя расчетной формулы показателя-фактора, а в знаменателе – индекс знаменателя расчетной формулы показателя-функции. Для нахождения абсолютного изменения показателя-функции за счет каждого фактора достаточно каждый цепной относительный показатель умножить на уровень результативного показателя-функции в базисном периоде (см. решение типовой задачи 6).
Тесты