Разложение булевой функции по переменным

Пусть s принимает значения 0 или 1, т.е. s {0, 1}.

Введем обозначение:

x^s = Øx, если s = 0, x^s = x, если s = 1.

Т.е. x⁰ = Øx, x¹ = x.

Очевидно, что x^s = 1, если x = s и x^s = 0, если x s.

Теорема 4.5 (о разложении булевой функции по переменным).

Каждая булева функция f(x₁, x₂, ... , x_n) может быть представлена в виде:

f(x₁, x₂, ... , x_n) = f(x₁, x₂, ... , x_m, x_m+1, ... , x_n) =

V x₁^s1&x₂^s2&...&x_m^sm& f(s₁, s₂, ... s_m, x_m+1, ... , x_n), (4.1)

m n, где дизъюнкция берется по всем наборам (s₁, s₂, ... , s_m) (их 2^m).

Например, для m = 2, n = 4 разложение (4.1) включает в себя четыре (2^m = 2² =4) конъюнкции и имеет вид:

f(x₁, x₂, x₃, x₄) = x &x &f(0, 0, x₃, x₄) V x &x &f(0, 1, x₃, x₄) V x & x &f(1, 0, x₃, x₄) V x & x &f(1, 1, x₃, x₄) = Øx₁&Øx₂&f(0, 0, x₃, x₄) V Øx₁&x₂&f(0, 1, x₃, x₄) V x₁&Øx₂&f(1, 0, x₃, x₄) V x₁&x₂&f(1, 1, x₃, x₄).

Доказательство теоремы 4.5.

Теорема будет доказана, если показать, что равенство (4.1) выполняется для произвольного набора переменных (y_1, y₂, ... , y_m, y_m+1, ... , y_n) .

Подставим этот произвольный набор переменных в левую и правую части равенства (4.1).

В левой части получим f (y_1, y₂, ... , y_n) .

Т. к. y^s = 1 только, когда y = s, то среди 2^m конъюнкций y₁^s1&y₂^s2&...&y_m^sm в правой части (4.1) только одна обратится в 1 – та, в которой y₁ = s₁,…, y_m = s_m. Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому в правой части (4.1) получим:

y₁^y1&y₂^y2&...&y_m^ym&f(y_1, y₂, ... , y_m, y_m+1, ... , y_n) = f(y_1, y₂, ... , y_n) .

Теорема 4.5 доказана.

Теорема 4.6 (о представлении булевой функции формулой в СДНФ),

Всякая булева функция f(x₁, x₂, ... , x_n),не равная тождественно 0, может быть представлена формулой в СДНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

При m = n получим важное следствие теоремы 4.5:

f(x₁, x₂, ... , x_n) = V x₁^s1&x₂^s2&...&x_n^sn, (4.2)

f(s₁, s₂, ... , s_n) = 1

где дизъюнкция берется по всем наборам (s₁, s₂, ... , s_n), на которых f = 1.

Очевидно, что разложение (4.2) есть не что иное, как СДНФ формулы f, которая содержит столько конъюнкций, сколько единиц в таблице значений f. Следовательно, СДНФ для всякой булевой функции единственна с точностью до перестановки ее дизъюнктивных членов.

Очевидно также, что для булевой функции f(x₁, x₂, ... , x_n), тождественно равной 0, разложение (2) не существует.

В силу изложенного для получения формулы булевой функции f(x₁, x₂, ... , x_n) в СДНФ можно воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.3. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СДНФ).

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных s₁, s₂, ... , s_n, для которых значение f равно 1, т. е. f (s₁, s₂, ... , s_n) = 1.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем конъюнкцию x₁^s1&x₂^s2&...&x_n^sn, где x_i^si = x_i, если s_i = 1 и x_i^si =Øx_i, если s_i = 0, i = 1, 2, ... ,n.

Шаг 3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций. В результате получится формула данной функции в СДНФ.

Пример 4.15.

Найдем формулу в СДНФ для функции f(x₁, x₂, x₃), заданной таблицей 4.4.

1. Выберем в таблице строки, где f(x₁, x₂, x₃) =1. Это 4-ая, 5-ая. 6-ая и 8-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем конъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для четырех выбранных строк:

x₁⁰&x₂¹&x₃¹ = Øx₁ &x₂&x₃.

x₁¹&x₂⁰&x₃⁰ = x₁&Øx₂&Øx₃.

x₁¹&x₂⁰&x₃¹ = x₁&Øx₂&x₃ .

x₁¹&x₂¹&x₃¹ = x₁&x₂&x₃ .

3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций и находим СДНФ:

f(x₁, x₂, x₃) = Øx₁&x₂&x₃V x₁&Øx₂&Øx₃ V x₁&Øx₂&x₃ V x₁&x₂&x₃.

Убеждаемся, что это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.13 представлением нашей формулы в СДНФ.

Замечание. Если булева функция задана формулой в СДНФ, то, применяя алгоритм 4.3 в обратной последовательности, легко можем получить таблицу значений этой функции.

Теорема 4.7 (о представлении булевой функции формулой в СКНФ),

Всякая булева функция f(x₁, x₂, ... , x_n),не равная тождественно 1, может быть представлена формулой в СКНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

Рассмотрим функцию Øf(x₁, x₂, ... , x_n). В соответствии с теоремой 4.6, если она не равна тождественно 0, существует ее формула в СДНФ. Обозначим эту формулу F₁. Очевидно, условие, что функция Øf(x₁, x₂, ... , x_n) не равна тождественно 0, равносильно условию, что функция f(x₁, x₂, ... , x_n) не равна тождественно 1. Кроме того, по закону де Моргана формула F₂ º ØF₁ находится в СКНФ (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний). По закону двойного отрицания

F₂ º ØF₁ º ØØf(x₁, x₂, ... , x_n) º f(x₁, x₂, ... , x_n),

что и доказывает теорему.

Для получения формулы булевой функции f(x₁, x₂, ... , x_n) в СКНФ следует воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.4. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СКНФ)

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных s₁, s₂, ... , s_n, для которых значение f (s₁, s₂, ... , s_n) = 0.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем дизъюнкцию

x₁ ^Øs1Vx₂^Øs2V...Vx_n^Øsn, где x_i ^Øsi = x_i, если s_i = 0 и x_i ^Øsi = Øx_i, если s_i = 1, i = 1, 2, ... , n.

Шаг 3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций. В результате получится СКНФ.

Пример 4.16.

Найдем формулу в СКНФ для функции f(x₁, x₂, x₃), заданной таблицей 4.4.

1. Выберем в таблице строки, где f(x₁, x₂, x₃) = 0. Это 1-ая, 2-ая и 3-я и 7-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем дизъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для трех выбранных строк:

x₁¹Vx₂¹Vx₃¹ = x₁Vx₂Vx₃.

x₁¹Vx₂¹Vx₃⁰ = x₁Vx₂VØx₃.

x₁¹Vx₂⁰Vx₃¹ = x₁VØx₂Vx₃.

x₁⁰Vx₂⁰Vx₃¹ = Øx₁VØx₂V x₃.

3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций и находим СКНФ:

f(x₁, x₂, x₃) = ( x₁Vx₂Vx₃)&(x₁Vx₂VØx₃)&(x₁VØx₂Vx₃)&(Øx₁VØx₂Vx₃).

Это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.14 представлением нашей формулы в СКНФ.

Замечание. Т. к. всего строк в таблице функции 2ⁿ, то, если число дизъюнктивных членов в СДНФ равно p, а число конъюнктивных членов в СКНФ равно q, то p+q=2ⁿ.

Так, для функции, рассмотренной в примерах 4.15 и 4.16, n = 3, p = 4, q = 4, p + q = 8 = 2³.