Виды нелинейных моделей. Линеаризация моделей

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Различают два типа нелинейных регрессионных моделей:

1. регрессии нелинейные относительно включенной факторной переменой, но линейные по парметрам:

-полином порядка n: y=a+b₁x+b₂x²+..+b_nxⁿ+ε;

-гипербола: Виды нелинейных моделей. Линеаризация моделей - student2.ru

2. регрессии нелинейные по параметрам:

-степенная функция: y=ax^bε,

-показ. функция: y=ab^xε,

-экпонен. функция: y=e^a⁺^bxε.

В первом случае для оценки параметров применяется МНК, т.к. эти функции линейны по параметрам. Например, для параболы второй степени: y=a+b₁x+b₂x²+ε необходимо произвести замену переменных: х=х₁, х²=х₂, тогда получим двухфакторное уравнение регрессии: y=a+b₁x₁+b₂x₂+ε для оценки которого используется МНК. Во втором случае нелинейных моделей по параметрам различают два вида нелинейных моделей:

-нелинейные модели внутренне линейные,

-нелинейные модели внутренне нелинейные.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она может быть сведена к линейному виду. Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Линеаризация – математическое преобразование нелинейной зависимости в линейную.

Примеры линеаризации:

1. степенная функция: y=ax^bε,

Логарифмируем: lny=lna+blnx+lnε

{∑lny=nlna+b∑lnx

{∑lny*lnx=lna∑lnx+b∑(lnx)²

a и b находим методом МНК.

2. обратная функция: y=1/(a+bx+ε).

Линеаризуем путем обращения уравнения относительно переменной 1/у.

1/у=a+bx+ε.

3. логистическая функция: y=a/(1+be^-^cx^+ε)

Обращая обе части равенства получаем:

1+be^-^cx^+ε=a/y, вычитаем 1 получаем be^-^cx^+ε=а/у-1

Далее логарифмируем по основанию е:

Lnb-cx+ε=ln(a/y-1), проведя замены получим:

Z=B-cx+ε.

Внутренне нелинейные по параметрам модели нельзя линеаризовать, поэтому их относят к нелинейным.

№ . Коэффицие́нт корреля́ции или парный коэффицие́нт корреля́ции в теории вероятностей и статистике — это показатель характера изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой R и может принимать значения между -1 и +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи (при коэффициенте корреляции равном единице говорят о функциональной связи), а если ближе к 0, то слабой.

индекс корреляции (R): Виды нелинейных моделей. Линеаризация моделей - student2.ru

Величина данного показателя находится в границах: 0 ≤ R ≤ 1, чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

индекс детерминации используется для проверки существенности в целом ур-ия нелинейной регрессии по F- критерию Фишера:

Виды нелинейных моделей. Линеаризация моделей - student2.ru , где R2- индекс детерминации, n- число наблюдений, m – число параметров при переменной х.

Ранжирование факторов, участвующих во множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии, с помощью частных коэффициентов корреляции — для линейных связей. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на у фактора х_i при неизменном уровне др. факторов можно определить по формуле:

Виды нелинейных моделей. Линеаризация моделей - student2.ru ;