Математическое и компьютерное моделирование, основные положения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. О. СУХОГО

Факультет энергетический

Кафедра «Информатика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

на тему: «Применение СКМ для исследования математической модели RLC-цепи»

Исполнитель: студент гр. Э-22

Савчук М.

Руководитель: Андреева Д.П

Дата проверки: _____________________

Дата допуска к защите: ­_____________________

Дата защиты: _____________________

Оценка работы: _____________________

Подписи членов комиссии

по защите курсовой работы: ______________________________

ГОМЕЛЬ 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………….………….…

1 Основные концепции и определения компьютерного моделирования

1.1 Математическое и компьютерное моделирование, основные положения

1.2 Численный метод наименьших квадратов…………………………….

1.3 Аппроксимация и интерполяция в MathCad …......……...……...…….

2 Алгоритмический анализ задачи……………………………….……..

2.1 Постановка задачи………………………………………………............

2.2 Анализ исходных данных и результатов……………………..………..

2.3Описание математической модели…………………………...….…….

2.4 Графическая схема алгоритма………………………………….............

3 Описание реализации базовой модели в MathCAD ………………...

3.1 Описание реализации базовой модели...................................................

3.2 Вывод по результатам исследования…………………………………..

Заключение……………………………………………………….…………

Список используемых источников……………………………..……......

Приложение А Базовая модель ………………………………………….

Приложение Б. Исследования…………………………………………....

Введение

Одной из основных областей применения ПК являются математические и научно-технические расчеты. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, решение уравнений, решение дифференциальных уравнений и т. д. Для таких задач уже разработаны методы решения, созданы математические системы, доступные для изучения студентам.

Целью курсовой работы является разработка математической модели для расчета цепи постоянного тока.

В данной работе используется такая система математических вычислений как MathCad.

MathCad - это мощная и в то же время простая универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, математики и статистики.

MathCad остается единственной системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. MathCad позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.

Приобретаемые навыки при выполнении данной курсовой роботы, важны для студента и будущего инженера.

Основные концепции и определения компьютерного моделирования

Математическое и компьютерное моделирование, основные положения

Известно, что системный анализ – это целенаправленная творческая деятельность человека, на основе которой обеспечивается представление объекта в виде системы. Процессы изучения и использования свойств системы становятся определяющими и решающими для успешной практической деятельности. Одним из современных инструментов системного анализа и синтеза систем является информационное (абстрактное) моделирование, проводимое на компьютерах. Информационные модели могут имитировать существенные черты объектов-оригиналов и достаточно точно воспроизводить их поведение.

Таким образом, одной из сильнейших сторон информатики является ее интегративный характер. Используя идеологию системного подхода, можно изучать объекты и процессы из разных предметных областей, используя для этого современные компьютерные средства и методы. Следует отметить, продуктивный характер подобной деятельности, в основу которой заложена ориентация на исследование и творчество. При этом помимо развития системного мышления может быть достигнута не менее важная цель – закрепление знаний и умений, полученных учеником на других школьных предметах.

Цель курса – научить моделированию, подробно рассматривая каждый этап моделирования на примере большого количества задач. Основное внимание уделяется этапу формализации задач и разработке информационной модели изучаемого объекта или системы. В зависимости от типа задачи моделирование проводится в системе графического редактора и текстового процессора.

Математическое моделирование - процесс создания модели и оперирование ею с целью получения сведений о реальном объекте. Можно заметить, что альтернативой математического моделирования является физическое макетирование, но у математического моделирования есть ряд преимуществ:

1. Меньшие сроки на подготовку анализа;

2. Значительно меньшая материалоёмкость, особенно при проектировании крупногабаритных объектов;

3. Возможность выполнения экспериментов на критических режимах, которые привели бы к разрушению физического макета.

Математическая модель – совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих важнейшие для проектировщика свойства объекта. Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования. В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне связи с методом решения этих уравнений. В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма – последовательности вычислений. Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних). Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды. Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ - дерева. Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза.

По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные. Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные – на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический “чёрный ящик”.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютонов, Гука, Кирхгофа, Фурье и др. Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные. Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных.

Само по себе понятие компьютерное моделирование весьма широкое и каждый автор трактует его по-своему. Встречаются, например, такие выражения: «компьютерное моделирование верхней одежды», «компьютерное моделирование причесок» и т. п. В связи с этим есть необходимость уточнить, что же мы будем понимать под этим термином. Так вот, в данном случае компьютерное моделирование — это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий:

1. Определение цели моделирования.

2. Разработка концептуальной модели.

3. Формализация модели.

4. Программная реализация модели.

5. Планирование модельных экспериментов.

6. Реализация плана эксперимента.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования (и даже наоборот — их результат определяет выбор метода). А вот реализация остальных пяти этапов существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели. Именуются эти подходы в разных книгах по-разному, мы используем для их обозначения термины «аналитическое» и «имитационное» моделирование.

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовало наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других — имитационное (или сочетание того и другого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса. О С какой целью проводится моделирование? О К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двух первых этапов моделирования.

Общая цель моделирования в процессе принятия решения была сформулирована в разделе «Общая схема процесса принятия решений» — это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретной модели цель моделирования должна уточняться с учетом используемого критерия эффективности. Для критерия пригодности модель, как правило, должна обеспечивать расчет значений ПЭ для всего множества допустимых стратегий. При использовании критерия оптимальности модель должна позволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта, дающие экстремальное значение ПЭ.

Таким образом, цель моделирования определяется как целью исследуемой операции, так и планируемым способом использования результатов исследования. Например, проблемная ситуация, требующая принятия решения, формулируется следующим образом: найти вариант построения вычислительной сети, который обладал бы минимальной стоимостью при соблюдении требований по производительности и по надежности. В этом случае целью моделирования является отыскание параметров сети, обеспечивающих минимальное значение ПЭ, в роли которого выступает стоимость.

Задача может быть сформулирована иначе: из нескольких вариантов конфигурации вычислительной сети выбрать наиболее надежный. Здесь в качестве ПЭ выбирается один из показателей надежности (средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и т. д.), а целью моделирования является сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю.

Приведенные примеры позволяют напомнить о том, что сам по себе выбор показателя эффективности еще не определяет «архитектуру» будущей модели, поскольку на этом этапе не сформулирована ее концепция, или, как говорят, не определена концептуальная модель исследуемой системы.