Математическое описание шумов и помех [1, 30]

Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различной природы. К помехам относят также искажения информационных сигналов при влиянии различных дестабилизирующих факторов на процессы измерений, как, например, влияние микрокаверн в стенках скважины на измерения в рентгенорадиометрических методах каротажа, грозовых разрядов на электроразведочные методы измерений и т.п. Выделение информационных составляющих из зарегистрированных сигналов или максимальное подавление шумов и помех в информационном сигнале при сохранении его полезных составляющих является одной из основных задач первичной обработки сигналов (результатов наблюдений).

Если помехи известны и регулярны, как например, фон переменного тока, то борьба с ними особых затруднений не представляет. Наибольшие трудности представляет борьба со случайными (непредсказуемыми) помехами. В общей форме влияние помех на регистрируемый сигнал записывается в следующем виде:

y(t) = V(s(t), q(t)), (2.5.1)

где s(t) – информационная (полезная) часть сигнала, q(t) – помеха.

Помеха называется аддитивной, и обычно именуется шумом, если выражение (2.5.1) представляет собой простую сумму сигнала и помехи:

y(t) = s(t) + q(t). (2.5.2)

Если случайный процесс v(t), оказывающий влияние на сигнал, является неотрицательным, а его влияние выражается в форме:

y(t) = v(t)·s(t), (2.5.3)

то помеху v(t) называют мультипликативной.

В общем случае в сигнале могут присутствовать оба вида помех:

y(t) = v(t) s(t) + q(t). (2.5.4)

Природа помех. Как правило, случайные шумовые помехи (аддитивные) порождаются различного рода физическими флюктуациями – случайными отклонениями тех или иных физических величин от своих средних значений. Природа флюктуаций обычно определяется статистической природой физических процессов. Многие физические величины представляют собой результаты усреднения определенных параметров физических процессов, дискретных и случайных по своей природе. Так, например, тепловой шум регистрируемого напряжения на резисторах электрических цепей обуславливается флюктуациями теплового движения носителей зарядов - случайностью процесса дрейфа отдельных электронов по резистору, по суммарной интенсивности движения которых и формируется падение напряжения на резисторе. Дискретной является природа электромагнитных видов излучения – дискретный квант энергии излучения (фотон) определен значением hn, где h – постоянная Планка, n - частота. Флюктуации физических величин, дискретных и случайных по своей природе, принципиально неустранимы, и речь может идти только о том, чтобы уменьшать их относительную величину имеющимися в нашем распоряжении средствами.

Природа мультипликативных помех обычно связана с изменениями условий измерений, параметров каналов передачи данных и систем их обработки, т.е. когда случайные помехи накладываются не на сам сигнал непосредственно, а на системы, в которых этот сигнал формируется и обращается, вызывая опосредствованные искажения сигнала, как линейные, так и нелинейные.

Характеристики помех. В математическом описании помехи представляются случайными функциями времени. Случайную функцию непрерывного времени обычно называют случайным процессом, ее дискретный аналог – случайной последовательностью. Как правило, помехи относятся к классу стационарных случайных процессов, и характеризуются своими распределениями и моментами распределений, как их числовыми параметрами. Основное распределение большинства шумовых сигналов – нормальное (гауссов процесс). Это объясняется тем, что распределение сумм независимых случайных величин, из которых складываются случайные помехи, сходится к нормальному, вне зависимости от характера распределения слагаемых (теорема Ляпунова).

Момент первого порядка выражает среднее значение (постоянную составляющую) случайного процесса. Теоретическое значение и оценка момента (по интервалу [a, b]):

M{q} = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru q·p(q) dq. (2.5.5)

где p(q) – плотность вероятностей значений q.

Центральный момент второго порядка определяет дисперсию процесса:

D{q} = s2 = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru (q- Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru )2·p(q) dq = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru - Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru 2. (2.5.6)

Дисперсия выражает мощность переменной составляющей процесса. Корень квадратный из значения дисперсии, т.е. значение s, является средним квадратическим значением разброса случайных значений q относительно среднего значения Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru .

Смешанный момент второго порядка называется функцией автокорреляции случайного процесса q(t):

M{q(t)q(t+t)} = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru x1x2·p(x1,x2) dx1 dx2 = B(t). (2.5.7)

Величина B(t) при t = 0 равна общей мощности случайного процесса q(t).

На практике большинство случайных процессов обладают свойством эргодичности. Оно заключается в том, что средние значения по множеству реализаций (математические ожидания, вычисляемые по плотностям распределений (2.5.5-7)) совпадают со средними значениями по времени Т одной реализации процесса при Т Þ ¥. Это позволяет производить оценку числовых значений параметров помех непосредственно по произвольным интервалам [a, b] задания сигналов:

Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru » Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru q(t) dt. (2.5.8)

s2= Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru (q(t)- Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru )2 dt » Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru (q(t)- Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru )2 dt. (2.5.9)

B(t) = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru q(t)q(t+t) dt » Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru q(t)q(t+t) dt. (2.5.10)

Спектральная плотность мощности случайного процесса (распределение мощности помех и шумов по частоте) связано с функцией автокорреляции преобразованием Фурье. В одностороннем (физическом) представлении спектра:

B(f) = 4 Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru B(t) cos 2pft dt. (2.5.11)

B(t) = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru B(f) cos 2pft dt. (2.5.12)

Аддитивную помеху с равномерным спектром

B(f) = B0 = const

называют белым шумом. Мощность белого шума в полосе частот 0-F пропорциональна ширине полосы:

WF = Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru B(f) df = BoF.

При белом шуме полоса частот всегда полагается конечной, т.к. в противном случае мы получим бесконечную мощность шумов.

Сигнал с аддитивной помехой обычно характеризуют не абсолютной мощностью помехи, а отношением средних мощностей сигнала и помехи, которое кратко называют отношением сигнал/помеха:

r = Wc/Wq.

Значения случайных процессов являются некоррелированными только при неограниченной полосе частот. Любое ограничение частотной полосы вносит определенную корреляцию в процесс и независимыми друг от друга можно считать только значения процесса, отстоящие друг от друга как минимум на интервал корреляции to:

to = (2/WF) Математическое описание шумов и помех [1, 30] - student2.ru B(t) dt = 1/2F.

литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

3. Васильев Д.В. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1982. - 528 с.

11. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.

16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах.- М.: Мир, 1983.

25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203. – 608 с.

29. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. – Изд.: ДОДЭКА, 2002.

30. Харкевич А.А. Борьба с помехами. – М.: Наука, 1965.

Наши рекомендации