Границы применимости закона Дарси

В ряде случаев линейность связи между скоростью фильтрации и градиентом давления нарушается. Отклонения от закона Дарси имеют место как при высоких, так и при низких скоростях фильтрации, в последнем случае - за счет проявления жидкостью неньютоновских вязко-структурных свойств.

Применимость закона Дарси при увеличении скоростей фильтрации связана с числом Рейнольдса. В трубной гидравлике критическое значение числа Рейнольдса Re_кр означает переход от ламинарного режима течения к турбулентному. В подземной гидромеханике Re_кр характеризует границу, за пределами которой происходит нарушение линейного закона Дарси.

Формулы для определения числа Рейнольдса были получены многими исследователями.

, 7,5 £ Re_кр £ 9, (Н.Н.Павловский) ;

, 1 £ Re_кр £ 12, (В.Н.Щелкачев) ;

, 0,022 £ Re_кр £ 0,29, (М.Д.Миллионщиков) и др.

Если вычисленное по одной из этих формул значение числа Рейнольдса оказывается меньше нижнего критического значения Re_кр, то закон Дарси справедлив, если больше верхнего критического - закон Дарси нарушен.

Характерным для всех формул является то, что все они приводят к широким диапазонам изменения Re_кр для различных пористых сред. Это связано с тем, что ни в одну из предложенных формул для определения Re не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред; использование для этой цели коэффициентов пористости и проницаемости оказывается явно недостаточным.

Вместе с тем широкий диапазон изменения значений Re_кр можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным типам пористых сред. В этом случае верхняя граница применимости закона Дарси обозначается более четко.

Скорость фильтрации, при которой закон Дарси нарушается, называется критической скоростью фильтрации V_кр.

1.9. Нелинейные законы фильтрации -

их можно выразить с помощью формул двух видов: одночленной со степенной зависимостью и двучленной.

1. Одночленная формула.

,

в дифференциальной форме

, (1.11)

где С - const, определяемая экспериментально; n - показатель фильтрации, 1 £ n £ 2.

а) n = 1, - линейный закон Дарси;

б) n = 2, - закон А.А.Краснопольского.

2. Двучленная формула

- формула Ф.Форхгеймера , (1.12)

где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально.

Первое слагаемое в правой части данной формулы учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью поровых каналов.

Запишем формулу (1.12) проще:

или в дифференциальной форме

.

Частные случаи:

а) при малых V BV²<<AV, следовательно, слагаемым BV² можно пренебречь:

- закон Дарси (движение безынерционное);

б) при больших V AV<<BV², следовательно, можно пренебречьслагаемым АV:

- закон Краснопольского (силы вязкости пренебрежимо малы по сравнению с силами инерции).

Закон А.А.Краснопольского имеет место лишь в средах, состоящих из частиц достаточно крупных размеров.

Двучленный закон фильтрации (1.12) является физически наиболее обоснованным и осуществляется при всех числах Рейнольдса, встречающихся в практике разработки нефтегазовых месторождений.

Обобщенный закон Дарси

Закон Дарси для течения в пористой среде однородной жидкости можно распространить на случай совместного течения двух несмешивающихся жидкостей (например, нефти и воды). При этом для каждой из фаз можно записать:

, (1.13)

где V₁ и V₂ - скорости фильтрации фаз; m₁ и m₂ - динамические вязкости жидкостей; DP₁ и DP₂ - разности давлений в соответствующих фазах; К₁* и К₂* - фазовые проницаемости, зависящие прежде всего от абсолютной проницаемости пористой среды К:

К₁* = К×К₁ ;

К₂* = К×К₂ ,

где К₁ и К₂ - относительные проницаемости фаз.

В общем случае давления Р₁ и Р₂ в фазах не совпадают из-за действия поверхностного натяжения и связаны равенством:

Р₂ - Р₁ = Р_к ,

где Р_к - капиллярное давление.

Введенные понятия можно обобщить на случай совместного течения трех несмешивающихся флюидов - нефти, газа и воды, используя относительные проницаемости трех фаз.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте закон Дарси. Запишите формулу закона Дарси для случая фильтрации жидкости в протяженном пласте (образце породы).

2. Выведите формулу обобщенного теоретического закона фильтрации. Дайте определения фиктивного и идеального грунтов.

3. Перечислите виды проницаемости и пористости. Дайте их определения.

4. Что собой представляют и как связаны друг с другом скорость фильтрации и действительная средняя скорость движения жидкости?

5. Что такое приведенное давление?

6. В каких случаях происходит нарушение закона Дарси? Что такое критическая скорость фильтрации?

7. Приведите выражения нелинейных законов фильтрации.