Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно 4 страница

13. Сплошной медный диск массой 1 кг и толщиной 1 см колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период колебания такого физического маятника.

14. Движение точки задано уравнениями x=5cosπt см и y=10cos см. Найти уравнение траектории и скорость точки в момент времени, равный 1 с.

15. Методом векторных диаграмм сложить два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями колебаний x₁ = cos (ωt + π/4) см и x₂=4cos(ωt– π) см. Записать уравнение результирующего колебания и построить графики x₁, x₂ и результирующего колебания.

Вариант 7

1. На некотором участке пути движение описывается уравнением S=0,5t+0,15t², где путь выражен в метрах, время – в секундах. Определить начальную скорость и ускорение на этом участке. Найти скорость и ускорение в конце 7-й секунды движения.

2. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени 10 с достиг частоты вращения, равной 300 мин^-1. Определить угловое ускорение маховика и число оборотов, которое он сделал за это время.

3. Камень, брошенный с высоты 2,1 м под углом 45⁰ к горизонту, падает на землю на расстоянии 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость камня, время полета и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня.

4. Наклонная плоскость имеет длину 5 м и высоту 3 м. Тело массой 400 кг прижимается к наклонной плоскости силой, параллельной ее основанию. Какой должна быть эта сила, чтобы тело двигалось равномерно вверх ? Коэффициент трения о плоскость 0,1.

5. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком (общая масса равна 5×10³ кг). В песок попадает снаряд массой 5 кг, пролетевший вдоль рельсов. В момент попадания скорость снаряда равна 400 м/c и направлена сверху вниз под углом 37⁰ к горизонту. Найти скорость платформы, если снаряд застревает в песке.

6. Две гири массой 2 кг и 1 кг соединены нитью, перекинутою через навесной блок. Найти ускорение, с которым движутся гири. Трением в блоке пренебречь. Через какое время гиря массой 2 кг опустится на 40 см?

7. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

8. Диск радиусом 20 см и массой 5 кг вращается с частотой 8 об/с. При торможении он остановился через 4 с. Определить тормозящий момент.

9. На сплошной цилиндрический вал радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 10 кг. Найти момент инерции вала и его массу, если груз, при разматывании шнура опускается с ускорением 2 м/с².

10. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

11. Точка совершает гармонические колебания по синусоидальному закону и в некоторый момент времени имеет следующие модули смещения, скорости и ускорения: x = 4·10^-2 м; v = 0,05 м/с; а = 0,8 м/с². Каковы амплитуда и период колебаний точки? Какова фаза колебаний в рассматриваемый момент времени? Каковы максимальная скорость и ускорение точки?

12. Небольшой груз массой 100 г подвешен на пружине и совершает гармонические колебания. Известны наибольшая скорость груза, равная 0,1 м/с, и его наибольшее отклонение от положения равновесия, равное 1 см. Какова жесткость пружины?

13. Один конец нити прикреплен к потолку лифта, а на другом находится груз пренебрежимо малого размера. Лифт начинает опускаться с ускорением 0,81 м/с². Каков период малых колебаний груза, если длина нити равна 1 м?

14. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=2sin(ωt+π/₂) и y=2sinωt. Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с соблюдением масштаба, указав направление движения.

15. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 50 м/с. Период колебаний равен 0,05 с, расстояние между точками составляет 0,5 м. Найти разность фаз колебаний в этих точках.

Вариант 8

1. Уравнение движения точки имеет вид х =5 + t + 2t² +t³ (длина – в метрах, время – в секундах). Найти положение точки в моменты времени t₁ =1c и t₂ = 4c; скорости и ускорения в эти моменты времени.

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j=A+Bt+Ct², где А=10 рад; В=20 рад/c; С= -2 рад/с². Найти угловую скорость и угловое ускорение для момента времени, равного 5 с.

3. Через блок, подвешенный к динамометру, перекинут шнур, на концах которого укреплены грузы массами 2 кг и 8 кг. На какое значение указывает динамометр при движении грузов?

4. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду преодолело 2/3 своего пути. Найти путь, пройденный телом.

5. При помощи веревки груз массой 80 кг можно равноускоренно поднимать с ускорением 19,6 м/с². Какой наибольшей массы груз можно опустить при помощи этой веревки с ускорением 4,9 м/с²?

6. Наклонная плоскость, образующая угол в 25⁰ с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

7. Маховик радиусом 0,2 м и массой 10 кг соединен с мотором при помощи ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения , постоянна и равна 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском.

8. Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массой 300 г и 200 г. Масса блока равна 300 г. Блок считать однородным диском. Найти ускорение движения грузов.

9. Диск массой 1 кг и диаметром 0,6 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, делая 20 оборотов в секунду. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы остановить диск?

10. Маховик, момент инерции которого равен 50 кг·м², вращается по закону: j = A + Bt + Ct², где А = 2 рад; В = 16 рад/с; С = -2 рад/с². Найти закон изменения вращающего момента и закон изменения мощности. Какова мощность в момент времени t = 3с.

11. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону косинуса с начальной фазой –π, амплитудой 6 см и циклической частотой 3π. Каково смещение точки из положения равновесия в начальный момент времени? Какова максимальная скорость в момент времени 2 с?

12. При температуре 20⁰С период колебаний маятника равен 2 с. Как изменится период колебаний, если температура возрастет до 30⁰С? Коэффициент линейного расширения материала маятника равен 1,85·10^-5 К^-1.

13. Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания по синусоидальному закону, к ее потенциальной энергии для моментов времени, если смещение точки от положения равновесия составляет : а) x = ; б) x = ; в) x = A.

14. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении, по гармоническому закону и с одинаковой частотой, амплитудами 5 см и 10 см и сдвигом фаз Δφ = π/3. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.

15. Рыболов заметил, что за время, равное 10 с, поплавок совершил на волне 20 колебаний, а расстояние между соседними гребнями волн равно 1,2 м. Какова скорость распространения волн?

Вариант 9

1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S=At–Bt² +Ct³, где А = 2м/с; В = 3 м/с² и С = 4 м/с³. Определить расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения.

2. Колесо радиусом 0,2 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени выражается уравнением j=A+Bt+Ct³, где В=4 рад/с; С=2 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти угловую скорость, угловое ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения через 3 с после начала движения.

3. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массой 0,5 кг и 0,6 кг. Найти силу давления блока на ось при движении грузов в двух случаях: лифт поднимается равномерно; лифт идет с ускорением 1 м/с². Масса блока пренебрежимо мала.

4. Камень падает с высоты 1200 м. Какой путь пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

5. На наклонной плоскости находится груз массой 5 кг, связанный нитью, перекинутой через блок, с другим грузом массой 2 кг. Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью равен 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту составляет 37⁰. Определить ускорения движения грузов. Нить считать нерастяжимой.

6. Падающий вертикально шарик массой 200 г ударился об пол со скоростью 5 м/с и подпрыгнул на высоту 46 см. Найти изменение импульса шарика при ударе.

7. Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой 900 г относительно оси, совпадающей с одной из сторон, если длина другой стороны пластины равна 20 см.

8. Шар массой 10 кг и радиусом 0,2 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон движения шара имеет вид j = A + Bt² + Ct³, где В=4 рад/с²; С= -1рад/с³. Найти зависимость момента сил, действующих на шар, от времени. Каков будет момент сил в момент времени, равный 2 с?

9. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,8·10^-2 Н?

10. Карусель диаметром 4,5 м свободно вращается с угловой скоростью 0,7 рад/с; ее полный момент инерции равен 1750 кг·м². Стоящие на земле 4 человека массою по 65 кг одновременно прыгают на край карусели. Какова после этого будет угловая скорость карусели? Какой была бы угловая скорость карусели, если бы люди, стоящие вначале на ней, в некоторый момент спрыгнули бы на землю?

11. Написать уравнение гармонических колебаний, совершающихся по закону косинуса. За время 1 мин совершается 60 колебаний, амплитуда которых 8 см, а начальная фаза равна π рад. Построить график зависимости смещения от времени.

12. Определить отношение периодов колебаний математического маятника на некоторой планете и на Земле, если масса первой планеты в 6,25 раз больше массы Земли, а ее радиус в 2 раза меньше земного.

13. Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы 10^-2 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на частицу.

14. Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=2cos t м и y= -cosπt м. Определить траекторию точки и начертить ее с соблюдением масштаба.

15. Движение частицы представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний вдоль оси x следующего вида: x₁=2cos2πt см и x₂=2cos(2πt – π/₂) см. С помощью метода векторных диаграмм найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, записать уравнение результирующего колебания и построить его график.

Вариант 10

1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям х₁=A₁t + B₁t² + C₁t³, х₂ = A₂t + B₂t² + C₂t³, где A₁ = 4 м/с; B₁ = 8 м/с²; C₁ = -16 м/c³; A₂ = 2 м/с; B₂ = -4 м/с²; C₂ = 1 м/c³. В какой момент времени ускорения движения этих точек будут одинаковы? Найти скорость точек в этот момент.

2. Велосипедное колесо вращается с частотой 5с^-1. Под действием сил трения оно остановилось через 1 мин. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделает колесо за это время.

3. На невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный легкий блок, подвешены грузы массой 400 кг и 450 кг. За некоторое время после начала движения грузы прошли путь 1,2 м, двигаясь с некоторым ускорением. Найти время, ускорение движения грузов и силу натяжения нити.

4. Лыжник начал спуск по склону, имеющему угол 30⁰. Считая, что коэффициент трения равен 0,1, вычислить ускорение лыжника, скорость, которую он приобретет через 10 с.

5. Материальная точка массой 2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению х=A + Bt + Ct² +Dt³, где А = 10 м; В = -2 м/с; С = 3 м/с³; D = -0,2 м/c³. Найти мощность, затрачиваемую на движение точки, в моменты времени 2 с и 5 с.

6. Тело массой 4 кг движется со скоростью 3 м/c и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты , выделившейся при ударе.

7. К ободу однородного сплошного диска радиусом 50 см приложена постоянная касательная сила в 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М_тр = 2 Нм. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 12 рад/с².

8. Человек стоит на скамейке Жуковского и ловит рукой мяч массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка Жуковского, когда человек поймает мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамейки равен 6 кг×м² .

9. Человек стоит в центре легко вращающейся платформы. Момент инерции платформы с человеком на ней относительно оси платформы равен 1,5 кг·м². При раздвижении рук в горизонтальном положении момент инерции человека возрастает вдвое. Если при этом в руках человека - гантели, то угловая скорость уменьшается в 4 раза. Найти массу гантели, если начальное расстояние между гантелями 0,4 м, а конечное – 1,6 м.

10. Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного движения диска.

11. Материальная точка совершает колебания по закону x = 2,4cos( t + ) см. Найти: а) период и частоту колебаний, смещение и скорость в момент времени t = 0; б) скорость и ускорение в момент времени t = 1 c.

12. Маятник состоит из шарика массой 100 г, подвешенного на нити длиной 2 м. Определить период колебаний маятника и энергию, которой он обладает, если наибольший угол его отклонения от положения равновесия составляет 10⁰.

13. Уравнение колебаний материальной точки массой 16г имеет вид x=2sin( t+ ) см. Определить кинетическую и потенциальную энергии точки через две секунды после начала колебаний.

14. Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы 10^-2 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на частицу.

15. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одного направления, описываемых уравнениями x₁=2cos(ωt+π/₄) см и x₂=2cos(ωt-π/₄) см. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Построить графики колебаний x₁, x₂ и результирующего колебания.