Часть 5. Применение рядов для решения дифференциальных уравнений

1. Метод последовательного дифференцированияприменяется

для нахождения частного решения уравнения , при начальных условиях , ,…, (5.1),

удовлетворяющего теореме Коши о существовании и единственности решения. Решение ищется в виде ряда Тейлора . (5.2)

При этом часть коэффициентов известна из начальных условий, а следующие необходимые производные в точке находятся при дифференцировании данного уравнения по соответствующее число раз.

Этот метод не даёт возможности исследовать полученный ряд на сходимость. Однако он применим, когда заранее известно, что решение уравнения в виде ряда существует.

Пример 5.1.Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения уравнения ,при начальных условиях , .

Решение будем искать в виде ряда (5.2): . (5.3)

Подставив в исходное уравнение начальные условия, найдём: .

Дифференцируем по заданное уравнение и находим следующие : ,

,

Теперь подставим данные значения в (5.3) и получим ответ:

Пример 5.2.Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения уравнения , при начальных условиях , .

Вид решения: (5.4)

Подставим в уравнение начальные условия:

Дифференцируем данное уравнение и подставляем начальные условия: , .

Окончательно, подставляя в (5.4) найденные значения , получим Ответ:

2.Метод неопределённых коэффициентовудобен при решении линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями , ,…, .

Если коэффициенты уравнения и разложимы в степенные ряды по степеням , сходящиеся в области ,то уравнение имеет единственное решение в виде ряда , сходящегося в той же области.

Для нахождения коэффициентов необходимо:

1)коэффициенты в уравнении и заменить их разложениями в ряды;

2)найти последовательно производные функции ,

где коэффициенты пока не определены, и подставить в исходное дифференциальное уравнение полученные разложения;

3) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

в правой и левой частях данного соотношения получить и решить систему уравнений относительно коэффициентов .Если найти конечное число коэффициентов ,то получится приближённое решение.

Пример 5.3.Найти общее решение уравнения

в окрестности точки .

Решение ищем в виде ряда:

Дифференцируя этот ряд, получим разложения для и :

Подставим эти выражения для , и в исходное уравнение:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства, получим систему уравнений для нахождения :

Следовательно,

Подставляем найденные коэффициенты в разложение искомой функции: =

Исходное дифференциальное уравнение – линейное неоднородное второго порядка. Его общее решение должно иметь следующую структуру: ,

где и - линейно независимые частные решения соответствующего однородного уравнения – они образуют фундаментальную систему решений, - частное решение данного неоднородного уравнения, - общее решение соответствующего однородного уравнения.

В полученном решении необходимая структура имеет место.

, образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

- частное решение неоднородного уравнения.

Учитывая, что в ответе присутствуют разложения известных функций (см.3.9) , запишем полученное решение иначе:

Ответ:

Пример 5.4. Найти частное решение уравнения , при начальных условиях: , .

Вычислить значение частного решения в точке с точностью до δ=0,001.

1. Представим решение в виде ряда .

, (см. пример 5.3).

Разложив в ряд Маклорена cosx и sinx, получим после подстановки в уравнение следующее соотношение:

Подставляя начальные условия в разложения и , находим: . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получаем систему для нахождения остальных коэффициентов:

,

,

.

Просматривается закономерность: , , n=0,1,2,…

Проверим её, вычислив и :

.

Такие же и получаются, если в выражения и вместо n подставить n+1. Т.е. коэффициенты найдены верно.

Искомое частное решение: . Преобразуем его:

= .

«Сместим» индекс суммирования первого ряда n→n+1:

.

Получили разложения известных функций (см. 3.4, 3.5).Перепишем решение иначе: .

2. Чтобы вычислить приближённо значение полученного частного решения в точке , подставим в наш ряд: .

Этот знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, поэтому, если заменить сумму S ряда частичной суммой , то остаток ряда < . Найдём несколько слагаемых: , , , . . Погрешность . Ответ: , .

Контрольное задание.

1. Применяя метод последовательного дифференцирования, найти n первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.

a) ; b) .

Ответ:a) b) .

2. Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

a) ; b)

Ответ: a) ; b) .

Содержание задания «Степенные ряды».

Задача 1.Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах этого интервала.

Задача 2. Пользуясь известными формулами разложения в степенной ряд функций , разложить данную функцию f(x) в ряд по степеням (x-a) и определить интервал сходимости полученного ряда.

Задача3. Разлагая подынтегральную функцию в ряд, вычислить приближённое значение данного определённого интеграла с погрешностью δ, не превышающей 0,001.

Задача 4. Найти первые 4-5 членов разложения в ряд Тейлора частного

решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

Задача 5. Найти решение данного линейного дифференциального неоднородного уравнения второго порядка в виде ряда по степеням x (методом неопределённых коэффициентов). Исследовать структуру полученного общего решения, выделив в нём общее решение соответствующего однородного уравнения, его фундаментальную систему решений и частное решение неоднородного уравнения. Найти частное решение ,удовлетворяющее начальным условиям , вычислить значение этого частного решения в точке ( ) с точностью до 0,01.

Таблица 1.

N	Задача 1	Задача 2	Задача 3
f(x)	a
			-2
			-1
			-3
			-2
			-1
			-1
			-1
			-8
			-2
			-
			-1
			-2
			π

Таблица 2.

N	Задача 4	Задача 5
Уравнение	Н. усл.	Уравнение	Н.У.
					-1
9
					-1
					-1

Литература.

1.Е.А. Власова. Ряды. Учебник для ВУЗов / под ред. В.С.Зарубина, А.П. Крищенко. – М. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000,-612 с./.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М., Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М. «Наука». 1985, 448с..

3. Осипова М.З. «Ряды и их приложения», М., Ротапринт МВТУ,1973.

Оглавление.

Часть 1. Функциональные ряды. 4

Часть 2. Степенные ряды. 7

Часть 3. Разложение функций в степенные ряды. 16

Часть 4. Приближённые вычисления интегралов с помощью рядов. 28

Часть 5. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. 32

Содержание задания «Степенные ряды». 40

Литература. 47.