Формулы включений и исключений

Проиллюстрируем теперь применение операций над множествами для решения задач о нахождении числа элементов, заданных несколькими условиями. Ниже будем рассматривать только конечные множества А и через обозначать число их элементов.

При решении задач будем пользоваться формулой включений и исключений для двух конечных множеств А и В:

,

и формулой включений и исключений для трех конечных множеств А, В и С:

.

Задача.

На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, по стереометрии – 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Решение. Пусть

1) U – множество всех абитуриентов,

2) А – множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,

3) В – множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии,

4) С – множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.

По условию задачи составим таблицу числа элементов множеств (таблица 1).

Таблица 1.

Множества	Обозначение числа элементов множества	Число элементов множества
Множество всех абитуриентов.
Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре.
Множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии.
Множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.
Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре и планиметрии.
Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре и стереометрии.
Множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии и стереометрии.
Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, планиметрии и стереометрии.

В множество включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу. По формуле включений и исключений для трех конечных множеств имеем . Отсюда следует, что не все поступившие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили (абитуриентов).

Рис.5.

На рисунке 5 это решение проиллюстрировано с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

Вернуться к конспектам уроков

Оглавление

1. Множества и их элементы.. 1

2. Характеристическое свойство множества. 2

3. Подмножества. 3

4. Операции над множествами. 4

4.1. Пересечение множеств. 4

4.2. Объединение множеств. 4

4.3. Разность множеств. 5

5. Формулы включений и исключений. 6