Основні методи інтегрування

1. Безпосереднє інтегрування.

2. Метод заміни змінної

3. Інтегрування по частинах.

Безпосереднім інтегруванням будемо називати інтегрування за допомогою властивостей невизначеного інтеграла, тотожних перетворень підінтегральної функції і таблиці основних інтегралів.

Приклад 1.

.

В основі методу підстановки (або методу заміни змінної) обчислення невизначених інтегралів лежить таке твердження, яке є наслідком правила диференціювання складеної функції:

Нехай дано функції , і нехай існує складена функція . Якщо функція має первісну , а функція диференційована, то функція є первісною для функції , і тому

Приклад 1. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Замінимо змінну тоді ,

отже,

.

Приклад 2. Обчислити інтеграл

.

Розв’язання. Припустимо, що , тоді і . Отже,

.

Інтегрування по частинах.

За правилом диференціювання добутку маємо

.

Тому

Якщо похідні (або, що те саме, диференціали) двох функцій рівні, то їх невизначені інтеграли збігаються. Тому

Використовуючи властивість невизначених інтегралів:

,

дістанемо формулу

(1)

Цю формулу називають формулою інтегрування частинами.

Приклад 1. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Припустивши

, ,

тоді

Звідси за формулою (1) матимемо

Приклад 2. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Припустимо, що

тоді

Тому, використовуючи формулу (1), маємо

Використовуючи формулу інтегрування частинами для відшукання інтегралів від добутку, важко дати загальне правило для визначення того, який співмножник в підінтегральному виразі слід позначити через і який через . Водночас при визначенні інтегралів необхідно, щоб обов’язково входило у вираз для і цей вираз був легко інтегрованим, а також щоб інтеграл був простішим від вихідного. Так, наприклад, для інтегралів виду , , за беруть многочлен , а для інтегралів виду за беруть відповідно

Якщо в інтегралах першого виду многочлен вищий від першого степеня, то формулу інтегрування частинами треба застосовувати кілька разів.

Приклад 3. Знайти інтеграл

Розв’язання. Припустимо, що і , тоді і Тому

Останній інтеграл знайдемо інтегруванням частинами.

Припустимо тепер, що і тоді і Отже,

Таким чином,

Формула інтегрування частинами застосована і для знаходження інтегралів виду

і . Для знаходження таких інтегралів формулу інтегрування частинами застосовують послідовно двічі, причому обидва рази за беруть або показникові функцію, або тригонометричну. Після дворазового інтегрування частинами дістають лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла.

Приклад 4. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Припустимо, що і , звідки і . Тому

(2)

Для знаходження останнього інтеграла використаємо ще раз формулу інтегрування частинами:

і

і

Тоді

Підставивши цей вираз у рівність (2) дістанемо

Отже,

5.Визначений інтеграл: поняття,геометричний і економічний зміст,властивості.

Поняття визначеного інтегралу

Розглянемо плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної на відрізку [a; b] функції f(x), відрізком [a; b], та і прямими x=a та x=b.

Отримана фігура називається криволінійною трапецією. Обчислимо її площу. Для цього розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних відрізків. Довжини кожного з відрізків дорівнюють Δx.

Рис. 1. Поняття визначеного інтегралу

На кожному відрізку, побудуємо прямокутники з висотами f(xk-1) (Рис. 1).

Площа кожного такого прямокутника дорівнює Sk = f(xk-1)Δxk.

Площа всіх таких прямокутників дорівнює .

Цю суму називають інтегральною сумою для функції f(x).

Якщо n→∞ то площа побудованої таким чином фігури буде все менш відрізнятись від площі криволінійної трапеції.

Означення. Границя інтегральної суми коли n→∞ називається визначеним інтегралом, і записується це так :. читається: "інтеграл від a до b f від xdx"

Число а називається нижньою межею інтегрування, b – верхньою межею інтегрування, відрізок [a; b] – проміжок інтегрування.

Властивості визначеного інтегралу

Використання поняття визначеного інтегралу в економіці

Визначення загального обсягу випущеної продукції

Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).

Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T0 до T1 обчислюється за допомогою визначеного інтегралу

.

При , x(t)=100e0,2t, T0=0 та T1=5 (років) загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції

Геометричний зміст визначеного інтеграла: де S- площа фігури, обмеженої графіком функції y = f(x) і прямими х = а, х = b і y = 0.

Площа фігури, обмеженої графіками функцій f(x), g(x) і прямими х = а і х = b дорівнює:

Приклад

Геометричний зміст визначеного інтегралу: якщо | _к|→0, то площа ступінчастої фігури наближається до площі криволінійної трапеції, обмеженої прямими х=а, х=b, у=0 і кривою у=f(x).

S (при f(x)≥0, x є [a;b]). Якщо f(x)≤0, то -S.

6.Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай функція f неперервна на відрізку [а, b] та F — певна первісна для f на цьому відрізку, тоді:

Ця формула називається формулою Ньютона—Лейбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовуеться позначення:

7.Застосування.Площа плоскої фігури.Криволінійна трапеція.

План 1.1. Обчислення площі в декартових координатах Коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою (10.1) Нехай у прямокутній системі координат фігура (рис.10.1) обмежена кривими Виділимо у фігурі смужку шириною . Її довжина дорівнюватиме . Тоді площа смужки . Звідси Отже, (10.2) Рис.10.1 Рис.10.2 Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі (10.3) Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою Зробивши заміну в цьому інтегралі і враховуючи, що одержимо (10.4) 1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо: , У фігурі виділимо сектор з центральним кутом Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор , є дугами кіл радіусів . Очевидно, що площа сектора між дугами i дорівнює Інтегруючи, одержимо (10.5) Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою , віссю і прямою, яка з’єднує точку , що лежить на гіперболі, з початком координат. Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури , а потім від площі трикутника відняти площу фігури . Отже, . Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо Оскільки то . Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді Рис.10.3 Рис.10.4 , де - функція, обернена відносно функції . Пропонується переконатися в цьому самостійно. Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою . Р о з в ’ я з о к.Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках , проходить через початок координат при , дотикаючись до прямих . Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,

8.Метод заміни змінної (метод підстановки)

Полягає в тому, що деякий вираз позначають новою змінною, а потім весь підінтегральний вираз виражають через цю нову змінну.

Приклад:

В загальному випадку

Якщо останній інтеграл виявиться простішим від початкового, то заміна вдала.

Для цього методу бажано знати, які заміни змінних в тих чи інших випадках приведуть до спрощення інтегралу.

9.Метод інтегрування частинами.

Із формули диференціала добутку інтегруванням двох частин рівності одержумо формулу інтегрування частинами

За цією формулою знаходження інтеграла зводиться до знаходження іншого інтеграла Застосовувати цю формулу потрібно в тих випадках, коли легко знаходитися. Якщо неправильно вибрати , то завдання навпаки може уладнитись. Для застосування формули інтегрування частинами до інтегралу необхідно підінтегральний вираз представити в вигляді добутку двох множників та . За завжди вибирають такий вираз, що містить . Його інтегруванням можна знайти . За в більшості випадків приймається функція, яка при диференціюванні спрощується.

В такий спосіб на першій погляд важкі і незрозумілі, з точи зору обчислень, інтеграли можна швидко звести до табличного вигляду.

Розглянемо приклади інтегрування частинами.

Приклад 1.

Обчислити інтеграли

a)

b)

c)

Розв'язок.

а) Даний інтеграл один з класичних в курсі вищої математики. Функції підбираємо таким чином

Згідно формул інтегрування частинами маємо

б) Для даного інтеграла вибираємо у вигляді

За формулою отримаємо

в) В даному випадку вибараємо наступними

Підставляємо в інтеграл

Бачимо, що знову отримали інтеграл до якого потрібно застосувати правило інтегрування частинами

Формли для беремо з попереднього інтегрування. Підставляючи в інтеграл, отримаємо

До останнього інтегралу знову застосовуємо правило

Друга змінна залишається без змін. Залишився один крок до повного обчислення.

Підставляючи в вихідну формулу, матимемо