Динамика поступательного движения

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Краткая теория

В качестве меры механического действия одного тела на другое в механике вводится векторная величина, называемая силой. В рамках классической механики имеют дело с гравитационными силами, а также с упругими силами и силами трения.

Сила гравитационного притяжения,действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения,пропорциональна произведению масс точек динамика поступательного движения - student2.ru и динамика поступательного движения - student2.ru , обратно пропорциональна квадрату расстояния динамика поступательного движения - student2.ru между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.1)

где G=6,67∙10-11 м3/(кг∙с2) - гравитационная постоянная.

Сила тяжести – это сила притяжения в гравитационном поле небесного тела:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.2)

где динамика поступательного движения - student2.ru - масса тела; динамика поступательного движения - student2.ru - ускорение свободного падения, динамика поступательного движения - student2.ru - масса небесного тела, динамика поступательного движения - student2.ru - расстояние от центра масс небесного тела до точки, в которой определяется ускорение свободного падения (рис. 3.1).

динамика поступательного движения - student2.ru

Вес динамика поступательного движения - student2.ru -это сила, с которой тело действует на опору или подвес, неподвижные относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес динамика поступательного движения - student2.ru равен силе тяжести динамика поступательного движения - student2.ru , действующей на тело со стороны Земли. В противном случае вес динамика поступательного движения - student2.ru , где динамика поступательного движения - student2.ru - ускорение тела (с опорой) относительно Земли.

Упругие силы

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Действующей на тело (пружину) силе противодействует упругая сила. С учетом направления действия для упругой силы динамика поступательного движения - student2.ru имеет место формула:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.3)

где k- коэффициент упругости (жесткость в случае пружины), динамика поступательного движения - student2.ru - абсолютная деформация. Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука.Этот закон справедлив только для упругих деформаций.

В качестве величины, характеризующей деформацию стержня, естественно взять относительное изменение его длины:

динамика поступательного движения - student2.ru ,(3.4)

где l0- длина стержня в недеформированном состоянии, Δl – абсолютное удлинение стержня. Опыт показывает, что для стержней из данного материала, относительное удлинение ε при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.5)

где E - модуль Юнга (величина, характеризующая упругие свойства материала). Эта величина измеряется в паскалях (1Па=1Н/м2). Отношение F/S представляет собой нормальное напряжение σ, поскольку сила F направлена по нормали к поверхности.

Силы трения

Придвижении телапо поверхности другого тела или в среде (воде, масле, воздухе и т.д.) оно встречает сопротивление. Это сила сопротивления движению динамика поступательного движения - student2.ru . Она является результирующей сил сопротивления формы тела и трения: динамика поступательного движения - student2.ru . Сила трения динамика поступательного движения - student2.ru всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Если имеется жидкая смазка, это будет уже вязкое трениемежду слоями жидкости. Аналогично обстоит дело и при движении тела, полностью погруженного в среду. Во всех этих случаях сила трения зависит от скорости сложным образом. Для сухого трения эта сила сравнительно мало зависит от скорости (при малых скоростях). Но трение покоя нельзя определить однозначно. Если тело покоится и нет силы, стремящейся сдвинуть тело, динамика поступательного движения - student2.ru равна нулю. Если такая сила есть, тело не сдвинется до тех пор, пока эта сила не станет равной некоторому значению динамика поступательного движения - student2.ru , называемому максимальным трением покоя. Сила трения покоя может иметь значения от 0 до динамика поступательного движения - student2.ru , что отражено на графике (рис. 3.2, кривая 1) вертикальным отрезком. В соответствии с рис. 3.2 (кривая 1), сила трения скольжения с увеличением скорости вначале несколько убывает, а затем начинает возрастать. Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давления динамика поступательного движения - student2.ru , прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.6)

где динамика поступательного движения - student2.ru - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения (соответственно покоя или скольжения). Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, в частности от их шероховатости. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости.

динамика поступательного движения - student2.ru

Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим.

Сила вязкого трения обращается в нуль вместе со скоростью. При малых скоростях она пропорциональна скорости:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.7)

где динамика поступательного движения - student2.ru - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Величина коэффициента динамика поступательного движения - student2.ru зависит от формы и размеров тела, состояния его поверхности и от свойства среды, называемого вязкостью. Этот коэффициент зависит и от скорости динамика поступательного движения - student2.ru , однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным. При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный, то есть сила начинает расти пропорционально квадрату скорости (рис. 3.2, кривая 2).

Первый закон Ньютона:всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инерцией. Соответственно первый закон Ньютона также называют законом инерции, а движение тела, свободного от внешних воздействий, - движением по инерции.

Опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление» при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее степень неподатливости тела к изменению его скорости, называется инертностью. У различных тел оно проявляется в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот. В рамках ньютоновской механики масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:

1) масса – величина аддитивная, то есть масса составного тела равна сумме масс его частей динамика поступательного движения - student2.ru ;

2) масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.

Второй закон Ньютона:под действием результирующей силы тело приобретает ускорение

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.8)

где динамика поступательного движения - student2.ru - масса тела, динамика поступательного движения - student2.ru - ускорение; динамика поступательного движения - student2.ru - результирующая сила (геометрическая сумма сил, действующих на тело).

Третий закон Ньютона: каждой силе динамика поступательного движения - student2.ru соответствует сила противодействия динамика поступательного движения - student2.ru , равная по величине, но противоположно направленная:

динамика поступательного движения - student2.ru . (3.9)

Силы динамика поступательного движения - student2.ru и динамика поступательного движения - student2.ru приложены к разным телам. Эти силы одной природы.

Импульс –векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.10)

где динамика поступательного движения - student2.ru - импульс тела, динамика поступательного движения - student2.ru - масса тела, динамика поступательного движения - student2.ru - скорость тела.

Основное уравнение динамики поступательного движения для точки, входящей в систему точек:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.11)

где динамика поступательного движения - student2.ru - скорость изменения импульса i –ой точки системы; динамика поступательного движения - student2.ru - сумма внутренних сил, действующих на i –ю точку со стороны всех точек системы; динамика поступательного движения - student2.ru - результирующая внешняя сила, действующая на i –ю точку системы; N- число точек в системе.

Основное уравнение динамики поступательного движения для системы точек:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.12)

где динамика поступательного движения - student2.ru - скорость изменения импульса системы; динамика поступательного движения - student2.ru - результирующая внешняя сила, действующая на систему.

Основное уравнение динамики поступательного движениятвердого тела:

динамика поступательного движения - student2.ru , (3.13)

где динамика поступательного движения - student2.ru - результирующая сила, действующая на тело; динамика поступательного движения - student2.ru - скорость центра масс тела, динамика поступательного движения - student2.ru скорость изменения импульса центра масс тела.

Вопросы для самоподготовки

1. Назовите группы сил в механике, дайте им определение.

2. Дайте определение результирующей силы.

3. Сформулируйте закон всемирного тяготения.

4. Дайте определение силы тяжести и ускорения свободного падения. От каких параметров зависят эти физические величины?

5. Получите выражение для первой космической скорости.

6. Расскажите о весе тела, условиях его изменения. Какова природа этой силы?

7. Сформулируйте закон Гука и укажите границы его применимости.

8. Расскажите о сухом и вязком трении. Объясните, как зависит сила сухого и вязкого трения от скорости движения тела.

9. Сформулируйте первый, второй и третий законы Ньютона.

10. Приведите примеры выполнения законов Ньютона.

11. Почему первый закон Ньютона называют законом инерции?

12. Дайте определение и приведите примеры инерциальных и неинерциальных систем отсчета.

13. Расскажите о массе тела как мере инертности, перечислите свойства массы в классической механике.

14. Дайте определение импульса тела и импульса силы, укажите единицы измерения этих физических величин.

15. Сформулируйте и запишите основной закон динамики поступательного движения для изолированной материальной точки, точки системы, системы точек и твердого тела.

16. Материальная точка начинает двигаться под действием силы Fx, график временной зависимости которой представлен на рисунке. Изобразите график отражающий зависимость величины проекции импульса px от времени.

динамика поступательного движения - student2.ru

Примеры решения задач

3.1. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой динамика поступательного движения - student2.ru , а коэффициент трения зависит только от расстояния динамика поступательного движения - student2.ru до центра динамика поступательного движения - student2.ru площадки по закону динамика поступательного движения - student2.ru где динамика поступательного движения - student2.ru постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке динамика поступательного движения - student2.ru , по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

Дано: Найти:

R, r(vmax), vmax.

динамика поступательного движения - student2.ru

Решение:

динамика поступательного движения - student2.ru

В задаче рассматривается движение велосипедиста по окружности. Так как скорость велосипедиста по модулю постоянна, то он движется с центростремительным ускорением динамика поступательного движения - student2.ru под действием нескольких сил: силы тяжести динамика поступательного движения - student2.ru , силы реакции опоры динамика поступательного движения - student2.ru и силы трения динамика поступательного движения - student2.ru (рис.3.4).

Применяя второй закон Ньютона, получим:

динамика поступательного движения - student2.ru ++ динамика поступательного движения - student2.ru + динамика поступательного движения - student2.ru =m динамика поступательного движения - student2.ru . (1)

Выбрав оси координат (рис.1.3), запишем уравнение (1) в проекциях на эти оси:

динамика поступательного движения - student2.ru

С учетом того, что Fтр=μFN= динамика поступательного движения - student2.ru mg, получим выражение для скорости:

динамика поступательного движения - student2.ru . (2)

Для нахождения радиуса r, при котором скорость велосипедиста максимальна, необходимо исследовать функцию v(r) на экстремум, то есть найти производную динамика поступательного движения - student2.ru и приравнять ее к нулю:

динамика поступательного движения - student2.ru = динамика поступательного движения - student2.ru =0. (3)

Знаменатель дроби (3) не может быть равным нулю, тогда из равенства нулю числителя получим выражение для радиуса окружности, при котором скорость максимальна:

динамика поступательного движения - student2.ru . (4)

Подставляя выражение (4) в (2), получим искомую максимальную скорость:

динамика поступательного движения - student2.ru .

Ответ: динамика поступательного движения - student2.ru .

На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней брусок массы m2. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону где c - постоянная. Найти зависимость от ускорения доски и бруска если коэффициент трения между доской и бруском равен . Изобразите примерные графики этих зависимостей.

Дано: Найти:

m1, 1. динамика поступательного движения - student2.ru

m2, 2. динамика поступательного движения - student2.ru

динамика поступательного движения - student2.ru

динамика поступательного движения - student2.ru

динамика поступательного движения - student2.ru .

Решение:

Рис. 3.5 к примеру решения задач № 3.2.
динамика поступательного движения - student2.ru
динамика поступательного движения - student2.ru
динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru

В задаче рассматривается поступательное движение двух соприкасающихся тел (доски и бруска), между которыми действует сила трения. Между доской и плоскостью сила трения отсутствует. Сила F, приложенная к бруску, растет со временем, поэтому до некоторого момента времени динамика поступательного движения - student2.ru брусок и доска движутся вместе с одинаковым ускорением, а при динамика поступательного движения - student2.ru брусок начнет обгонять доску, будет скользить по ней. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Поэтому силы трения, действующие на доску динамика поступательного движения - student2.ru и брусок динамика поступательного движения - student2.ru , направлены так, как показано на рисунке 3.5, причем динамика поступательного движения - student2.ru . Пусть момент начала отсчета времени t=0совпадает с началом движения тел, тогда сила трения будет равна максимальной силе трения покоя динамика поступательного движения - student2.ru (где динамика поступательного движения - student2.ru сила нормальной реакции доски, уравновешенная силой тяжести бруска динамика поступательного движения - student2.ru ). Ускорение доски динамика поступательного движения - student2.ru возникает под действием одной силы трения динамика поступательного движения - student2.ru , направленной так же, как и сила динамика поступательного движения - student2.ru .

Зависимость ускорения доски и ускорения бруска от времени динамика поступательного движения - student2.ru можно найти из уравнения второго закона Ньютона, записанного для каждого тела. Поскольку вертикальные силы, действующие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движения для каждого из тел можно записать в скалярной форме (для проекций на ось ОХ):

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru

Учитывая, что динамика поступательного движения - student2.ru , динамика поступательного движения - student2.ru = динамика поступательного движения - student2.ru , можно получить:

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru . (1)

Из системы уравнений (1) можно найти момент времени динамика поступательного движения - student2.ru , учитывая, что при динамика поступательного движения - student2.ru :

динамика поступательного движения - student2.ru .

Решив систему уравнений (1) относительно динамика поступательного движения - student2.ru , можно получить:

динамика поступательного движения - student2.ru (при динамика поступательного движения - student2.ru ). (2)

При динамика поступательного движения - student2.ru ускорения динамика поступательного движения - student2.ru и динамика поступательного движения - student2.ru различны, но сила трения имеет определенное значение динамика поступательного движения - student2.ru , тогда:

динамика поступательного движения - student2.ru (3)

Рис. 3.6 к примеру решения задач №3.2
динамика поступательного движения - student2.ru

График зависимости ускорений от времени для тел динамика поступательного движения - student2.ru и динамика поступательного движения - student2.ru можно построить на основании выражений (2) и (3). При динамика поступательного движения - student2.ru график представляет собой прямую, выходящую из начала координат. При динамика поступательного движения - student2.ru график динамика поступательного движения - student2.ru прямая, параллельная оси абсцисс, график динамика поступательного движения - student2.ru прямая, идущая вверх более круто (рис.3.6).

Ответ: при динамика поступательного движения - student2.ru ускорения динамика поступательного движения - student2.ru

при динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru . Здесь динамика поступательного движения - student2.ru .

3.3.В установке (рисунок 3.7) известны угол φ наклонной плоскости с горизонтом и коэффициент трения динамика поступательного движения - student2.ru между телом динамика поступательного движения - student2.ru и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс динамика поступательного движения - student2.ru , при котором тело динамика поступательного движения - student2.ru :

1) начнет опускаться;

2) начнет подниматься;

3) будет оставаться в покое.

Дано: Найти:

φ, динамика поступательного движения - student2.ru

динамика поступательного движения - student2.ru

Решение:

Рис. 3.7 а к примеру решения задач №3.3
динамика поступательного движения - student2.ru

динамика поступательного движения - student2.ru

В задаче рассматриваются два тела, связанные нитью и совершающие поступательное движение. На тело массы динамика поступательного движения - student2.ru действуют сила тяжести динамика поступательного движения - student2.ru сила нормальной реакции динамика поступательного движения - student2.ru наклонной плоскости, сила натяжения динамика поступательного движения - student2.ru нити и сила трения динамика поступательного движения - student2.ru . На тело динамика поступательного движения - student2.ru действуют только сила тяжести динамика поступательного движения - student2.ru и сила натяжения динамика поступательного движения - student2.ru нити (рис. 3.7). В условиях равновесия ускорения первого и второго тела равны нулю динамика поступательного движения - student2.ru , а сила трения является силой трения покоя, и ее направление противоположно направлению возможного движения тела динамика поступательного движения - student2.ru . Применяя второй закон Ньютона для первого и второго тела, получаем систему уравнений:

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru (1)

Bследствие невесомости нити и блока динамика поступательного движения - student2.ru . Выбрав оси координат (рис.3.7 а, 3.7 б), запишем для каждого тела уравнение движения в проекциях на эти оси. Тело динамика поступательного движения - student2.ru начнет опускаться (рис. 3.7 а) при условии:

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru (2)

При совместном решении системы (2) можно получить

динамика поступательного движения - student2.ru (3)

С учетом того, что динамика поступательного движения - student2.ru выражение (3) можно записать в виде:

динамика поступательного движения - student2.ru (4)

Тело динамика поступательного движения - student2.ru начнет подниматься при условии (рис.3.7 б): динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru (5)

При совместном решении системы (5) можно получить:

динамика поступательного движения - student2.ru (6)

Тело динамика поступательного движения - student2.ru будет находиться в покое при условии:

динамика поступательного движения - student2.ru

Ответ: 1) динамика поступательного движения - student2.ru 2) динамика поступательного движения - student2.ru

3) динамика поступательного движения - student2.ru .

3.4.Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами динамика поступательного движения - student2.ru и динамика поступательного движения - student2.ru ( динамика поступательного движения - student2.ru ). Кабина начинает подниматься с ускорением динамика поступательного движения - student2.ru . Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти:

1) ускорение груза динамика поступательного движения - student2.ru относительно шахты лифта и относительно кабины;

2) силу, с которой блок действует на потолок кабины.

Дано: Найти:

динамика поступательного движения - student2.ru 1. динамика поступательного движения - student2.ru

динамика поступательного движения - student2.ru 2. динамика поступательного движения - student2.ru .

динамика поступательного движения - student2.ru .

Решение:

Грузы динамика поступательного движения - student2.ru и динамика поступательного движения - student2.ru движутся относительно кабины лифта и участвуют в движении лифта с ускорением динамика поступательного движения - student2.ru . Если нить не растяжима, то ускорения грузов относительно кабины одинаковы по модулю и противоположны по направлению:

динамика поступательного движения - student2.ru = динамика поступательного движения - student2.ru

динамика поступательного движения - student2.ru .

Относительно шахты лифта ускорения грузов:

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru

Для проекций на ось OY эти уравнения можно переписать в виде:

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru = динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru (1)

динамика поступательного движения - student2.ru

Каждый из грузов движется под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Параллельность сил, действующих на каждый из грузов, позволяет записать уравнения движения сразу в скалярной форме для проекций на ось OY:

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru (2)

Решая систему (1) относительно динамика поступательного движения - student2.ru , можно получить:

динамика поступательного движения - student2.ru . (3)

Подставляя (3) в систему уравнений (2), получим выражение для ускорения груза динамика поступательного движения - student2.ru относительно шахты лифта:

динамика поступательного движения - student2.ru .

Подставляя уравнения системы (1) в систему уравнений (2)

динамика поступательного движения - student2.ru динамика поступательного движения - student2.ru (4)

и решая систему уравнений (4), можно получить выражение для ускорения груза динамика поступательного движения - student2.ru относительно кабины лифта:

динамика поступательного движения - student2.ru .

Сила давления блока на ось динамика поступательного движения - student2.ru где динамика поступательного движения - student2.ru сила реакции оси, действующая на блок и направленная вертикально вверх. Кроме этой силы на блок действуют силы натяжения нити, направленные вниз. Уравнение второго закона Ньютона для блока имеет вид:

динамика поступательного движения - student2.ru

где динамика поступательного движения - student2.ru ускорение блока относительно Земли, динамика поступательного движения - student2.ru его масса. Если динамика поступательного движения - student2.ru то независимо от ускорения блока

динамика поступательного движения - student2.ru

Для проекций на ось OY данное уравнение можно переписать в виде:

динамика поступательного движения - student2.ru

Уравнения (4) образуют систему с двумя неизвестными Т и а. Умножая первое уравнение этой системы на m2, а второе на m1 и складывая их почленно, можно получить:

динамика поступательного движения - student2.ru .

Искомая сила давления блока на потолок кабины

динамика поступательного движения - student2.ru , тогда

динамика поступательного движения - student2.ru .

Ответ: динамика поступательного движения - student2.ru , динамика поступательного движения - student2.ru ;

динамика поступательного движения - student2.ru .

Наши рекомендации