Закон Ома в дифференциальной форме

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Электрический ток

Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. При таком движении заряды называются носителями тока. Мы ограничимся лишь рассмотрением тока в проводнике, который называют током проводимости. В проводнике под действием приложенного электрического поля с напряженностью положительные носители тока перемещаются в направлении поля, а отрицательные – в противоположную сторону (рис. 1). Скорость упорядоченного движения носителей тока при этом будем обозначать буквой . За направление электрического тока принимается направление упорядоченного движения положительных носителей.

Количественной характеристикой электрического тока служит скалярная величина, называемая силой тока I, равная заряду, переносимому носителями через поперечное сечение S проводника в единицу времени:

,(1)

где dq – заряд, переносимый носителями тока через поперечные сечение S проводника за время dt (рис. 1).

Ток, не изменяющийся со временем ни по величине, ни по направлению, называется постоянным. Для постоянного тока

, (2)

где q – заряд, проходящий через поперечное сечение S проводника за время t.

В СИ единица измерения силы тока ампер(А) является основной. На основании (1) через ампер определяется единица заряда – кулон, являющаяся производной единицей:

.

Электрический ток может быть распределен неравномерно по поперечному сечению S проводника, по которому он течет. В этом случае детально ток характеризуют с помощью вектора плотности тока .

Модуль вектора

, (3)

где dI – сила тока через расположенную в данной точке площадку , перпендикулярную к направлению движения носителей.

Численно плотность тока j равна силе тока через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению движения носителей. За направление вектора принимается направление скорости упорядоченного движения положительных носителей тока.

Плотность тока измеряется в .

Поле вектора плотности тока изображается графически с помощью линий тока, которые строятся так же, как линии напряженности . На рис. 2 изображены линии тока в проводнике, площадь поперечного сечения S которого плавно увеличивается слева направо. Величина плотности тока при этом уменьшается .

Сила тока через произвольную поверхность S находится как поток вектора через нее:

, (4)

где – проекция вектора на нормаль к поверхности.

Если линии тока перпендикулярны к поперечному сечению S проводника и плотность тока j во всех точках этого сечения одинакова, то выражение (4) принимает простой вид

. (5)

Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома является одним из важнейших законов электродинамики. В интегральной форме он был экспериментально открыт для металлических проводников немецким физиком Омом в 1826 г. Представим этот закон в дифференциальной форме исходя из простых модельных представлений.

Рассмотрим металлический проводник, в котором носителями тока являются электроны с зарядом и массой m. Проанализируем сначала движение отдельного электрона. Под действием кулоновской силы , действующей со стороны поля с напряженностью , электрон движется со скоростью против вектора (рис. 3).

При своем движении электрон взаимодействует с другими электро-нами и ионами кристаллической решетки. Это взаимодействие обуслов-ливает сопротивление движению электрона. Опыт показывает, что это явление можно учесть, рассматривая движение электрона в среде, в которой на него действует сила сопротивления , пропорциональная скорости :

, (6)

где – коэффициент пропорциональности.

Следовательно, согласно второму закону Ньютона, уравнение движения электрона имеет вид

. (7)

С увеличением скорости упорядоченного движения электрона сила быстро растет, что приводит к установлению равновесия между силами и . Ускорение электрона становится равным , а уравнение (7) принимает вид

. (8)

Из уравнения (8) следует, что между скоростью упорядоченного движения электрона пропорциональна напряженности поля:

, (9)

где – коэффициент пропорциональности, называемый подвижностью электрона.

Численно подвижность носителя тока (электрона) равна скорости его упорядоченного движения в электрическом поле с напряженностью, равной единице .

Подвижность носителей тока c измеряется в .

Найдем теперь связь плотности тока со скоростью упорядоченного движения электронов . Обозначим через n концентрацию электронов, т.е. число электронов в единице объема металлического проводника. В этом случае через поперечное сечение проводника S (рис. 1) за время dt переносится заряд dq, заключенный в объеме :

.

Отсюда получаются выражения для силы тока

и для плотности тока

. (10)

Переписав (10) в векторном виде, получим искомую связь плотности тока со скоростью упорядоченного движения электронов:

. (11)

Подставив (9) в (11), установим связь плотности тока с напряженностью поля в металлическом проводнике:

(12)

Коэффициент пропорциональности между и в формуле (12) называется удельной электрической проводимостью s металла и определяется его свойствами:

. (13)

Удельная электропроводность измеряется в сименсах на метр .

Таким образом, выражение (12) с учетом (13) можно записать так:

. (14)

Формула (14) выражает закон Ома в дифференциальной (локальной) форме: плотность тока в произвольной точке проводника пропорциональна напряженности поля в этой точке. Так как закон сформулирован для точки, а не для участка проводника, то он называется локальным или дифференциальным, хотя никаких дифференциалов или производных не содержит. Закон Ома справедлив не только для металлов, но и для некоторых других изотропных проводников.