Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах= λх, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называетсясобственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (9.3) x`_j = λx_j, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

Отсюда

. (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

| A - λE | = 0, (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ | A - λE| называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Доказательство. (см. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A-λE| не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а_ij=a_ji), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х₁, х₂, х₃, соответствующих собственным значениям λ₁, λ₂, λ₃ матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы Составим характеристическое уравнение: (1- λ)(5 - λ)(1 - λ) + 6 - 9(5 - λ) - (1 - λ) - (1 - λ) = 0, λ³ - 7λ² + 36 = 0, λ₁ = -2, λ₂ = 3, λ₃ = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х₍₁₎={x₁,x₂,x₃} – собственный вектор, соответствующий λ₁=-2, то

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х₍₁₎={a,0,-a}, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x₍₁₎|=1, х₍₁₎=

Подставив в систему (9.5) λ₂=3, получим систему для определения координат второго собственного вектора - x₍₂₎={y₁,y₂,y₃}:

, откуда х₍₂₎={b,-b,b} или, при условии |x₍₂₎|=1, x₍₂₎=

Для λ₃ = 6 найдем собственный вектор x₍₃₎={z₁, z₂, z₃}:

, x₍₃₎={c,2c,c} или в нормированном варианте

х₍₃₎ = Можно заметить, что х₍₁₎х₍₂₎ = ab – ab = 0, x₍₁₎x₍₃₎ = ac – ac = 0, x₍₂₎x₍₃₎ = bc - 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Лекция 10.

Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х₁, х₂,…,х_n называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:

(10.2) Найдем дискриминант:

следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для n = 2).

Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что Подставим эти соотношения в предыдущее равенство: Значит, .

Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.

Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы(10.1) называется симметрическая матрица . (10.3)

Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.