Максимум и минимум функции
Точка 
называется точкой максимума или минимума функции 
, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство 
или 
соответственно. Значения функции в точке называются соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называется экстремумомфункции. Значения аргумента, при которых функция имеет экстремум, называются критическими точками первого рода.
Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти ее производную 
и, приравняв ее к нулю, решить уравнение 
. Корни этого уравнения, а также точки, в которых производная не существует, являются критическими точками первого рода.
Если знак производной при переходе через точку меняется с плюса на минус, то есть точка максимума. Если знак производной при переходе через точку меняется с минуса на плюс, то есть точка минимума. Если знак не меняется, то в точке экстремума нет.
Иногда проще исследовать критическую точку по знаку второй производной. Если в критической точке, где первая производная равна нулю, 
, то есть точка минимума. Если 
, то есть точка максимума. Если 
, то такую точку исследуют по первой производной.
Если функция задана неявно 
, то для того, чтобы 
, должно выполняться равенство 
. Здесь 
, 
производные от функции 
по 
и 
, найденные в предположении, что и не зависят от и , соответственно. Решая совместно и , находим критические точки. Экстремум функции в критических точках находят по знаку второй производной 
. Если в критической точке 
, то это точка максимума. Если 
, то это точка минимума.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение: Находим производную 
и приравняем ее к нулю 
. Корни этого уравнения 
, 
являются критическими точками.
При переходе через точку производная знака не меняет, т.к. данный множитель в квадрате, а при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс. Значит, в точке функция имеет минимум. Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции 
.
Пример 2.Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение: Находим первую производную 
и приравняем ее к нулю 
. Корни этого уравнения 
, 
, 
являются критическими точками. Находим вторую производную 
и выясним знак второй производной в критических точках: 
- функция имеет максимум; 
- функция имеет минимум; 
функция имеет минимум. Определяем экстремальные значения функции: 
- максимум функции; 
- минимум функции; 
- минимум функции.
Пример 3.Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение: Находим первую производную 
и приравниваем ее к нулю 
. Корни этого уравнения , Являются критическими точками. Находим вторую производную 
и выясним знак в критических точках.
В точке вторая производная 
- функция имеет максимум. В точке вторая производная 
, следовательно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстремума по первой производной. Поскольку при переходе через точку первая производная знака не меняет, то в точке экстремума нет.
Определяем в точке максимальное значение функции 
.
Пример 4.Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим производную 
. Приравниваем производную к нулю 
и находим критическую точку 
. При переходе через точку производная 
меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в точке функция имеет минимум 
.
Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем 
. Отсюда находим критическую точку функции 
, в которой производная не существует. Очевидно, что в точке 
производная 
, а в точке 
производная 
. Следовательно, есть точка максимума функции 
.
Пример 5.Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение: Функция задана неявно. Находим 
и 
. Производная 
тогда, когда 
, т.е. 
.
Решая систему уравнений 
находим критическую 
. Вычисляем вторую производную 
. В критической точке 
и 
, если 
, и , если 
. Таким образом, функция при имеет минимум, а при имеет максимум.
Найти максимум и минимум функции:
1. 
. Ответ: 
.
2. 
Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
, 
.
5. 
. Ответ: 
, 
, 
.
6. 
. Ответ: 
,
.
7. 
. Ответ: экстремумов нет.
8. 
. Ответ: 
, 
.
9. 
. Ответ: 
, 
.
10. 
. Ответ: 
.
11. 
. Ответ: 
, 
.
12. 
. Ответ: 
, 
.
13. 
. Ответ: 
.
14. 
. Ответ: 
.
15. 
. Ответ: 
.
16. 
. Ответ: 
, 
.
17. 
. Ответ: 
, 
.
18. 
Ответ: , 
.
19. 
Ответ: 
, 
.
20. . 
Ответ: 
, 
.
21. неявная функция: 
.
Ответ: 
, .
22. неявная функция: 
.
Ответ: 
, 
.
23. параметрически заданная функция: 
.
Ответ: 
.
24. параметрически заданная функция: 
Ответ: 
.
25. 
. Ответ: 
,
если 
четное, то 
.
26. 
.
Ответ: , если нечетное;
если четное, то экстремумов нет.
27. 
. Ответ: 
,
если 
четное, то , если четное, то .