Мінори та алгебраїчні доповнення

Нехай визначник має n рядків і n стовпців. Мінором k-го порядку k [1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор першого порядку — це будь-який елемент визначника.

Приклад 1.2. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку такого визначника:

.

, , , .

Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок мінора.

Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор, який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го порядку.

Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині i₁, i₂, ..., i_k рядків і j₁, j₂, ..., j_k стовпців.

Алгебраїчним доповненням до мінора k-го порядку є допов-няльний мінор (n–k)-го порядку, узятий зі знаком , де Якщо сума номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна — то знак «–».

Далі важливу роль відіграватиме алгебраїчне доповнення до мінора першого порядку. Нехай — будь-який елемент-мінор першого порядку у визначнику n-го порядку, тоді буде алгебраїчним доповненням до мінора . Тут — доповняльний мінор (n–1)-го порядку, утворений викреслюванням i-рядка і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.

Обчислення визначників

Означення. Визначником n-го порядку називається число , яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

(1.4)

Алгебраїчні доповнення, що входять до формули (1.4), за якою обчислюють визначник, у свою чергу, є, мінорами, узятими з відповідними знаками, тобто визначниками (n–1)-го порядку. Отже, обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n–1)-го порядку.

Але з формули (1.4) випливає, що за наявності у визначнику нульових елементів відповідні алгебраїчні доповнення обчислювати не потрібно.

Згідно з властивістю 8, яка справджується для визначників будь-якого порядку, можна визначник перетворити так, щоб у його рядках або стовпцях усі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. Тоді, розклавши визначник за елементами цього рядка або стовпця, зведемо задачу знаходження визначника n-го порядку до знаходження одного визначника n–1-го порядку.

Приклад 1.3. Обчислити визначник:

.

Розв’язання.

Обчислюємо визначник, розкладаючи його по елементам першого рядка.

Матриці

Основні поняття

Розглянемо ще один математичний об’єкт, пов’язаний із системою рівнянь (1.1).

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпців. Якщо повернутися до системи рівнянь (1.1), то коефіцієнти при невідомих у лівій частині якраз і утворюють таку прямокутну таблицю:

.

Числа називаються елементами матриці, а запис означає її розмір. Зауважимо, що на першому місці в цьому запису зазначено кількість рядків матриці, а на другому — кількість стовпців. Наприклад, запис розміру матриці означає, що в ній п’ять рядків і три стовпці. Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною.

Дві матриці рівні між собою, якщо вони мають однаковий розмір і всі їх відповідні елементи рівні між собою.

Елементи з двома однаковими індексами a₁₁, a₂₂, a₃₃, ... a_nn утворюють головну діагональ матриці. Якщо , то матриця називається симетричною.

Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею:

.

Коли всі елементи матриці, що містяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник, який складається з тих самих елементів.

Якщо такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою, або невиродженою. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особлива, або вироджена.

Дії з матрицями

1. Сумою матриць одного й того самого порядку і називається матриця ; , будь-який елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В: . Наприклад обидві матриці , мають розмір , тому за означенням можна утворити їх суму — матрицю

.

2. Добутком матриці на деяке число називається така матриця С, кожен елемент якої утворюється множенням відповідних елементів матриці А на , .

Приклад 1.4. , .

Очевидно, що для суми матриць і добутку матриць на число виконуються рівності:

1) ;

2) ;

3) .

Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається така матриця розміру , , кожний елемент якої можна знайти за формулою:

.

Кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В, тобто за схемою:

Зазначимо, що в результаті множення дістанемо матрицю розміру .

З означення випливає, що добуток матриць взагалі некомутативний: .

Приклад 1.5. Обчислити суму матриць А і В:

Розв’язання.

Приклад 1.6. Знайти добуток матриць А і В:

Розв’язання.

Якщо АВ= ВА, то матриці називаються переставними.

Одинична матриця переставна для всіх матриць її розмірності.

Транспонуванням матриці називається математична дія, коли рядки матриці А записуються стовпцями. Ця дія позначається як А^Т, а матриця А^Т називається транспонованою.

Приклад 1.7. Транспонувати матрицю .

Розв’язання.

.

Обернена матриця

Якщо добуток двох квадратних матриць дорівнює одиничній матриці, тобто АС=Е, то матриця С називається оберненою по відношенню до А та позначається С=А^—1. матриця А є оберненою до матриці С, тобто А=С^-1. Тоді АА^-1=А^-1А=Е. Обернена матриця є переставною.

Властивості оберненої матриці:

– де

,

.

Для знаходження оберненої матриці треба виконати такі дії.

1. Обчислити визначник матриці А. Якщо , то матриця називається невиродженою, і в цьому випадку існує обернена матриця.

2. Обчислюються алгебраїчні доповнення кожного елемента а_ij матриці А і записуються у вигляді матриці С.

3. Транспонується матриця алгебраїчних доповнень С.

4. Обчислюється обернена матриця за формулою:

(1.4)

5. Виконується перевірка

Приклад 1.8.

Знайти обернену матрицю для

.

Розв’язання.

1. Обчислюємо визначник матриці А, розкладаючи його по першому рядку.

.

, тому обернена матриця існує.

2. Обчислюємо алгебраїчні доповнення всіх елементів.

,

,

.

Запишемо матрицю алгебраїчних доповнень

.

3. Транспонуємо матрицю С.

.

4. Обернена матриця

.

5. Перевірка.

Приклад 1.9. Знайти обернену матрицю для матриці

Розв’язання.

1. Обчислюємо визначник матриці А, дописавши два стовпця

, тому обернена матриця існує.

2. Обчислюємо алгебраїчні доповнення всіх елементів.

,

,

.

3. С- матриця алгебраїчних доповнень.

.

4. Транспонуємо матрицю С.

.

5. Обернена матриця.

.

5. Перевірка