Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных

Величин.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется

М(Х) = dx.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины Х математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(x) является еу плотностью распределения, называется величина несобственного интеграла:

D(X) =

D(X) =

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и дискретная случайная величина.

Наряду с дисперсией для характеристики разброса непрерывной случайной величины вокруг ее среднего значения используется среднее квадратическое отклонение

σ(х) = .

Пример.

Случайная величина Х задана плотностью распределения

f(x) =

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Пример.

Случайная величина задана функцией распределения

F(х) =

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

. Некоторые законы распределения случайных величин

Равномерное распределение

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все значения которых лежат на и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке.

b

h

f(x)

a

x

Рис

Функция распределения этого закона распределения имеет вид:

.

Пример 1.

Случайная величина – отклонение емкости конденсатора от номинала равномерно распределено на отрезке . Найти , , , , . Построить график .

Решение.

В задаче , поэтому

Построим график f(x).

1/100

f(x)

-50

x

Рис

Функция распределения вероятности случайной величины:

Ее график имеет вид:

-50

F(x)

x

Рис

, ;

.

Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона

Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна p, то, как известно, вероятность того, что при испытаниях событие осуществляется раз, определяется формулой Бернулли:

.

Закон распределения случайной величины , которая может принимать значение , описывается формулой Бернулли, называется биномиальным.

Закон распределения случайной величины , которая может принимать любые целые неотрицательные значения , описываемый формулой , носит название закона Пуассона.

Для биномиального закона ; .

Для закона Пуассона: .

Пример 1.

Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие происходит с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – число наступления события A в трех испытаниях. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X. Найти MX, DX, .

Решение.

Ряд распределения:

	0,216	0,432	0,288	0,064

0,936

0,648

0,248

F(x)

x

Рис

;

.

Пример 2.

Радиоаппаратура состоит из 100 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равно 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и менее двух электроэлементов за год?

Решение.

Считая случайное число отказавших элементов подчиняющихся закону Пуассона

,

где , получим: вероятность отказа ровно двух элементов

;

вероятность отказа не менее двух элементов

;

т.е.

.

Показательное (экспоненциальное) распределение.
Функция надежности

Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит показательный закон распределения, функция плотности распределения которого имеет вид

,

где постоянный параметр.

, , ;

.

Если T – непрерывная случайная величина, выражающая продолжительность безотказной работы какого-либо элемента, а – среднее число отказов в единицу времени (интенсивность отказов), то продолжительность времени t безотказной работы этого элемента можно считать случайной величиной, распределенной по показательному закону распределения с функцией распределения

,

которая определяет вероятность отказа элемента за время , а называется функцией надежности.

Пример 1.

Время телефонного разговора – случайней величина, распределенная по показательному закону распределения с параметром . Записать . Найти , . Определить вероятность того, что разговор будет продолжаться более трех минут.

Решение.

; .

Пример 2.

Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону:

Найти вероятность того, что в результате испытаний попадет в интервал .

Решение.

По формуле имеем

.

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью

где – математическое ожидание случайной величины; – среднее квадратичное отклонение величины .

– называется функцией Лапласа, или интеграл вероятностей, функция ошибок.

Иногда используют другие формы функции Лапласа, например,

– нормированная функция Лапласа.

; .

Отметим следующие свойства функции Лапласа:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 1.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и . Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение.

Пользуясь формулой , получим

.

По таблице приложения . Отсюда искомая вероятность

.

Пример 2.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти .

Решение.

Используя формулу , имеем

.

По таблице приложения находим .

Поэтому .

Пример 3.

Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием . Задан интервал , не включающий начало координат. При каком значения среднего квадратического отклонения вероятность попадания в достигает максимума?

Решение.

Для решения задачи сделаем схематический чертеж:

Рис

Значение найдем, дифференцируя по вероятность попадания в и приравнивая производную к нулю. Имеем

.

.

Отсюда

,

и, следовательно,

.

Для малого интервала

.

10. Закон больших чисел

Трудно сказать о том, какие значения примет случайная величина. Все зависит от совокупности случайных обстоятельств. Когда таких случайных обстоятельств очень много, то, оказывается, существуют условия, позволяющие предвидеть ход опыта, явления, которые получили название закона больших чисел или предельных теорем.

Если существует математическое ожидание квадрата случайной величины, то имеет место неравенство:

.

Это неравенство называется вторым неравенством Чебышева.

Первое неравенство Чебышева: если существует , то для всех имеет место .

Выберем в качестве случайной величины центрированную случайную величину и применим к ней второе неравенство Чебышева:

.

Теорема Чебышева (закон больших чисел).

Если случайные величины в последовательности попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию

,

то для всех

.

Теорема Маркова (закон больших чисел в общей формулировке).

Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательности удовлетворяют условию

,

то имеет место утверждение

.

Пример 1.

Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина X – проекции вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события , если путем многолетних измерений установлено, что .

Решение.

За возьмем 80км/ч и, применив первое неравенство Чебышева, получим => .

Предельные теоремы теории вероятностей

Теорема Бернулли. Относительная частота успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли сходятся по вероятности при к вероятности успеха в одном испытании.

Центральная предельная теорема (Ляпунова). Если случайные величины в последовательности независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое ожидание и дисперсию , то для любого действительного

,

где – стандартизированное среднее арифметическое n случайных величин в последовательности.

Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях

,

где – табулирована и (интегральная теорема Муавра – Лапласа).

, ,

– функция табулирована (локальная теорема Муавра – Лапласа).

Пример 1.

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 120 раз в 144 испытаниях.

Решение.

По условию задачи . Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Найдем значение аргумента

.

По таблице функций находим, что . Искомая вероятность равна

.

Пример 2.

Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность следующих событий: (в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок), (будет сделано ровно 7 ошибок).

Решение.

Для вычисления вероятности события применим интегральную
теорему Муавра – Лапласа.

.

Искомая вероятность будет

.

По таблицам функции находим, что

, .

Искомая вероятность равна

.