Уравнение касательной к графику функции

Пример 1. Дана функция f (x) = 3x² + 4x – 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x) в точке графика с абсциссой x₀ = 1.

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (3x² + 4x – 5)′ = 6x + 4.

Тогда f (x₀) = f (1) = 2; (x₀) = = 10. Уравнение касательной имеет вид:

y = (x₀) (x – x₀) + f (x₀),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Ответ. y = 10x – 8.

Пример 2. Дана функция f (x) = x³ – 3x² + 2x + 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x), параллельной прямой y = 2x – 11.

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x³ – 3x² + 2x + 5)′ = 3x² – 6x + 2.

Так как касательная к графику функции f (x) в точке с абсциссой x₀ параллельна прямой y = 2x – 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x₀) = 2. Найдем эту абсциссу из условия, что 3x – 6x₀ + 2 = 2. Это равенство справедливо лишь при x₀ = 0 и при x₀ = 2. Так как в том и в другом случае f (x₀) = 5, то прямая y = 2x + b касается графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5).

В первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b, откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b, откуда b = 1.

Итак, существует две касательные y = 2x + 5 и y = 2x + 1 к графику функции f (x), параллельные прямой y = 2x – 11.

Ответ. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Пример 3. Дана функция f (x) = x² – 6x + 7. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x), проходящей через точку A (2; –5).

Решение. Так как f (2) –5, то точка A не принадлежит графику функции f (x). Пусть x₀ — абсцисса точки касания.

Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x² – 6x + 1)′ = 2x – 6.

Тогда f (x₀) = x – 6x₀ + 7; (x₀) = 2x₀ – 6. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x₀ – 6)(x – x₀) + x – 6x + 7,

y = (2x₀ – 6)x – x + 7.

Так как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство

–5 = (2x₀ – 6)×2– x + 7,

откуда x₀ = 0 или x₀ = 4. Это означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x).

Если x₀ = 0, то уравнение касательной имеет вид y = –6x + 7. Если x₀ = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2x – 9.

Ответ. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Пример 4. Даны функции f (x) = x² – 2x + 2 и g (x) = –x² – 3. Напишем уравнение общей касательной к графикам этих функции.

Решение. Пусть x₁ — абсцисса точки касания искомой прямой с графиком функции f (x), а x₂ — абсцисса точки касания той же прямой с графиком функции g (x).

Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x² – 2x + 2)′ = 2x – 2.

Тогда f (x₁) = x – 2x₁ + 2; (x₁) = 2 x₁ – 2. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x₁ – 2)(x – x₁) + x – 2x₁ + 2,

y = (2x₁ – 2)x – x + 2. (1)

Найдем производную функции g (x):

= (–x² – 3)′ = –2x.

Тогда g (x₂) = –x – 3; (x₂) = –2x₂. Уравнение касательной имеет вид:

y = –2x₂ (x – x₂) – x – 3,

y = –2x₂x + x – 3. (2)

Очевидно, что уравнения (1) и (2) являются уравнениями одной и той же прямой при выполнении двух условий: 2x₁ – 2 = –2x₂ и –x + 2 = x – 3. Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными x₁ и x₂, получим или x₁ = 2, x₂ = –1, или x₁ = –1, x₂ = 2. Это означает, что существует две общие касательные к графикам функций f (x) и g (x). Подставив x₂ = –1, затем x₂ = 2 в уравнение (2), получим уравнения двух касательных: y = 2x – 2 и y = –4x + 1.

Ответ. y = 2x – 2, y = –4x + 1.