Движение тел в жидкостях и газах

При движении тела в жидкости оно испытывает сопротивление движению. Сила, с которой жидкость действует на тело, в общем случае направлена под некоторым углом к направлению движения. Она создаётся двумя составляющими: одной, направленной вдоль потока F_Л, и вторая, перпендикулярная к ней F_П. Первая носит название лобового сопротивления, а вторая – подъёмной силы.

Воздействие потока жидкости на твёрдое тело зависит от относительной скорости движения тела и частиц жидкости, причём безразлично тело ли движется относительно покоящейся жидкости или неподвижное тело обтекает движущаяся жидкость.

В дальнейшем мы не будем различать эти два случая и назовём их общим термином – обтекание тел.

Изучим силы, возникающие при обтекании тела, движущегося с малой скоростью так, что число Рейнольдса R_e = v×l/v (где v – относительная скорость движения тела и жидкости, l – характерный размер тела, v – коэффициент кинематической вязкости), меньше критического. При этом жидкость, обтекая тело, движется слоями. Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлением скорости, то линии тока изгибаются также почти симметрично. Сила сопротивления должна быть направлена прямо противоположно скорости потока. В этом случае на тело действует только лобовое сопротивление. Так как линии тока симметричны, то сечения трубок тока, а, следовательно, скорости и давления, окажутся в точках А и В примерно одинаковыми.

Результирующая сила давления, действующая на тело, почти равна нулю, и лобовое сопротивление обязано своим происхождением главным образом вязкости жидкости.

При обтекании тела в любом сечении, проходящем через или вблизи него, скорость меняется от v = 0 у стенок тела до v = v₀ в невозмущённой области потока. Наличие градиента скорости обуславливается существованием сил внутреннего трения в жидкости.

Для тел различной формы и размера величина градиента скорости в разных сечениях, перпендикулярных оси тела, может быть различна, а, следовательно, и сила вязкого трения на разных единичных площадках, по которым соприкасаются слои жидкости, будет разной. Изменение положения данного тела тоже может вызвать изменение градиента скорости.

В случае обтекания тела при числах Рейнольдса меньших критического, сопротивление прямо пропорционально первой степени скорости.

(1)

С_х – коэффициент лобового сопротивления. Он зависит от вязкости жидкости, размеров и формы тела, его ориентации в потоке.

Для обтекания шара при малых значениях числа Рейнольдса R_e = v×d/v (d – диаметр шара). Английский физик Джордж Стокс теоретически вычислил значение коэффициента сопротивления для шара и для силы сопротивления получил следующее выражение.

(2)

Формула Стокса применяется для вычисления скорости падения тел в вязких средах; для расчётов скорости падения пылинок и водяных капель в воздухе; скорости осаждения мелких речных наносов (ила и глины) в водохранилищах и отстойниках и т.п. Если скорость падения частиц измерена, то можно вычислить вязкость среды или размер частиц. Для подобных расчётов измеряется скорость установившегося падения тела. При этом сила сопротивления уравновешивает результирующую выталкивающей силы и силы тяжести. Для сферической частицы имеем.

(3)

r₁ – плотность тела, r₂ – плотность жидкости (среды). Отсюда скорость равномерного падения тела в среде равна.

(4)

При возрастании относительной скорости течения жидкости около тела возникает пограничный слой, в котором скорость резко возрастает от нуля у поверхности тела до значений, близких к скорости невозмущенного потока или близких к средней скорости течения у границы прилипшего слоя. Толщина и форма пограничного слоя зависит от свойств жидкости, формы тела и скорости движения потока. Он окружает тело и слегка утолщен в задней части тела

вследствие тормозящего влияния вязкости. У пластинки, расположенной вдоль потока, пограничный слой имеет плоскую форму, также слегка утолщённую по направлению к задней кромке пластинки. Толщину пограничного слоя h можно подсчитать по формуле.

(5)

l – характерная длина тела.

При относительно небольших числах Рейнольдса (R_e » 1) движение в пограничном слое ламинарное (ламинарный пограничный слой). При значениях числа Рейнольдса R_e << 1 толщина пограничного слоя имеет величину порядка размеров тела. В этом случае пограничный слой занимает почти весь поток или его значительную часть. Это и понятно, так как во всём потоке движение носит ламинарный характер.

При числах Рейнольдса порядка 10⁴ толщина пограничного слоя убывает, и он резко выделяется в общем, потоке жидкости. Пограничный слой резко меняет картину обтекания потоком тела.

При малых скоростях течение жидкости в пограничном слое вполне симметрично, тогда в критической точке А частицы жидкости имеют скорость равную нулю, а давление наибольшим. В точки С и D, где линии тока искривлены и сечения трубок тока уменьшены, скорость частиц жидкости достигает максимума, а давление минимума. В точке В скорость снова равна нулю, а давление максимально. Частица жидкости, попав в пограничный слой у точки А, движется в сторону понижения давления к точке С. Приобретая здесь некоторый запас кинетической энергии, она перемещается далее против возрастающего давления как раз до точки В, а затем "выталкивается" из пограничного слоя в поток, движущийся со скоростью, отличной от нуля. Однако такая картина течения в пограничном слое могла бы длительно существовать только в идеальной жидкости.

В реальной жидкости движение в пограничном слое от точки А происходит, как и в рассматриваемом случае, в сторону падения давления – к точка С и D. Однако часть кинетической энергии, приобретаемой частицей в результате работы сил давления, расходуется на преодоление сил вязкости. Позади точек С и D частицы пограничного слоя постепенно теряют скорость и начинают возвратное движение, не достигнув точки В. Поэтому в некоторой области пограничного слоя, сдвинутой относительно точек С и D в сторону движения потока, сталкиваются два встречных движения и на пограничном слое образуются выступы, ведущие к образованию вихря. Вихрь с течением времени развивается, захватывается и относится потоком.

За телом возникает область, заполненная вихрями, давление в которой понижено. Результирующая сил давления на тело со стороны обтекающей жидкости (сопротивление давления) оказывается направленной в сторону движения потока.

Лобовое сопротивление, которое испытывает тело, движущееся в вязкой жидкости, складывается из сопротивления вязкости и сопротивления давления. При сравнительно малых числах Рейнольдса, когда пограничный слой достаточно велик и вихреобразование невелико, преобладающее значение имеет сопротивление вязкости. С ростом числа Рейнольдса толщина пограничного слоя резко убывает (см. 5), а интенсивность вихреобразования растёт, при этом преобладающее значение приобретает сопротивление давления.

Лобовое сопротивление при значениях числа Рейнольдса, больших критического, может быть вычислено по формуле.

(6)

r – плотность жидкости; S – так называемое миделево сечение тела, или площадь проекции тела на плоскость перпендикулярную направлению скорости течения; v – скорость невозмущенного потока; C_x – коэффициент лобового сопротивления (безразмерный коэффициент, являющийся функцией числа Рейнольдса и учитывающий вязкие свойства жидкости и форму тела).

Уменьшения лобового сопротивления тела можно достичь уменьшением зоны вихреобразования. Для этого телу необходимо придать такую форму, при которой поток плавно смыкался за телом, и вихревая зона была бы минимальной. При одном и том же поперечном сечении наименьшее лобовое сопротивление испытывает обтекаемое тело с тупым носом и плавно заострённым хвостом. Если для шара коэффициент лобового сопротивления принять равным 1, то для обтекаемого тела он будет примерно равен 0,1, а для конического тела, обращённого основанием навстречу потока, составит 5 ¸ 6.

В заключение отметим, что при обтекании тел со скоростями, близкими к скорости звука и сверхзвуковыми скоростями, лобовое сопротивление становится прямо пропорционально кубу скорости.

Рассмотрим подъёмную силу.

Для возникновения подъёмной силы вязкость жидкости не имеет существенного значения. При обтекании идеальной жидкостью полуцилиндра, вследствие полного обтекания линии тока будут симметричны относительно прямо CD. Однако относительно прямой AB картина будет не симметричной. Линии тока будут сгущаться вблизи точки С, поэтому давление здесь будет меньше, чем вблизи точки D и возникает подъёмная сила. Подобная картина будет наблюдаться и в вязкой жидкости.

Силой, поддерживающей самолёт в воздухе, служит подъёмная сила, действующая на его крылья. Лобовое сопротивление в полёте играет вредную роль. Поэтому крылья самолёта и его фюзеляж имеют хорошо обтекаемую форму. Профиль крыла должен вместе с тем обеспечивать достаточную подъёмную силу.

Оптимальный профиль крыла (для до сверхзвуковых скоростей) найден российским учёным Н.Е.Жуковским.

При расчётах крыла самолёта подъёмная сила обычно выражается аналогично лобовому сопротивлению.

(7)

C_y – коэффициент подъёмной силы, безразмерная величина, зависящая от числа Рейнольдса, отношения длины крыла к его хорде и от угла атаки.

Отношение называется качеством крыла, т.е. это отношение полезной подъёмной силы к вредной силе лобового сопротивления.