Упругие волны в газах и жидкостях
Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.
Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню. Мы придем, таким образом, к уравнению
(17)
где р = - σ есть давление в газе или жидкости. Здесь 
— значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление 
. Величины , 
не зависят ни от х, ни от t.
Уравнение (17) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).
Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями) температура является однозначной функцией плотности, и, следовательно, давление также.
При заданной деформации ε в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет существенной роли.
В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.
Есть однозначная функция плотности:
p=f(p). (18)
Введем обозначения
, 
(19),
Где 
и 
- соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.
Подставляя первую формулу (19) в (17) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.
получаем:
(20)
Найдем теперь связь между и деформацией ε = 
. Мы сначала выразим через , а затем через ε:
а) Подставляя (19) в (18), имеем:
разлагая f( 
) в ряд по степеням 
,
Так как 
= 
, то получаем:
(21)
Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (21) членами, пропорциональными , 
, 
… и заменить (21) линейным соотношением
Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.
—постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.
б) Объем 
в результате деформации превращается в объем
(22)
так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина 
превращается в 
. Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:
Подставляя (19) и (22), получаем:
Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:
, 
Таким образом,
(23)
Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение
(24),
Где 
. (25)
Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она равна квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны (ρ 
).