Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя ; в противном случае дробь называется неправильной.

Элементарными рациональными дробями называются правильные дроби вида:

1. ;

2. , где – целое число, большее единицы;

3. , где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

4. .

Во всех четырех случаях предполагается, что – действительные числа.

Рассмотрим интегралы от элементарных рациональных дробей первых двух типов. Имеем:

1. ;

2. .

Например, .

Для интегрирования дробей третьего типа выделяют полный квадрат в знаменателе, а далее используют табличные интегралы

; .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Выделим полный квадрат

.

Тогда

Для интегрирования элементарных дробей четвертого типа в числителе выделяют производную знаменателя и сводят интеграл к сумме двух интегралов третьего типа и .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем дробь: выделим в числителе из производную знаменателя, равную , но чтобы величина числителя не изменялась:

.

Поэтому

.

Выделим полный квадрат:

.

Далее имеем:

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на элементарные дроби. Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие алгебраические преобразования:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде:

,

где – многочлен, а – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратные множители:

,

где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

3) правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:

4) вычислить неопределенные коэффициенты для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной конкретные значения (корни знаменателя).

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена к интегралам от элементарных рациональных дробей.

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Так как каждый из двучленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы элементарных дробей первого типа:

.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

.

Положим

Итак, разложение рациональной дроби на элементарные имеет вид:

.

Таким образом,

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Множителю соответствует сумма трех элементарных дробей , а множителю – элементарная дробь . Итак,

.

Тогда

.

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и – 3. Полагая , получаем . При имеем .

Положим , получаем . При имеем . Тогда

, , , .

Разложение данной дроби имеет вид:

.

Таким образом, получим

Случай 3. Среди корней знаменателя имеется квадратный трехчлен, не разложимый на линейные множители.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

;

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной .

;

.

.

4.6. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида , где - рациональная функция.

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: . В результате этой подстановки имеем:

.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от и : применяем подстановку , тогда , , .

.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

.

2. Интегралы вида .

Выделим два случая, имеющие особенно важное значение.

Случай 1.

По крайней мере один из показателей или – положительное нечетное число.

§ если – нечетное положительное число, то применяется подстановка ;

§ если – нечетное положительное число, то применяется подстановка .

§ если и оба нечетные и , то применяется подстановка ;

§ если и оба нечетные и , то применяется подстановка ;

§ если и оба нечетные и , то применяют любую из подстановок или ;

Пример. Найти интеграл .

Решение. Здесь , , значит применяем подстановку , откуда . Далее имеем:

.

Случай 2.

Оба показателя степени и – четные положительные числа.

Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:

Пример. Найти интеграл .

Решение. Применяем последовательно первую и вторую из этих формул:

.

Итак,

.

3. Интегралы вида ; ; .

Тригонометрические формулы:

дают возможность произведение тригонометрических функций предоставить в виде суммы.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Используя первую формулу, получим

.