Каковы должны быть размеры прямоугольного сосуда заданной ёмкости V с заданным значением величины k, чтобы расход металла на его изготовление был наименьшим?
Решение: если расход металла на швы не учитывать, а толщину стенок, дна и крышки считать одинаковой, то за параметр, определяющий расход металла на изготовление сосуда, принять площадь S его поверхности.
Обозначим размеры сосуда через x, y, z и пусть 
z=ky, то получим:
, где a=2k , 
.
Функция S имеет наименьшее значение при 
и что решение задачи задаётся формулами
, 
, 
.
Прямоугольные сосуды различной ёмкости производятся в стране в огромных количествах, то становится очевидным, что отступление от оптимальных размеров приводит к значительным убыткам.
Приведем условия задач и дополнительные задания к ним, позволяющие акцентировать внимание на динамическом характере математической модели, выработать первоначальные навыки уточнения модели. Такого рода упражнения могут быть использованы по усмотрению учителя при закреплении умений, связанных с решением задач одномерной оптимизации в домашних, самостоятельных, проверочных и других работах.
Задача № 10.
В начале боя, в игре "Мир танков", у каждой стороны было по 14 боевых машин. В итоге, после захвата базы, потери противника оказались втрое больше потерь вашей команды, и на поле в общей сложности осталось
12 машин. Сколько танков осталось у вашей команды к концу боя?
Составим математическую модель.
В начале игры на поле было 14 • 2 = 28 танков.
Примем за x количество танков потерянных вашей командой,
значит, потери врагов составят 3x.
1. x — ваши потери;
2. 3x — потери вражеской команды;
3. 28 — кол-во всех танков до боя;
4. 12 — кол-во всех танков после боя.
Составим уравнение, и решим его.
28 – x – 3x = 12
28 – 12 – x – 3x = 0
28 – 12 = 4x
16 = 4x
x = 4
Найдем ответ на вопрос задачи.
14 – 4 = 10 (танков).
Ответ: 10 танков осталось у нашей команды в конце боя.
Задача № 11.
Геометрически решить задачу линейного программирования:
,
Решение.
- Строим область допустимых решений, т.е. геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все ограничения данной ЗЛП. Каждое из неравенств системы ограничений нашей задачи геометрически в системе координат (
, 
) определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми.
Первому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 6, 0 ).
Второму ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, -1 ) и ( 1, 0 ).
Третьему ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 1, 0 ) и проходящая параллельно оси .
Четвертому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 3, 0 ).
Пятому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 4 ) и ( -8, 0 ).
Шестому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 0, 1 ) и проходящая параллельно оси .
Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указаны на рисунке стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.
Полученная область допустимых решений выделена на рисунке серым цветом.
- Вектор градиента v определяется координатами ( 0.5, 2 ). Он перпендикулярен линиям уровня и указывает направление возрастания целевой функции. На рисунке красным цветом изображены линии уровня , заданные уравнениями
и 
, т. е. когда целевая функция принимает значение 0 и 10 соответственно.
3. По графику видно, что касание линии уровня ( ее уравнение ), перед выходом из области допустимых решений, произойдет в точке пересечения прямых 
и 
. Нетрудно подсчитать, что эта точка имеет координаты 
.
4. В этой точке 
значение целевой функции будет наибольшим, т.е.
.
Задача № 12.
Решить транспортную задачу.
Транспортная таблица имеет вид:
 |  |  |  |  | Запасы  |
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Заявки  |
Решение.
Найдём общую сумму запасов: 
= 70 + 70 + 110 = 250.
Найдём общую сумму заявок: 
=70 + 90 + 70 + 60 = 290.
В нашем случае запасы поставщиков ( 250 единиц продукции ) меньше, чем потребность потребителей ( 290 единиц продукции ) на 40 единиц. Введем в рассмотрение фиктивного поставщика 
с запасом продукции, равным 40. Стоимость доставки единицы продукции от данного поставщика ко всем потребителям примем равной нулю.
| | | | | | Запасы |
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| Заявки |
Решение транспортной задачи начнем с построения допустимого базисного плана, для этого воспользуемся методом северо-западного угла.
Рассмотрим ячейку 
таблицы. Запасы поставщика 
составляют 70 единиц продукции, заявки потребителя составляет 70. Разместим в ячейку значение , равное min { 70 , 70 } = 70, т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 1 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили потребность потребителя , но будем считать, что потребность данного потребителя составляют 0 единиц продукции (не будем одновременно вычеркивать строку и столбец).
Рассмотрим ячейку 
.Запасы поставщика 
составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 0. Разместим в ячейку 
значение, равное min { 70 , 0 } = 0 ,т.е. мы полностью удовлетворили потребность потребителя . Поэтому исключаем 1ый столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку 
.Запасы поставщика 
составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя 
составляет 90. Разместим в ячейку значение, равное min { 70 , 90 } = 70 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 2 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку 
.Запасы поставщика 
составляют 110 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 90 – 70 = 20 . Разместим в ячейку значение, равное min { 110 , 20 } = 20 ,т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 2ой столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку 
.Запасы поставщика составляют 110 – 20 = 90 единиц продукции. Потребность потребителя 
составляет 70. Разместим в ячейку 
значение, равное min { 90 , 70 } = 70 , т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 3ий столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку 
. Запасы поставщика 
составляют 90 – 70 = 20 единиц продукции. Потребность потребителя 
составляет 60 . Разместим в ячейку значение, равное min { 20 , 60 } = 20 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика 
. Поэтому исключаем 3ью строку таблицы из дальнейшего рассмотрения.
Рассмотрим ячейку 
. Запасы поставщика 
составляют 40 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 60 – 20 = 40 . Разместим в ячейку значение, равное min { 40 , 40 } = 40 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Поэтому исключаем 4ую строку таблицы из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили запросы потребителя .
Мы нашли начальное опорное решение, т.е. израсходовали все запасы поставщиков и удовлетворили все заявки потребителей. Занесем полученные значения в таблицу:
| | | | | | Запасы |
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| Заявки |
Теперь, произведем его оценку. Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
= 20 
70 + 15 
0 + 9 70 + 19 20 + 15 70 + 13 20 + 0 40 = 3720 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков 
и потребителей 
. Примем 
= 0. Тогда :
= 
- = 19 - 0 = 19
= 
- = 15 - 0 = 15
= 
- = 13 - 0 = 13
= 
- 
= 0 - 13 = -13
= 
- 
= 9 - 19 = -10
= 
- = 15 – ( -10 ) = 25
= 
- = 20 - 25 = -5
| | | | | | Запасы | Потенциалы |
| | -5 | |||||
| | -10 | |||||
| | ||||||
| | -13 | |||||
| Заявки | ||||||
Потенциалы  |
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
= 
- ( 
+ 
) = 13 - ( -5 + 19 ) = -1
= 
- ( + ) = 8 - ( -5 + 15 ) = -2
= 
- ( + 
) = 11 - ( -5 + 13 ) = 3
= 
- ( 
+ 
) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12
= 
- ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15
= 
- ( 
+ 
) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4
= 
- ( 
+ ) = 0 - ( -13 + 25 ) = -12
= 
- ( 
+ ) = 0 - ( -13 + 19 ) = -6
= 
- ( + ) = 0 - ( -13 + 15 ) = -2
Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.
Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке 
, ее оценка 
= -2.
Ячейки 
, 
, 
, 
, 
, 
образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.
Среди ячеек цикла , , 
, номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 70. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 70. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 70. Ячейка 
выйдет из базиса, ячейка станет базисной.
| | | | | | Запасы |
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| Заявки |
Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
= 8 70 + 15 70 + 19 90 + 13 20 + 0 40 = 3580 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :
= - = 19 - 0 = 19
= - = 15 - 0 = 15
= - = 13 - 0 = 13
= - = 0 - 13 = -13
= 
- 
= 8 - 15 = -7
= - = 9 - 19 = -10
= - = 15 – ( -10 ) = 25
| | | | | | Запасы | Потенциалы |
| | -7 | |||||
| | -10 | |||||
| | ||||||
| | -13 | |||||
| Заявки | ||||||
| Потенциалы |
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
= 
- ( + 
) = 20 - ( -7 + 25 ) = 2
= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1
= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5
= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12
= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15
= - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4
= - ( + ) = 0 - ( -13 + 25 ) = -12
= - ( + ) = 0 - ( -13 + 19 ) = -6
Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.
Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке 
, ее оценка = -12.
Ячейки 
, 
, 
, 
, , 
образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.
Среди ячеек цикла , , , номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 40. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 40. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 40. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.
| | | | | | Запасы |
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| Заявки |
Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
= 8 70 + 15 30 + 9 40 + 19 50 + 13 60 + 0 40 = 3100 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :
= - = 19 - 0 = 19
= - = 15 - 0 = 15
= - = 13 - 0 = 13
= - = 8 - 15 = -7
= - = 9 - 19 = -10
= - = 15 – ( -10 ) = 25
= 
- = 0 - 25 = -25
| | | | | | Запасы | Потенциалы |
| | -7 | |||||
| | -10 | |||||
| | ||||||
| | -25 | |||||
| Заявки | ||||||
| Потенциалы |
Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :
= - ( + ) = 20 - ( -7 + 25 ) = 2
= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1
= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5
= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12
= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15
= - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4
= - ( + ) = 0 - ( -25 + 19 ) = 6
= 
- ( + ) = 0 - ( -25 + 15 ) = 10
= 
- ( + ) = 0 - ( -25 + 13 ) = 12
Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.
Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке 
, ее оценка = -4. Ячейки , 
, 
, 
образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.
Среди ячеек цикла 
, 
,номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 30. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 30. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 30. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.
| | | | | | Запасы |
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| | |||||
| Заявки |
Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют
= 8 70 + 9 70 + 21 30 + 19 20 + 13 60 + 0 40 = 2980 единиц.
Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :
= 
- = 21 – 0 = 21
= - = 19 - 0 = 19
= - = 15 - 0 = 15
= - = 13 - 0 = 13
= - = 0 - 21 = -21
= - = 8 - 15 = -7
= - = 9 - 19 = -10
| | | | | | Запасы | Потенциалы |
| | -7 | |||||
| | Наши рекомендации |