Глава 13. Временной эффект. быть разумный предел для падения цен

быть разумный предел для падения цен. Нэш первым показал, Что любую игру

можно свести к некооперативной и с помощью обмена информацией, побочных платежей и т.д. в ней можно найти компромиссный между игроками оптимум. Это решение — доказательство существования некоей точки или целого пространства точек, из которых никому из игроков нет смысла уходить (он либо ничего не приобретает, либо просто теряет) вошло в математику, как равновесие. Нэша (рис. 13.12).

В 50-е годы ХХ в. Нэш был чрезвычайно популярен. Он много работал, привлекался для аналитической работы в интересах военных, преподавал. Однако дальше жизнь великого математика сложилась трагически. Нэш прошел сложное и болезненное лечение от параноидальной шизофрении, семья его на долгие годы распалась, у сына тоже было обнаружено психическое заболевание. Я только через много-много лет, а 1994 г., Д.Ф. Нэш получил за это открытие Нобелевскую премию что и пережил второй взлет популярности. О нем была написана книга, а в 2001 г. был снят фильм «Игры разума».

Смысловые рамки данной книги не включают полноценный рассказ о теории игр и биполярном моделировании в целом. Из всего математического богатства, накопленного человечеством в этой области, нам потребуется (для простоты) лишь подраздел статических моделей. А среди них мы рассмотрим самый простой случай, когда на рынке есть две фирмы (i = 1 и 2), каждая из которых имеет выпуск своей продукции в объеме Х, цены и издержки на единицу которой составляют р₁, с₁ и р₂ с₂ соответственно, а рекламные кампании этих двух фирм оценены в I₁ и I₂. Поэтому в нашем случае

игра может быть записана функцией прибыли обоих конкурентов:

(53)

где У₁ и У₂ — прибыль игроков,Х₁ иХ₂ — спрос на их продукцию, определяемый общим биполярным уравнением:

(54)

где λ_i;о — автономный (не зависящий от игры) спрос на продукцию i-го игрока; α _I;I α _i;j цена хода (выигрыш или проигрыш) игрока при выборе стратегии относительно цены; γ _i;i γ _i;j цена хода игрока при выборе стратегии относительно рекламной активности; δ_i δ_j — некоторые коэффициенты, учитывающие влияние рекламы на продажи, причем 0< δ_i, δ_i <1. для простоты примем их за 1/2. Тогда функцию прибыли (53) можно переписать

в развернутом виде:

А. Кутлалиев

А. Попов

(55)

Поиск оптимальности вынуждает нас дифференцировать функцию прибыли. Переменных у нас две — цена и рекламные инвестиции— но главная задача все-таки состоит в отыскании наибольшей эффективности рекламных расходов. Поэтому рассмотрим только это дифференцирование.

Что будет эквивалентно следующей общей зависимости:

где к — номер одного из двух игроков (1 или 2). С учетом специфики коэффициентов функции прибыли игроков в зави-