Расчет на сжатие с изгибом и внецентренное сжатие
Общие сведения
Сжато-изгибаемые элементы работают одновременно на сжатие и изгиб. Так работают, например, верхние пояса ферм, в которых кроме сжатия действует еще изгиб от внеузловой нагрузки от веса покрытия. В элементах, где сжимающие силы действуют с эксцентриситетом относительно их осей, тоже возникает сжатие с изгибом. Поэтому они называются также внецентренно сжатыми. Внецентренное сжатие может возникнуть в сечении элемента, имеющего несимметричное ослабление.
В сечении сжато-изгибаемого элемента действуют продольные сжимающие силы N, от которых возникают равномерные напряжения сжатия и изгибающий момент М, от которого возникают и сжимающие, и растягивающие напряжения, максимальные в крайних волокнах и нулевые на нейтральной оси прямоугольного сечения. Максимальные сжимающие напряжения возникают в крайних волокнах сечения в месте действия максимального изгибающего момента.
Разрушение сжато-изгибаемого элемента начинается с потери устойчивости сжатых волокон, что обнаруживается появлением складок и повышенными прогибами, после чего элемент ломается. Такое разрушение частично пластично. Поэтому сжато-изгибаемые элементы работают более надежно, чем растянутые, и их рекомендуется изготовлять из древесины 2-го сорта.
 Рис. 4.1. Сжато-изгибаемый элемент: а – схема работы; б – эпюры нормальных напряжений |
Расчетные формулы
Сжато-изгибаемые элементы рассчитываются по первой и второй группе предельных состояний.
1. Расчет сжато-изгибаемого элемента производится на действие максимальных продольных сжимающих сил N и изгибающих моментов М от расчетных нагрузок по формуле
, (4.1)
где N - расчетная сжимающая сила; Мд - расчетный изгибающий момент от совместного действия поперечной нагрузки и сжимающей силы; Aраси Wрас- соответственно площадь поперечного сечения и момент сопротивления (нетто для элементов цельного сечения).
Для шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов синусоидального, параболического, полигонального и близких к ним очертаний, а также для консольных элементов Мдследует определять по формуле
, (4.2)
где М - изгибающий момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы; ξ - коэффициент, изменяющийся от 1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента, определяемый по формуле
. (4.3)
2. В случаях, когда в шарнирно-опертых элементах эпюры изгибающих моментов имеют треугольное или прямоугольное очертание, коэффициент ξ по формуле (4.3) следует умножать на поправочный коэффициент kα:
kα = αn+ ξ(i - αn),(4.4)
где αn - коэффициент, который следует принимать равным 1,22 при эпюрах изгибающих моментов треугольного очертания (от сосредоточенной силы) и 0,8 при эпюрах прямоугольного очертания (от постоянного изгибающего момента).
3. При отношении напряжений от изгиба к напряжениям от сжатия менее 0,1 сжато-изгибаемые элементы следует также проверять на устойчивость по формуле (2.2) без учета изгибающего момента.
4. Расчет на скалывание при изгибе следует проводить по формуле (3.2), при этом поперечную силу определяют по формуле
Qд = Q /ξ, (4.5)
где Q - максимальная поперечная сила от поперечной нагрузки.
5. Сжато-изгибаемый элемент должен быть также проверен на прочность и устойчивость только при сжатии продольной силой в направлении из плоскости действия изгибающего момента по формуле (2.2).
6. Проверка устойчивости плоской формы деформирования цельных сжато-изгибаемых элементов, как правило, не требуется.
7. Прогиб сжато-изгибаемых элементов следует проверять по формуле
, (4.6)
где f - прогиб, определяемый по формуле (3.5).
Указания по подбору сечения
Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток). Назначенное сечение проверяют по условию прочности (4.1). При несоблюдении условия прочности размеры сечения увеличивают с учетом сортамента пиломатериала. Цель расчета – получение сечения с наименьшей площадью при условии, чтобы суммарные краевые напряжения сжатия были как можно ближе к значению расчетного сопротивления материала. Как правило, рациональной формой сечения будет прямоугольное сечение с высотой в плоскости действия поперечной нагрузки.
Задание
Подобрать прямоугольное сечение сжато-изогнутого деревянного элемента. Исходные данные взять по варианту из табл. 4.1 и 2.1.
Таблица 4.1
Исходные данные
к заданию по подбору сечения сжато-изгибаемого элемента
| Номер задания | Длина l, м | Расчетная поперечная нагрузка (нормативная - 70 % от расчетной)* | Расчетная сила сжатия N, кН | Предельная гибкость | Предельный относительный прогиб, [f / l] | |
| q, кН/м | Р, кН | |||||
| 5,0 | - | 3,61 | 37,20 | 1/250 | ||
| 4,0 | 5,37 | - | 81,00 | 1/200 | ||
| 3,5 | 7,26 | - | 149,57 | 1/250 | ||
| 5,5 | - | 4,00 | 118,00 | 1/300 | ||
| 4,6 | 5,40 | - | 95,80 | 1/250 | ||
| 4,5 | - | 15,20 | 130,00 | 1/200 | ||
| 4,3 | 7,20 | - | 131,00 | 1/300 | ||
| 3,2 | 10,70 | - | 228,30 | 1/250 | ||
| 4,0 | 8,40 | - | 84,37 | 1/200 | ||
| 4,5 | 3,95 | - | 81,50 | 1/250 | ||
| 4,0 | - | 5,12 | 37,20 | 1/300 | ||
| 3,0 | - | 18,78 | 168,75 | 1/250 | ||
| 4,5 | - | 15,20 | 131,25 | 1/200 | ||
| 3,8 | - | 17,80 | 95,80 | 1/250 | ||
| 4,4 | 4,96 | - | 97,00 | 1/200 | ||
| 5,0 | 2,00 | - | 56,00 | 1/300 | ||
| 4,0 | - | 10,75 | 149,50 | 1/300 | ||
| 4,5 | 2,70 | - | 56,00 | 1/200 | ||
| 2,9 | - | 20,40 | 157,50 | 1/250 | ||
| 4,8 | - | 5,48 | 107,30 | 1/200 | ||
| 5,2 | 3,00 | - | 95,60 | 1/200 | ||
| 3,5 | 5,10 | - | 56,00 | 1/250 | ||
| 4,0 | 7,66 | - | 196,80 | 1/300 | ||
| 4,5 | - | 8,55 | 149,50 | 1/250 | ||
| 3,5 | 10,50 | - | 123,70 | 1/200 | ||
| 5,5 | - | 10,50 | 59,40 | 1/300 |
* q – равномерно распределенная нагрузка; Р – сосредоточенная сила в середине пролета
Пример расчета
Исходные данные
Стержень из древесины лиственницы 2-го сорта длиной l = 5,5 м не имеет ослабления, и концы его закреплены шарнирно. На стержень от расчетных нагрузок действует продольная сжимающая сила N = 59,4 кН = 0,0594 МН и сосредоточенная сила в середине пролета Р = 10,5 кН = 0,0105 МН в направлении большего размера сечения. Нормативная нагрузка составляет 70 % от расчетной. Условия эксплуатации конструкции: класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А2; установившаяся температура воздуха < 35ºС; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной > 0,8.
Решение
1. Подберем сечения по прочности. Задаемся размерами сечения по сортаменту 0,15х0,25 м. Расчетное табличное значение сопротивление изгибу древесины сосны 2-го сорта 
= 15 МПа. Определяем значение расчетного сопротивления с учетом коэффициентов условий работы, породы и коэффициента надежности по ответственности.
МПа.
МПа.
Изгибающий момент от расчетной нагрузки
М = Pl / 4 =10,5·5,5 / 4 = 14,43 кН·м = 0,01443 МН·м.
Площадь и момент сопротивления сечения определяются по формулам:
A = bh = 0,15·0,25 = 0,0375 м2;
м3.
Расчетная длина и гибкость элемента в плоскости изгиба
l0 = 5,5 м;λ = l0/ 0,289h = 5,5 / 0,289·0,25 = 76,1 < λ пр = 150.
По формуле (4.3) определяем коэффициент
.
По формуле (4.4) определяем коэффициент
kα = αn+ ξ(i - αn)= 1,22 + 0,788(1 – 1,22) = 1,047.
Момент с учетом деформаций
МН·м.
По формуле (4.1) проверяем условие прочности
МПа.
2. Проверка прочности и устойчивости из плоскости изгиба.
Расчетная длина, гибкость и коэффициент продольного изгиба следующие:
l0y = 5,5 м; λy = l0y / 0,289b = 5,5 / (0,289·0,15) = 126,8 > 70,
но < λпр = 150.
Так как λy > 70, то φ определяем по формуле (2.4)
φy = 3000 / (λy)2 = 3000 / 126,82 = 0,187.
Проверяем элемент на устойчивость по формуле (2.2)
МПа.
3. Делаем расчет на прочность по скалыванию.
Поперечная сила от опоры до места приложения сосредоточенной нагрузки равна Q = Р / 2 = 0,0105 / 2 = 0,00525 МН.
С учетом влияния продольной силы по формуле (4.5)определим Qд = Q / ξkα=0,00525/(0,788·1,047) = 0,00636 МН.
Формула (3.2) для прямоугольного сечения примет вид
t = 1,5Q / (h·bрас),
тогда
t = 1,5×0,00636 / (0,25×0,15) = 0,254 МПа < Rск = 1,6 МПа.
4. Проверка прогиба.
Нормативная поперечная нагрузка по заданию равна
Рn = 0,7Р = 0,7×0,0105 = 0,00735 МН.
Модуль упругости Е = 104 МПа.
Момент инерции I = bh3 / 12 = 0,15·0,253 / 12 = 19531·10-8 м4.
Прогиб без учета деформаций сдвига равен:
м.
Прогиб с учетом деформаций сдвига только от поперечной нагрузки по определяем по формуле (3.5), в которой коэффициенты с и k приняты по табл. 4 прил. 4 СНиП II-22-80.
м.
Для сжато-изогнутого элемента с учетом дополнительного прогиба от влияния продольной силы по формуле (4.6) получим значение относительного прогиба:
.