Модуль 1. теоретическая логика: история, предмет, классика
Все металлы — твердые тела.
Ртуть не является твердым телом.
Ртуть не является металлом.
В данном примере заключение получилось ложным именно потому, что в качестве первой посылки взято ложное суждение. Чтобы заключение было истинным, обе посылки должны быть истинными суждениями (имеется в виду, что правила логики соблюдены). При несоблюдении правил логики (если посылки при этом истинны) мы также можем получить как истинное, так и ложное заключение.
Например:
Все тигры — полосатые.
Это животное — полосатое.
Это животное — тигр.
Во втором умозаключении обе посылки — истинные суждения, но полученное заключение может быть как ложным, так и истинным, потому что было нарушено одно из правил умозаключения.
Итак, с точки зрения содержания, мышление может давать истинное или ложное отражение мира, а со стороны формы оно может быть логически правильным или неправильным. Истинность есть соответствие мысли действительности, а правильность мышления — соблюдение законов и правил логики. Нельзя отождествлять (смешивать) следующие понятия: ”истинность” (“истина”) и “правильность”, а также понятия “ложность” (“ложь”) и “неправильность”.
Теоретическое и практическое значение логики.Можно логично рассуждать, правильно строить свои умозаключения, опровергать доводы противника и не руководствуясь при этом правилами логики, подобно тому, как нередко люди выражают свои мысли на языке, не зная его грамматики. Знание логики повышает культуру мышления, способствует четкости, последовательности и доказательности рассуждения, усиливает эффективность и убедительность речи.
Особенно важно знание основ логики в процессе овладения новыми знаниями, новыми профессиями, связанными с обработкой большого количества информации. Логическая культура — это не врожденное качество. Логика способствует становлению самосознания, интеллектуальному развитию личности. Сознательное следование законам логики дисциплинирует мышление, делает его более аргументированным, эффективным и продуктивным, помогает избежать ошибок, что особенно важно при управлении коллективами людей.
Из истории логики.Логика – наука с очень длительной, интересной и развитой историей, которая сама может стать (и является на деле) предметом особого изучения. В качестве ознакомления с очерком исторического развития логики ниже приведем отрывок из учебного пособия по логике доктора философских наук, профессора кафедры логики Санкт-Петербургского университета В.И.Кобзаря.
Общеизвестно, что подлинное знание той или иной науки (дисциплины, предмета) предполагает знание не только сущности этой науки, т.е. ее структуры, методологии, ее законов, целей, задач, взаимосвязи ее с другими науками, с практикой; динамики и диалектики ее развития, но, что не менее важно, и ее истории. История, что зеркало, в которое смотрится человек, чтобы увидеть в нем через отраженное прошлое и свое будущее. Общее представление об истории логики мы и попытаемся дать в этом параграфе.
Хотя первые учения о рассуждении, о формах и способах (методах) мышления возникли в Древней Индии, Китае, но в основе сложившейся современной логики лежит аристотелевское учение, поэтому наш обзор и будет историей европейской логики. Развитие логической проблематики в Древней Индии и Китае, арабском Востоке мы не затрагиваем в силу недостаточного владения материалом этих историй.
Принято именно Аристотеля (384—322 до н.э.) считать отцом логики, хотя Аристотель, как известно, учился у Платона, Платон — ученик Сократа, а Сократ большую часть своей долгой жизни потратил на разоблачение псевдоучености софистов, которые до него уже исследовали вопросы языка и мышления, ими еще не разделяемые. Вклад старших софистов (Протагор. Горгий, Гиппий, Продик) в разработку вопросов синонимии, омонимии, риторических приемов и пр. значителен и не может оспариваться. Зато младшие софисты, по Аристотелю, «платные учителя ложной мудрости», своей педагогической практикой лишь придали софистике тот отрицательный оттенок, который мы и сейчас связываем со словами «софист», «софистика».
Занимался логическими вопросами и Демокрит. В перечне его трудов, составленном Диогеном Лаэрцием, есть даже специальная работа, посвященная логике, — «О логическом, или Мерило». Трудно судить об их понимании логики, поскольку эти работы до нас не дошли, логические же работы Аристотеля: "Категории", "Об истолковании", "Аналитики", "Топика" и "О софистических опровержениях" - последователями и учениками его были собраны в отдельный корпус под названием «Органон». Они сохранились. С известным упрощением можно сказать, что «Категории» — это аристотелево учение о понятии, «Об истолковании» — учение о суждении. «Аналитики» — учение об умозаключении («Первая») и доказательстве («Вторая»). «Топика» Аристотеля посвящена рассмотрению оснований наук, так называемым общим местам (топам, топосам), т.е. общераспространенным мнениям, часто выступающим основаниям умозаключений по сходству, вероятностным умозаключениям, диалектическим, индуктивным. Наконец, последняя работа, включенная в «Органон», — «О софистических опровержениях» — самим своим названием говорит об аристотелевом анализе софистических «доказательств», т.е. тех ошибок, тех нарушений логики, которые сознательно допускаются софистами. Что касается принципов логики, то Аристотель затрагивает и формулирует их не только в «Органоне», но и в «Метафизике». В этих работах Аристотель различил содержание и форму мысли от форм речи, т.е. разделил мышление и язык, чего софисты не делали; определил основные формы мысли, сформулировал принципы мышления, сейчас их чаще называют основными законами логики (основными законами мышления); разработал особую форму рассуждения (категорический силлогизм) и теорию доказательства; дал классификацию логических ошибок (паралогизмов и софизмов).
Таким образом, по Аристотелю, предмет науки логики — основные формы мысли, их структурные особенности и зависимости, законы и наиболее распространенные ошибки, возможные при нарушении этих законов. Однако, предмет логического анализа, предмет логики как науки последователями и учениками Аристотеля понимался и разрабатывался несколько иначе. Если Аристотель использовал формы мышления и их законы для отображения и достижения истины, в большей степени разрабатывая логику дедуктивного характера, то его ученики, его последователи разрабатывали приемы и формы мысли, скорее, лишь приближающие к истине. Они анализировали рассуждения вероятностного характера, разрабатывали проблематическую, индуктивную логику. Так, стоики (новая школа в философии, возникшая в III в. до н. э.) создали оригинальное учение о выводе вероятностного характера, свою логику условных суждений и умозаключений (логику импликации). Правда, логическое учение стоиков в период перехода от античности к средневековью было забыто и европейским мыслителям пришлось как бы заново открывать в середине XIX в. закономерности импликативных рассуждении. Таким образом, даже в первые столетия существования логики как науки ее предмет, пусть и не очень существенно, но все же менялся. За более же длительный срок ее истории, а это почти две с половиной тысячи лет, предмет ее претерпевал и более значительные изменения, он расширялся, включая в свою сферу новые и новые формы мысли, он совершенствовался; совершенствовалось со временем и изложение ее содержания.
Дедуктивизму Аристотеля и стоиков противостоял индуктивизм Эпикура и его школы, опиравшихся в большей степени на опыт и аналогию. Именно эпикурейцы сформировали школу индуктивистов (Филодем из Гадары - II-I вв. до н.э.), что не отрицает вклада в осмысление индукции как Демокритом, так и самим Аристотелем.
Период ранней античности, можно сказать, активной античности в отношении логических вопросов, сменила античная схоластика (II-V вв. н.э.). Этот период (от Цицерона и вплоть до Боэция) характерен вхождением в логический обиход латинской терминологии: схоластика усиленно разрабатывала логический аппарат. Логика в это время входила в число семи свободных искусств и тем самым составляла неотъемлемую часть энциклопедического гуманитарного образования. Апулей из Медавра (II в. н.э.) уточнил формы высказываний, ввел операцию отрицания над предикатом. Секст Эмпирик и Диоген Лаэрций (II-III вв.) собрали сведения по истории логики; Гален (ок. 130-200) разработал полисиллогизм и силлогизмы отношений; Порфирий (ок. 232-303) — дихотомическое деление, учение о видах и родах; Боэций (480-524) написал ряд специальных работ по логике.
В средние века логика в Европе — церковно-школьная дисциплина, приспособленная к нуждам вероучения христианства, и только в арабских странах, в странах арабоязычной культуры логика еще сохраняет самостоятельное значение (Аль-Фараби, Ибн-Син, Ибн-Рушд и др.). Наступивший в Европе длительный период средневековой схоластики в логике проявляется в детальной разработке различий ее языка, символики, ее техники. Наиболее значимой фигурой этого периода можно назвать Михаила Псёла (1018-1096). Он ввел в обиход буквенное (древнегреческими) обозначение суждений, специальными словами — модусы фигур силлогизма.
В Европе в период средневековья государственная христианская идеология подчинила себе не только науку, но и политику, культуру, и логика (как и философия в целом) становится служанкой богословия. Она используется как инструментарий, как средство обоснования догматов церкви, как то учение, которое выступает беспристрастным, общепринятым инструментом полемики, критики, обоснования, доказательства. Именно в средневековье логика все более приобретала тот самый формальный вид и значение, с которым мы сейчас только и связываем эту науку. Логика как бы все далее отвлекалась от материального критерия истины (выделяемого еще Аристотелем) и все более ориентировалась и ориентировала на формальный ее критерий, на соответствие требованиям к структуре мысли (к умозаключениям или доказательствам). В этот период получил особое развитие формальнологический аппарат, учение о модусах, фигурах, мнемонических приемах и пр. Большой вклад в распространение логики через учебный процесс внес своим авторитетом и своей книгой "Summulae Logicales" Петр Испанец (папа Иоанн XXI - 1210-1277 гг.). Эта его работа в течении более чем трех столетий была единственным учебником по логике в Западной Европе.
Период средневековья дал нам и любопытные примеры несхоластической логики - Абеляр, У. Шервуд, П. Раме, И.Д. Скот, В. Бурли, У. Оккам, Ж. Буридан, Альберт Саксонский и др. Здесь в рамках различения формального и фактического следования разрабатывалось учение о дедукции, способствовавшее аксиоматизации логики высказываний; формировалась идея о "машинизации" мышления. Были даже попытки практического использования логики — это и создание Альбертом Великим «робота», Р. Луллием— «логической машины», а Д. Бруно (потом и Б. Паскалем) «логики открытий» и т.п., к сожалению, мало исследованных в нашей литературе.
При тысячелетней длительности этого периода многое терялось из содержания логики, в особенности то, что составляло ее Органон, превращаясь постепенно в Канон. И именно это не удовлетворило уже в эпоху Возрождения экспериментаторов, они опыт стали противопоставлять дедукции, связываемой со схоластикой и Аристотелем. Леонардо да Винчи, Г. Галилей своими разработками, своей логикой "естественного мышления" дали толчок для возрождения индукции. В начале Нового времени Ф. Бэкон (1561—1626) и Р. Декарт (1596—1650), резко выступили против аристотелевской логики, схоластизированной средневековьем. Они предприняли незавершенную до конца попытку создать логику открытий, позволяющую с помощью наблюдений, опыта, экспериментов отражать естественный мир и его свойства соответственно природе этого мира, более адекватно, чем это имело место в аристотелевской средневековой логике, далеко уже отошедшей от материального критерия истины.
Ф. Бэкон считал необходимым низвергнуть схоластику и расчистить место для нового здания науки. Он намеревался создать труд под названием "Великое возрождение наук", реализовав из этого замысла только две книги - "О достоинстве и приращении наук" (своего рода классификация наук) и "Новый органон". Для построения новой науки необходимо, по Ф. Бэкону, не только разрушить схоластику, но н освободить умы людей от заблуждений, призраков, или идолов. Он обращал на это внимание для того, чтобы люди сознательно избегали заблуждений, порождаемых то ли природными особенностями органов чувств человека (удаленные предметы всем кажутся маленькими), то ли вызванных особенностями отдельных людей (больным сладкое может показаться безвкусным), то ли заблуждений от привычного словоупотребления, то ли от веры в авторитеты. Уму, свободному от этих недостатков, Ф. Бэкон предлагал приемы, с помощью которых можно, по его мнению, даже чисто механически (как линейкой при проведении прямых, а циркулем — кругов), делать открытия без особых умственных усилий. Такими приемами, по замыслу Ф. Бэкона, должны стать "таблицы открытий", впоследствии получившие название методов научной индукции. Следует признать, что своей непримиримой по отношению к аристотелевской дедукции позицией, Ф. Бэкон не всегда справедлив к последнему, ведь перечисляемые Аристотелем ошибки в работе "О софистических опровержениях" частично совпадают с "идолами" Ф. Бэкона. Оправданием этим нападкам может служить лишь то, что Ф. Бэкон знал аристотелевскую логику в схоластизированном виде. Очевидно также и то, что Ф. Бэкон чрезмерно преувеличивает роль и значение индукции в научном познании.
XVII век характерен не только становлением опытного, но и теоретического естествознания, которое восстанавливает дедукцию и формирует гипотетико-дедуктивный метод, который при создании гипотез использует идеи дедуктивного характера, а следствия из гипотез сопоставляет потом с данными опыта.
На несколько иной основе, чем у Ф. Бэкона, хотя тоже с антиаристотелевской направленностью, строит свою логику Р. Декарт. Под логикой он тоже понимает метод научного исследования, выполняющий роль того фонаря, который освещает путнику дорогу в темноте. Негативное отношение Р. Декарта к схоластической логике Аристотеля проявляется в его принципе всеобщего сомнения, которым Декарт проверяет все знание. Принцип сомнения был для Декарта несомненным, выполняющим такую же роль, как и математические положения, ибо только математика на основе этих своих несомненных, неоспоримых по природе и сущности истин создала единую, нигде не нарушаемую цепь, дающую вполне достоверные знания. В сочинениях философско-логичсского характера Декарт формулирует свое понимание метода. «Под методом, — пишет он, — я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и, без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что ему доступно» (Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 89). В качестве требований своего метода Декарт формулирует следующие четыре правила:
— принимать за истину лишь то, что с очевидностью принимается таковым; избегать поспешности, предубеждения;
— дробить каждую из трудностей на столько частей, сколько только можно, дабы легче разрешить;
— мысли начинать с простейшего и мельчайшего, восходить постепенно до познания более сложных, допуская, что есть порядок даже там, где его не видно;
— делать всюду перечни столь полные и обзоры столь общие, чтобы быть уверенным, что ничего не упущено. (Декарт Р. Рассуждение о методе. М., 1953. С. 22-23).
На основе учения Р. Декарта французские авторы П. Николь и А. Арно в 1662г. опубликовали в Париже книгу «Логика, или Искусство мыслить», получившую впоследствии название «Логика Пор-Рояля», в которой сочетали дедуктивный метод Декарта с методологическими требованиями Б. Паскаля (См.: Арно А., Николь П. Логика, или Искусство мыслить. М., 1991).
Продолжением декартовской дедуктивной линии в логике выступает и Г.В. Лейбниц (1646—1716), который считал, что логика дает другим наукам метод открытия и доказательства. Заслуга Лейбница в разработке принципов логики, системы логических модальностей общепризнанна; в частности, ему отдают первенство открытия закона достаточного основания в логике, что, правда, спорно. Бесспорно же и более важно то, что с именем Лейбница связывается формирование математический логики. Им были впервые сформулированы положения, приведшие в конце концов к созданию такой логики, которую он мыслил разновидностью универсальной математики. Лейбниц разработал то, что впоследствии было названо логикой классов, исчислением высказываний; он нашел как бы алфавит понятий, набор простых, непротиворечивых понятий, комбинации которых по определенному методу формируют теоретические доказательства. Его указание на возможность универсального языка рассуждений, подобного математическим (алгебраическим) вычислениям, в котором силлогистика (как и "Начала" Евклида) будет всего лишь частным случаем намного опередило свое время. Его идеи хотя и не были отвергнуты всеми, но авторитет И. Канта и Г. Гегеля, выступивших против аналогии формальной логики и алгебры, и не признавших за математизацией логики практического значения, несколько задержали развитие ее в этом направлении. В этот период распространяются взгляды индуктивистов: Дж. Гершеля, У. Уэвеля, Дж.С. Милля. Последний противопоставил свои методы анализа причинных связей (методы научной индукции) силлогистике, т.е. дедукции. Можно сказать, что в определенной мере ответом на это противопоставление и явились в середине XIX века работы О. де Моргана и Дж. Буля, обобщающие силлогистику и переводящие силлогизмы на язык алгебры.
После Г. Лейбница единая линия истории логики как бы раздваивается на историю традиционной формальной логики и историю математической (символической) логики, называемой тогда еще и логистикой. В истории последней наиболее значительным следует назвать имя Дж. Буля (1815-1864), положившего в основу своих логических работ аналогию между алгеброй и логикой и, пользуясь математическими операциями, создавшего логическое исчисление, позволившее ему найти новые типы выводов, не учитывающиеся в традиционном учении об умозаключении. Работы Дж. Буля, С. Джевонса, Ч. Пирса, Д. Венна, П.С. Порецкого, Э. Шредера и некоторых др., можно сказать, окончательно убедили специалистов в возможности алгебраизации логических форм, алгебраизации силлогистики и других мыслительных структур. И когда в 1879 г. Г. Фреге создает первое исчисление высказываний в строго аксиоматизированном виде, эта возможность стала реальной. Впоследствии их идеи были развиты и усовершенствованы Дж. Пеано, Б. Расселом, Д. Гильбертом, А. Черчем, С. Клини, X. Карри, А. Гейтингом, А.Н. Колмогоровым, А.А. Марковым, Н.А. Шаниным и др. Начало ХХ века отмечено бурным развитием как теории, так и практики (особенно с 30-х гг.) "машинного мышления", созданием вычислительных систем, кибернетической техники, "искусственного интеллекта". Плодами этого прогресса в виде персональных компьютеров пользуемся и мы.
Подобную Г. Лейбницу роль в разветвлении истории логики сыграл и И. Кант, предложивший для преодоления ограниченности общей (формальной) логики, неизбежно вступающей в противоречие с самой собой как только она пытается, выйдя за пределы чувственного опыта, познать "вещь в себе", создать новую логику (Кант назвал ее трансцендентальной), выясняющую возможность безусловно всеобщих и необходимых априорных истин. Поставленную И. Кантом задачу по-своему решил Г. Гегель своей диалектической логикой, логикой абсолютной идеи, т.е. идеалистической логикой. В советской литературе общепринято, что материализация этого учения Гегеля принадлежит К. Марксу и Ф. Энгельсу и, тем самым, с них начинается история материалистической диалектической логики.
Таким образом, историю логики можно представить в виде дерева, корнями своими уходящего в глубокую древность. Стволом этого дерева является история традиционной (аристотелевой) формальной логики, а крону этого дерева составляют ответвления традиционной, математической и диалектической логик. Правда, что считать диалектической логикой и до сих пор остается не совсем ясным. То ли это диалектический метод, материалистическая диалектика, методология, то ли это теория познания или метафизическая логика. Однако, во всяком случае достаточно очевидно, что традиционная логика не есть часть диалектической, что последняя не изучает структуру форм мысли (тогда бы она просто упразднила формальную логику); достаточно очевидно, что диалектическая логика в одинаковой степени со всеми остальными науками пользуется и формами мысли, исследованными традиционной логикой, и нормами к ним, сформулированными ею.
В этой истории есть и страницы, вписанные россиянами. История логики в России сравнительно небольшая. Первый природный россиянин, написавший, пусть и всего лишь 2-3 страницы, но специально о логике, был князь Андрей Михайлович Курбский (1528-1583). Им подготовлена к изданию первая на русском языке печатная книга по логике, переведенная князем «От другие диалектики Иона Спанинбергера о силогизме вытолковано», вышедшая в 1586 г. в Вильно в типографии Мамоничей. Ее князь сопроводил краткими сказами «Сказ Андрея чего ради сии написаны» и здесь же «Андрея Курпского сказ о лоике», не потерявшими своего значения и сейчас по тому завету, который он сформулировал в этом, может быть и громко названном, учитывая его объем, произведении. Князь, отдавая себе отчет в том, что в идейной, полемической борьбе зачастую одерживает верх не ближайший к истине, а навыкший в слове, в логике, писал, отвечая на вопрос, а для чего нужно изучать логику: "Многих ради вин: первая, иже бы есте ведали чин и мероу силлогизмов, и яко в них средоу изобрести и где положити. Вторая, иже бы есте познали и оуразумели разделити правду с неправдою, и разделити истинные и ложные. Третья, егда будут правды сопротивницы ложными тыми словы истину боурити (сокрушати), тогда бысте оумели им сопротивлятися. И отвещающе оборонити правду, и уста им заградити праведными оными силлогизмами, и указати им иже невозможные и неудобные начинают, и словесною силою лоукаве ... сопротив правды действуют". Поскольку логика, по мнению князя, "наука светлейшая словесная" и "много нам потребная", то он ее советует изучать тщательно, и этот совет злободневен и для современных учащихся: "оучите же и навыкайте ее неленосне, иаще ее добре навыкнете, оудобнее вам будет читати и разумети писания философские, яко наших великих учителей христианских, так и внешних философов." (К.Харлампович. Новая библиографическая находка // Киевская старина. Киев, 1900. Т. LXX).
Первым учебным курсом логики, читанным в 90-х гг. XVII в.руководителем первого высшего духовного учебного заведения Московской Руси (будущей Славяно-греко-латинской академии) иеромонахом Софронием Лихудой, было подготовленное им на греческом языке "Яснейшее изложение всего логического действования" (сохранилось в рукописи на греческом и латинском). Первым написанным на русском языке в 1758 г. учебным пособием по логике, была рукописная "Логика" Макария Петровича, тоже преподавателя этой академии, к сожалению, так и не изданная. Также не изданной осталась и "Логика" профессора Е.Б. Сырейщикова, написанная им в 1788 г. для "употребления будущих Университетов и гимназий", работавшего в это время в Главном народном училище С.-Петербурга. Изданными же первыми трудами природного россиянина, затрагивающими и логику, были две работы М. Ломоносова "Краткое руководство к риторике" (СПб., 1744) и "Краткое руководство к красноречию" (СПб., 1748). Имеется косвенное свидетельство, что М. Ломоносов в начале 50-х гг. написал и "Логику", занимавшую у него серединное место между грамматикой и риторикой, но следов этой работы не найдено. В XVIII веке были опубликованы еще несколько работ, касающихся логики. Наиболее важными из них являются "Философические предложения..." Якова Козельского (СПб., 1768) и "Письма о разных физических и филозофических материях..." Л. Эйлера (СПб., 1768-1774), где впервые им были использованы "круглые фигуры... весьма способные к облегчению наших рассуждений о сей материи, и к познанию таинств, которые в логике превозносятся, и в оной с трудом доказывается то, что посредством фигур тотчас взору представляется" (Л. Эйлер. Письма... Ч. 2. СПб., 1772. С. 99), ставшие с тех пор "кругами Эйлера".
Широкое распространение логики в России началось в XIX веке, когда с развитием высшего светского, университетского образования, где логика была обязательной учебной дисциплиной, стали чаще издаваться учебники и учебные пособия по логике. Можно говорить даже о формировании университетской логики в первой половине XIX века, она представлена именами П. Любовского, И. Любачинского, П. Лодия, А. Галича, Н. Рождественского и др. Однако, подлинный расцвет, связанный и с новаторскими разработками логики, падает на вторую половину этого века, на его конец и начало века ХХ. Он представлен именами В.Н. Карпова, М.И. Владиславлева, М.И. Каринского, Н.Я. Грота, Л.В. Рутковского, А.И. Введенского, П.С. Порецкого, Е.Л. Буницкого, С.О .Шатуновского, Н.А. Васильева, С.И. Поварнина и некоторых др. Этот период характерен еще и тем, что учебная литература по логике издавалась не только для вузов и гимназий, но и для самообразования, а это свидетельство ее широкого вхождения в общественное сознание. Однако, длилось сие недолго.
Послереволюционный период истории логики в советской России был неблагоприятен для формальной логики, она искусственно противопоставлялась диалектической, объявлялась метафизической, буржуазной наукой, и надолго была изъята из школьного учебного процесса. Лишь в 1947/48 учебном году была восстановлена, однако постоянно испытывала прессинг со стороны логики диалектической, в которую официально включалась как элементарный ее раздел, наподобие вхождения элементарной математики в высшую.
Тема 2. Классическая логика высказываний
Логика высказываний как определений тип логической теории и модели. Синтаксическое и семантическое построение логики высказываний. Логические отношения между правильно построенными высказываниями. Логическое следование, логический закон в логике высказываний.
Логика высказываний (пропозициональная логика) – теория, изучающая логическую структуру сложных высказываний, отношения между ними и выводы, построенные на основе этой структуры.
Сложные высказывания образуются из простых или других сложных высказываний с помощью логических союзов: «и», «или», «если…, то…», «если и только если», «неверно, что…». В логике высказываний при выявлении логических форм контекстов естественного языка происходит абстрагирование от содержания простых высказываний, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в какой последовательности простые высказывания соединяются в сложные.
Язык логики высказываний является формализованным, то есть специальным искусственным языком, предназначенным для точного выражения логических форм естественного языка, что позволяет выделять множества логических законов и форм корректных (правильных) умозаключений.
Алфавит данного языка включает в себя следующие символы:
1) пропозициональные переменные – А, В, С,… (иногда используются иные буквы латинского алфавита, например, p, q, r…)
Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «Сегодня на улице идет дождь» можно обозначить символом А, а высказывание «Сегодня на улице светит солнце» - символом В, и т.д.
2)пропозициональные связки - ,˄, v, v,É, ↔.
Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. Их аналогом в естественном языке чаще всего выступают грамматические союзы.
- отрицание («не», «неверно, что» и т.п.)
˄ - конъюнкция («и», «а», «но», «да», «ни, ни» и т.п.)
˅ - нестрогая дизъюнкция («или», «по крайне мере, одно из двух» и т.п.)
˅ - строгая дизъюнкция («либо – либо», «только одно из двух» и т.п.)
É - импликация («если, то», «значит» и т.п.)
↔ - эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)
3) скобки – ( , ).
Любая последовательность знаков этого алфавита называется выражением языка КЛВ. Некоторые из них являются правильно построеннымиформулами, если они соответствуют следующему определению:
1) Каждая пропозициональная переменная является формулой.
2) Если А – формула, то А также является формулой.
3) Если А и В – формулы, то выражения (А ˄ В), (А ˅ В), (А ˅ В),
(А É В), (А ↔ В) также являются формулами.
4) Ничто иное не является формулой.
Правильно построенные формулы представляют собой логические формы высказываний естественного языка, записанные на языке КЛВ. Например, пусть А означает «студент хорошо сдаст сессию», Возначает «студент будет пересдавать экзамены», С – «у студента будет хорошее настроение». Тогда переводом высказывания «если студент хорошо сдаст сессию, то он не будет пересдавать экзамены и у него будет хорошее настроение» будет формула (А É (В ˄ С)). Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется ее подформулой и выделяется скобками.
Разрешающие процедуры КЛВ (истинностные таблицы).Каждая логическая теория, в том числе и логика высказываний, решает две основные задачи: во-первых, выявляет класс формул, являющихся логическими законами; во-вторых, устанавливает отношение логического следования между формулами.
Определение 1(логического закона). Логическим законом теории называется формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации нелогических символов в ее составе.
Определение 2 (логического следование). Заключение логически следует из множества посылок, если и только если логическая форма данного рассуждения гарантирует, что при истинности посылок заключение тоже всегда будет истинным.
Определение 3 (разрешимости логической теории). Логическая теория называется разрешимой, если существует эффективная процедура (алгоритм), позволяющая для любой формулы языка теории в конечное число шагов определить, является ли эта формула логическим законом или нет.
Классическая логика высказываний является разрешимой теорией и для нее существует несколько разрешающих процедур. Одну из них представляет табличный способ определения истинностных значений формул.
Каждая отдельная пропозициональная переменная, замещающая собой простое высказывание, может быть истинной или ложной. Это обозначается, соответственно, (1) и (0). Истинность или ложность сложных формул зависит от истинностных значений входящих в них переменных. Эта зависимость представлена в следующей таблице:
| А | В | А ˄ В | А ˅ В | А ˅ В | А É В | А ↔ В | А | А | |
Правила редукции.
| Ù: | А Ù В | ~(Ù)®: | ~(А Ù В) | Ú: | А Ú В | ~(Ú): | ~(А Ú В) | ~(~): | ~~А | ||||
| А, В | ~А | ~В | А | В | ~А, ~В | А |
| É: | АÉ В | ~(É): | ~(АÉ В) | ||
| ~А | В | А, ~В |
Формула, расположенная над чертой правила, называется посылкой правила редукции, а формула под чертой правила – называется заключением правила. Вертикальная черта в заключении правила означает ветвление результата применения правила редукции (правила с ветвлением).
Определение 1 (аналитической таблицы). Аналитической таблицей называется конечная или бесконечная последовательность строк С1, …Ск, …списков формул такая, что каждая последующая строка получается из предыдущей применением правила редукции.
Замечание. Отметим, что если мы применяем правило редукции с ветвлением, то мы получаем два списка формул.
Определение 2 (замкнутого списка формул). Список формул называется замкнутым, если в списке встречается некоторая формула и ее отрицание, т.е. А и ~А (противоречие).
Определение 3 (завершенного списка). Список формул называется завершенным, если к формулам этого списка невозможно применять правила редукции, т.е в списке встречаются атомарные формулы или отрицание атомарных формул.
Определение 4 (замкнутой таблицы). Аналитическая таблица замкнута, если все ее списки формул замкнуты (противоречивы).
Определение 5 (завершенной таблицы). Аналитическая таблица называется завершенной, если она замкнута или имеет завершенные списки формул.
Определение 6 (общезначимой формулы в терминах аналитической таблицы). Формула А называется общезначимой, если ее аналитическая таблица замкнута.
Замечание. Завершенный список или завершенная таблица не обязательно замкнута, т.е. может быть замкнутой, но не являться противоречивой. Достаточно построить аналитическую таблицу для выполнимой формулы, чтобы в этом убедиться.
Правила вывода.
Правила вывода делятся на правила введения логических связок и удаление логических связок и. В формулировке правил «В:» сокращает слово «Введение», а «У:» - «Удаление».
| В: Ú | А | В: Ú | В | У: Ú | Г, А Ú В; | Г, А├ С | Г, В├ С | |
| А Ú В | А Ú В | Г├ С | ||||||
| В: Ù | А, В | У: Ù | А ÙВ | У: Ù | А Ù В | |||
| А Ù В | А | В | ||||||
| В:É | Г, А ├В | У: É | А, А É В |
| Г ├ А É В | В |
| У:~ | ~~ А | В: ~ | Г, А ├ В; Г, А ├ ~В | |
| А | Г├ ~В |
| У(слабое): ~ | А, ~А |
| В |
Определение 2 (вывода). Выводом называется непустая конечная последовательность формул, в которой любая формула является либо посылкой, либо формулой полученной из предыдущих по правилам вывода.
Определение 2. (выводимой формулы). Последняя формула в выводе называется выводимой формулой.
Комментарии к правилам вывода. Над чертой правила - посылки, под чертой правила – заключение. Правила делятся на однопосылочные (над чертой пишется одна формула) и двухпосылочные (над чертой пишутся две формулы). Правила делятся на правила прямого вывода и правила косвенного вывода. В правилах косвенного вывода в посылках используется знак выводимости «├», который означает, что строятся вспомогательные выводы. Правило В: ®предполагает доказа