Доказательства прямые и косвенные

По способу ведения все доказательства делятся на прямые и косвенные.
Допустим, нам требуется доказать такой тезис:
«Выборы депутатов в верховный орган государственной власти СССР производятся на основе равного избирательного права».
Данный тезис мы обосновываем следующими известными всем доводами:

каждый гражданин СССР имеет один голос;
каждый гражданин участвует в выборах депутатов независимо от расовой и национальной принадлежности, пола, вероисповедания, образовательного ценза, оседлости, имущественного положения, социального происхождения и прошлой деятельности.

Из этих доводов логически вытекает истинность выставленного тезиса о том, что в СССР выборы депутатов в верховный орган государственной власти производятся на основе равного права.

Что характерно для данного хода доказательства? То, что из доводов прямо вытекает истинность тезиса.
Доказательство, в котором доводы непосредственно обосновывают истинность тезиса, называется прямым доказательством.
Но нередко приходится встречаться с таким положением, когда доводов, которые прямо доказывали бы истинность тезиса, в данный момент не имеется.
Как же поступать в таком случае?
Надо найти доводы, которые доказывают, что суждение, противоречащее тезису, ложно. Найдя такие доводы, надо затем доказать ложность суждения, противоречащего тезису. Из закона исключённого третьего известно следующее: если доказано, что данное суждение ложно, то из этого необходимо следует, что противоречащее ему суждение истинно.
Доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается посредством опровержения истинности других положений, называется косвенным доказательством.
Косвенное доказательство может быть или апагогическим, или разделительным.
Способ доказательства в апагогическом косвенном доказательстве заключается в следующем: вначале опровергается положение, противоречащее доказываемому тезису, а затем, на основании закона исключённого третьего, согласно которому из двух противоречащих высказываний одно истинно, а другое обязательно ложно, устанавливается, что доказываемый тезис необходимо истинен.
Апагогическое косвенное доказательство часто встречается в математике. При помощи его доказывается, например, положение, что в треугольнике, в котором два угла равны, равны также и противолежащие им стороны. Ход доказательства развёртывается следующим образом. Пусть в треугольнике ABC угол А равняется углу В и пусть противолежащие им стороны будут АС и ВС. Требуется доказать, что АС равно ВС.
В целях доказательства допускается, что истинно положение, противоречащее тезису, т. е. что АС не равно ВС. Тогда из этого последнего положения, согласно теореме, что во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона, будет следовать, что угол А должен быть или больше, или меньше угла В. Но так как этот вывод противоречит принятому положению, то противоречащее тезису положение является ложным. Отсюда следует, что истинным должно быть положение, противоречащее ему, а именно — тезис.
При помощи этого способа доказательства, который называется также доказательством от противного, обосновывается истинность такой, например, теоремы геометрии:

«Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься, сколько бы их ни продолжали».
Ход доказательства развёртывается следующим образом. Допустим на минуту, что истинно положение, противоречащее тезису, т. е что «Два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются». Тогда из этого последнего положения следует, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра.
Но этот вывод ложен, ибо мы знаем доказанную уже теорему о том, что «Из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр».
А раз ложно утверждение, что из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра, то ложно и допущенное нами на минуту положение о том, что два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются, ибо это есть также нарушение теоремы о том, что «Из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Ведь два перпендикуляра, пересекающиеся при продолжении, есть два перпендикуляра, опущенные из одной точки на эту же самую прямую.
Так мы доказали, что допущенное на минуту в качестве истинного положение, противоречащее нашему тезису, о том, что «Два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются», ложно.
В результате мы получили два противоречащих суждения: «Перпендикуляры пересекаются» и «Перпендикуляры не пересекаются».
По закону исключённого третьего известно, что из двух противоречащих суждений одно необходимо ложно, а другое необходимо истинно и третьего между ними быть не может. Действительно, перпендикуляры к одной и той же прямой или пересекаются, или не пересекаются. Никакого третьего положения даже представить невозможно.
А раз мы доказали, что суждение «Два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются» ложно, то отсюда совершенно необходимо следует, что противоречащее суждение «Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься, сколько бы их ни продолжали» — истинно. Что и требовалось доказать, как говорят в таком случае геометры.

Разделительное косвенное доказательство применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число фактов, которые в своей сумме полностью исчерпывают все возможные факты по данному вопросу.
Способ такого доказательства заключается в следующем: отвергаются все факты, кроме одного, который и является доказываемым тезисом.
Так, если установлено, что первенство школы в беге на 100 метров оспаривали только учащиеся К., В. и Д., и если при этом нам стало известно, что ни К., ни В. не оказались первыми, то тем самым доказано, что первенство завоёвано учеником Д.
Ошибка, которая иногда встречается в разделительном косвенном доказательстве, состоит в том, что исследуются не все возможные факты. Истинность тезиса доказывается только при условии опровержения всех возможных предположений по рассматриваемому вопросу, кроме одного.
Применение косвенного доказательства связано с известной трудностью. В процессе косвенного доказательства приходится временно отклоняться от того тезиса, который обсуждается, привлекать дополнительный материал, что, конечно, осложняет весь процесс рассуждения. Но этот приём доказательства нужно знать, потому что в практической жизни нередко приходится иметь дело с таким положением, когда аргументов, которые бы прямо доказывали истинность тезиса, в данный момент не имеется.

Правила доказательства

Для того чтобы доказательство действительно обосновывало тезис, надо соблюсти ряд совершенно необходимых правил.
ПЕРВОЕ ПРАВИЛО. На занятии кружка или на собрании иногда можно наблюдать такую картину: выступающий в прениях говорит очень гладко, приводит некоторые доводы, между которыми имеется известная связь. Но вот вы решаете уловить, какую же мысль развивает выступающий в прениях, каков его тезис. И оказывается, сделать это не так-то легко. Определить тезис очень трудно.
Таких «ораторов» подверг критике И. В. Сталин в речи на предвыборном собрании избирателей Сталинского избирательного округа гор. Москвы в декабре 1937 года. «Конечно, можно было бы сказать эдакую лёгкую речь обо всём и ни о чём, — говорил И. В. Сталин. — Возможно, что такая речь позабавила бы публику... Но, во-первых, я не мастер по таким речам. Во-вторых, стоит ли нам заниматься делами забавы теперь, когда у всех у нас, большевиков, как говорится, «от работ полон рот». Я думаю, что не стоит».
Для «мастеров» по лёгким речам характерно то, что они нарушают первое правило доказательства, которое гласит:
Тезис должен быть суждением ясным и точно определённым.
Нельзя доказывать тезис, если он не определён. В. И. Ленин говорил, что если мы хотим спорить по существу, то нужно ясно представлять то, что критикуем.
ВТОРОЕ ПРАВИЛО. В процессе доказательства часто требуется обосновать не только тезис, но и самые доводы. В результате иногда получается довольно длинная цепь суждений. Это обстоятельство некоторые оппоненты в спорах и дискуссиях используют для того, чтобы незаметно отклониться от тезиса и начать доказывать совсем не то, что имелось в виду с самого начала.
Подобное уклонение от тезиса является настолько широко распространённым, что оно даже получило специальное название: подмена тезиса или игнорирование тезиса, который должен быть доказан.
Например, анархисты хотели опровергнуть материалистическое учение К. Маркса и с этой целью доказывали, что «еда не определяет идеологию». Этот тезис доказать нетрудно, однако он никакого отношения к учению К. Маркса не имеет, так как К. Маркс никогда не говорил, что еда определяет идеологию, и, наоборот, указывал на неправильность такого тезиса.
В политической борьбе с представителями враждебного нам мировоззрения часто приходится встречаться с попытками буржуазии и её агентуры пойти на подмену тезиса.
Один из видов «подмены тезиса» носит название: кто чрезмерно доказывает — ничего не доказывает.
Например, некоторые монархисты в Греции, желая оклеветать бойцов Демократической армии, выступившей против фашистского режима, утверждали, что будто бы группа бойцов свободно перешла албано-греческую границу и скрылась в Албании. Чтобы доказать своё утверждение, монархисты старались доказать, что на одном из участков границы ночью вспыхивали огоньки карманных фонарей.
Таким образом, желая доказать, что греческие патриоты связаны с заграницей, монархисты доказывали другой тезис: на границе были видны вспышки карманных фонарей. Совершенно ясно, что если даже действительно в районе границы были вспышки фонарей, то из этого ещё совсем не следует, что границу переходили бойцы Демократической армии (могли быть и пограничники, и местные крестьяне, и др.).
Доказывая слишком много, монархисты не могли тем самым доказать своего тезиса.
Есть разновидность ошибки «подмена тезиса», которая состоит в том, что доказывается слишком мало. Например, кто-либо, взяв кусок какого-то вещества, стал утверждать, что это вещество — металл, так как оно проводит электричество. Но одного этого довода недостаточно: проводниками электричества могут быть не только металлы, а, например, графит и др.
Доказывать слишком мало — значит ничего не доказывать.
Другой вид ошибки «подмена тезиса» называется ссылка на личные качества человека.
Эта ошибка особенно часто встречается в спорах, в полемике. Она состоит в том, что доказательство истинности (или ложности) тезиса подменяется доказательством достоинств или недостатков человека, который защищает тезис.
Например, желая доказать ложность высказанного мнения, указывают на личные недостатки того, кто это мнение высказал.
Итак, второе правило доказательства гласит:
Тезис должен оставаться тождественным, т. е. одним и тем же на протяжении всего доказательства.
ТРЕТЬЕ ПРАВИЛО. Первые два правила доказательства относятся к тезису. Но есть правила, которые распространяются на доводы, или аргументы. Доводы, как мы знаем, — это такие суждения, истинность которых должна быть несомненна. Ни одно доказательство не может строиться на ложных основаниях. Отсюда совершенно естественно вытекает третье правило доказательства:
Доводы, приводимые в подтверждение тезиса, должны быть истинными, не подлежащими сомнению.
Самым серьёзным нарушением третьего правила доказательства является логическая ошибка, которая называется основным заблуждением.

Существо её состоит в том, что тезис обосновывается ложным доводом. Такую ошибку делали, например, учёные до Коперника, когда они доказывали, что Солнце вращается вокруг Земли. Ошибкой в объяснении процессов горения была теория флогистона, которая была опровергнута русским учёным М. В. Ломоносовым, открывшим закон сохранения веса вещества.
В течение нескольких десятилетий многие биологи исходили в своих теоретических работах из ложного положения, согласно которому органическая жизнь ведёт начало только от клетки. Выдающееся открытие О. Б. Лепешинской отвергло это «основное заблуждение» и тем самым опрокинуло антинаучные мнения о вечности органических форм, о невозможности самозарождения, которые являлись следствием ложных исходных посылок буржуазного биолога Вирхова.
Третье правило предостерегает: не стройте доказательство на ложных основаниях. Из ложных доводов нельзя вывести истинного заключения.
ЧЕТВЁРТОЕ ПРАВИЛО. Но всякий ли истинный довод может явиться достаточным основанием для тезиса? Нет, не всякий. В спорах бывает, когда в подтверждение тезиса выставляются верные доводы, которые, однако, отнюдь не доказывают выдвинутого положения.
Подобная ошибка в ходе доказательства носит такое название: не вытекает, не следует.
Иначе говоря, выставленное положение, которое требуется доказать, не следует из доводов, приведённых в его подтверждение.
Так, например, для доказательства шарообразности Земли приведём следующие доводы:
1) при приближении корабля к берегу сперва показываются из-за горизонта верхушки мачт, а потом уже его корпус;
2) при подъёме вверх кругозор расширяется и расстояния до предметов, видимых на горизонте, увеличиваются;
3) после захода Солнца его лучи продолжают освещать верхушки высоких зданий, вершины гор и облака, позднее — только вершины гор и облака и ещё позднее — только облака;
4) кругосветные путешествия.
Но из всех этих доводов совершенно «не следует», что Земля шарообразна. Данные аргументы не обосновывают выставленного тезиса. Они доказывают только кривизну земной поверхности, замкнутость формы, её изолированность в пространстве, отсутствие у неё краёв, где-либо смыкающихся с небом.
На это совершенно справедливо указал проф. Б. А. Воронцов-Вельяминов в своём учебнике по астрономии. Шарообразность Земли доказывается другими доводами, а именно:
1) в любом месте Земли горизонт представляется окружностью, и дальность горизонта всюду одинакова;
2) во время лунного затмения тень Земли, падающая на Луну, всегда имеет округлые очертания, а круглую тень при любом положении отбрасывает только шар.
Для того чтобы не допустить логической ошибки, когда тезис не следует из доводов, надо соблюдать четвёртое правило доказательства:
Доводы должны являться достаточным основанием для тезиса.
Одним из серьёзнейших нарушений этого правила является логическая ошибка, которая в логике носит такое название: от сказанного в относительном смысле к сказанному безотносительно.
Существо этой ошибки заключается в следующем: довод, являющийся верным только в определённом отношении при наличии определённого условия, мы приводим в качестве основания тезиса как верный безотносительно, при всех условиях.
Чаще всего это правило нарушается в споре. Оппонент добивается признания какого-нибудь утверждения в ограниченном смысле, а затем ведёт доказательство так, как будто бы это утверждение было признано без всякого ограничения.
Например, в споре о книге один из участников допустил, что в ней содержатся хорошие иллюстрации, а другой распространил хорошую оценку на всю книгу и тем самым совершил ошибку «от сказанного в относительном смысле — к сказанному безотносительно».
ПЯТОЕ ПРАВИЛО. Истинность доводов не должна выводиться из тезиса. Это запрещает пятое правило доказательства, которое гласит:
Доводы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно, независимо от тезиса.
Нарушением этого правила является логическая ошибка, которая издавна называется в логике порочным кругом.
Существо ошибки заключается в следующем: тезис обосновывается доводами, а доводы обосновываются при помощи тезиса. Иначе говоря, какое-либо положение доказывается посредством этого же самого положения.
Примером такого порочного круга могут служить рассуждения буржуазных дипломатов на Дунайской конференции 1948 г. Английская делегация пыталась свою мысль о том, что конвенция 1921 г. о судоходстве на Дунае не потеряла своей силы, обосновать той же самой конвенцией.
Получается, говорил А. Я. Вышинский, довольно курьёзное положение: в качестве доказательства того, что существует конвенция 1921 г., что она не потеряла своей силы, приводится не что иное, как сама эта конвенция. В логике такой способ доказательства называется доказательством «того же через то же». Но таким способом ничего доказать нельзя, ибо получается порочный круг, из которого выход найти невозможно.
Рассуждения буржуазных дипломатов напоминают объяснения медика из пьесы Мольера «Мнимый больной».
На вопрос: «Почему опиум усыпляет?» он отвечал так: «Опиум усыпляет потому, что он имеет усыпляющую силу».
ШЕСТОЕ ПРАВИЛО. Если первые два правила относились к тезису, а три последующие — к доводам, то шестое правило доказательства говорит об отношении тезиса к доводам.
Это правило формулируется так:
Тезис должен быть заключением, логически вытекающим из доводов по общим правилам умозаключения.
Часто встречающимся нарушением этого правила является логическая ошибка, которая называется учетверением терминов.
Так, в доказательство неправильного тезиса о том, что «Всякое окисление даёт в остатке золу и пепел», приводятся такие доводы:

Всякое окисление есть сгорание.
Всякое сгорание даёт в остатке золу и пепел.

Из этих «доводов» делается вывод: «Значит, всякое окисление даёт в остатке золу и пепел». Но данный тезис доказан путём неправильного умозаключения. В ходе умозаключения допущена ошибка, известная нам из главы о силлогизме.
Вместо трёх терминов, как этого требуют правила силлогизма, в данном доказательстве имеются четыре термина. Слово «сгорание» употребляется в двух смыслах: в первом суждении слово «сгорание» употребляется в том смысле, как оно принято в химии, а известно, что химический процесс сгорания необязательно сопровождается выделением пепла и золы; во втором суждении слово «сгорание» употребляется в повседневном смысле.
Ошибка учетверения терминов есть результат нарушения логического закона тождества. В данном доказательстве слово «сгорание» употреблялось двусмысленно, что запрещает закон тождества.
Довольно часто также в доказательствах встречаются логические ошибки, известные нам из главы об индукции: поспешные обобщения, после этого — значит, по причине этого.

Опровержение

Опровержением называется доказательство ложности или несостоятельности какого-либо тезиса.
Опровержение тезиса достигается такими пятью способами:
1) Самый верный и успешный способ опровержения тезиса, выставленного оппонентом, — это опровержение фактами.
Если в доказательство ложности или несостоятельности какого-либо тезиса приведены действительные предметы, явления, события, противоречащие тезису, то задача опровержения вполне разрешена. Факты, как говорят, — упрямая вещь.
2) Подвергаются критике доводы, которые оппонентом выдвинуты в обоснование его тезиса.
Задача заключается в том, чтобы доказать, что аргументы опровергаемого доказательства ложны или несостоятельны. Если это удаётся сделать, то тем самым тезис оказывается недоказанным.
3) Доказывается, что истинность тезиса опровергаемого доказательства не вытекает из доводов, приведённых в подтверждение тезиса.
Так, например, делегации США, Англии и Франции на одном из заседаний комиссии по контролю над атомной энергией представили совместный доклад, который начинался с заявления о том, что комиссия «зашла в тупик». В заключение доклада было сказано, что в результате несогласия Советского Союза возникает положение, выходящее за рамки полномочий комиссии, и поэтому комиссия должна прекратить свою деятельность, а вопрос о контроле передать на обсуждение Генеральной Ассамблее ООН.
Выступивший на заседании комиссии советский представитель возразил против данного предложения трёх держав. Бесспорно, комиссия по контролю над атомной энергией оказалась не в состоянии прийти к соглашению по вопросу об установлении международного контроля над атомной энергией. Однако из этого «не следует», что комиссия должна прекратить свою деятельность. Предложение передать этот вопрос на рассмотрение Генеральной Ассамблее не может вывести комиссию по контролю над атомной энергией из затруднительного положения. Если в комиссии не будет достигнуто никаких результатов, то нет оснований думать, что лучшие результаты будут достигнуты в Генеральной Ассамблее.
Ясно, что доводы делегаций США, Англии и Франции не обосновывали продиктованного американскими империалистами тезиса. Установив это положение, советский представитель в комиссии по контролю над атомной энергией доказал несостоятельность всей аргументации делегаций США, Англии и Франции и тем самым сделал ясной для всех недоказанность тезиса, выставленного дипломатами Уолл-Стрита.
4) Самостоятельно доказывается новый тезис, который является противоречащим по отношению к опровергаемому тезису.
В силу закона исключённого третьего опровергаемый тезис должен быть признан ложным и отвергнут.
5) Доказывается ложность самого опровергаемого тезиса.
В данном случае поступают так: опровергаемый тезис временно признаётся истинным, но затем из него выводятся такие следствия, которые противоречат истине.
Пять указанных способов опровержения рассмотрены нами изолированно друг от друга. Это сделано лишь для того, чтобы лучше уяснить каждый из них. В действительности же в ходе любого опровержения часто приходится применять сразу несколько способов опровержения.

Вопросы для повторения

1. Что значит обосновать суждение?
2. Какие суждения не нуждаются в логическом обосновании?
3. Какие три значения имеет слово «доказательство»?
4. Что значит доказать истинность какого-либо суждения?
5. Что такое тезис?
6. Что такое основание?
7. Что такое способ доказательства?
8. Что такое прямое доказательство? (Приведите пример.)
9. Что такое косвенное доказательство? (Приведите пример.)
10. Что такое «сведение к абсурду»?
11. Какие существуют правила доказательства?
12. В чём существо логической ошибки «подмена тезиса»? (Приведите пример.)
13. В чём существо логической ошибки «кто чрезмерно доказывает — ничего не доказывает»? (Приведите пример.)
14. В чём существо логической ошибки «основное заблуждение»? (Приведите пример.)
15. Что такое «предрешение основания»?
16. В чём существо логической ошибки «не вытекает»? (Приведите пример.)
17. В чём существо логической ошибки «от сказанного в относительном смысле к сказанному безотносительно»? (Приведите пример.)

18. Что такое «порочный круг» в доказательстве?
19. Что такое «учетверение терминов»?
20. Что такое опровержение?
21. Какие способы опровержения вы знаете?

Приложение
ЛОГИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Понятие

1. Назовите существенные признаки понятий: «социализм», «комсомольцы», «колхозники», «театр», «пионер», «стенгазета», «кооперация», «яблоко», «скульптура», «школа», «учебник».
2. Укажите объём и содержание следующих понятий: «совхоз», «столица», «орденоносцы», «рабочий, перевыполняющий норму».
3. Произведите ограничение и обобщение следующих понятий: «наука», «математика», «геометрия», «организм», «существо», «человек», «Павел», «рабочий», «литература», «студент».
4. Правильно ли произведено обобщение и ограничение следующих понятий:
1) «сельскохозяйственная машина» — «машина» — «веялка»;
2) «гипотенуза» — «наибольшая сторона прямоугольного треугольника»;
3) «прямой угол» — «угол 90°» — «прямой угол, вписанный в окружность».
5. В каких отношениях находятся понятия: «школьники» — «комсомольцы»; «депутат райсовета» — «избиратели»; «Смоленск» — «Уфа»; «учёные» — «рабочие»; «станок» — «физический прибор»; «средняя школа» — «институт»; «день» — «ночь» — «сутки»; «поэма» — «проза»; «пехота» — «кавалерия» — «артиллерия»; «вагон» — «поезд»; «трактор» — «тракторный завод».
Укажите противоположные понятия для следующих понятий: «пролетариат», «суша», «свет», «северный полюс», «война», «свобода», «шум», «приход», «красивый».
В каком отношении находятся между собой следующие понятия: «строение», «клуб», «дом», «изба», «дворец», «Дворец Советов», «Зимний дворец», «беседка», «хата»?
6. Укажите, какие из приведённых ниже определений — правильные, какие — неправильные и в чём их неправильность:
а) Слово — не воробей: вылетит — не поймаешь.
б) Гипотенуза есть сторона прямоугольника, лежащая против прямого угла.
в) Воздух — это не кислород.
г) Прямой круглый цилиндр есть тело, образуемое путём вращения прямоугольника около одной из его сторон, остающейся при вращении неподвижной.
д) Диаметр круга есть прямая линия, соединяющая две точки окружности.
е) Логика есть наука о мышлении.
7. Можно ли считать дихотомическим следующее деление:
животные делятся на позвоночных и беспозвоночных?
8. Рассмотрите следующие деления, и если в них есть ошибки, то укажите их:
а) Транспорт делится на сухопутный, водный, воздушный и городской.
б) Числа делятся на целые, дробные, смешанные, именованные и отвлечённые.
в) Углы — прямые, тупые, острые, смежные, вертикальные.
г) Климат — морской, континентальный, тропический, умеренный и холодный.
д) Животные — хищные и нехищные.
е) Физические тела — твёрдые, жидкие, газообразные.
ж) Цвет — яркий, приятный, чёрный.
з) Свет — искусственный, лунный, солнечный.
и) Люди — мужчины, женщины, дети.
к) Дом — крыша, стены, комнаты.

Суждение

1. Дайте полный логический анализ следующих суждений:
а) «Когда человек весь отдаётся лжи, его оставляют ум и талант» (Белинский).
б) «Если враг не сдаётся, — его уничтожают» (Горький).
в) «Материалистическое мировоззрение означает просто понимание природы такой, какова она есть, без всяких посторонних прибавлений» (Энгельс).
К какому виду суждений по количеству относятся следующие:
а) «Очень немногие металлы легче воды»,
б) «Многие планеты — относительно малые тела».
в) «Награждённые медалью «За отвагу» должны подавать личный пример храбрости, мужества и отваги в борьбе с врагами Советского государства и служить образцом для других граждан при исполнении государственных обязанностей».
2. Дайте логическую характеристику следующих суждений:
а) «Теория должна служить практике».
б) «Нет, никогда коммунары не будут рабами».
в) «Кто не питает ненависти к врагам, тот не может любить друзей».
г) «Вода может быть превращена в твёрдое тело».
д) «Трус и до смерти часто умирает, но смерть лишь раз изведывает храбрый»
3. Дайте логическую характеристику следующих суждений:
«В СССР осуществляется принцип социализма: «от каждого по его способности, каждому — по его труду».
«Часто встречаются растения, которые не имеют цветов».
«Аксиомы самоочевидны».
«Грибы растут в лесах».
«Если в треугольнике один угол больше, чем каждый из двух других, то треугольник может быть прямоугольным».
«Делу — время, потехе — час».
«Где дым, там и огонь».
«Низко летающие ласточки предвещают дождь».
4. Составьте суждения, равнозначные по содержанию и по логической форме следующим:
а) «Не всё то золото, что блестит».
б) «Взялся за гуж — не говори, что не дюж».
в) «Смелость города берёт».
5. Составьте суждения, равнозначные по содержанию следующим суждениям:
а) «Тому, кто пожелает искренно и честно служить России, нужно иметь очень много любви к ней» (Гоголь).
б) «Иль нам с Европой спорить ново?
Иль русский от побед отвык?» (Пушкин).
в) «Недаром помнит вся Россия
Про день Бородина» (Лермонтов).
г) «Защита отечества есть священный долг каждого гражданина СССР».
6. Можно ли считать общими следующие суждения:
а) «Все книги моей библиотеки переплетены».
б) «Все книги моей библиотеки весят две тонны».
Дайте истолкование слова «все» в каждом из этих суждений.
7. Приведите к ясной логической форме следующие суждения:
а) «Слово кстати — сильнее печати».
б) «Нет следствия без причины».
в) «Не все здесь присутствующие имеют значки».
г) «Нельзя не признать вашу работу необходимой».
д) «Нет, не пошла Москва моя к нему с повинной головою».
е) «Лучше умереть стоя, чем жить на коленях».
8. Сделайте обращение суждений:
а) «Все ученики десятых классов сдают выпускные экзамены».
б) «Некоторые женщины — врачи».
в) «Нет движения без материи».

Умозаключение

1. Укажите ошибки в силлогизмах:
а) «Классные комнаты нуждаются в проветривании; эта комната — не классная; следовательно, она не нуждается в проветривании».
б) «Некоторые змеи ядовиты; ужи — змеи; следовательно, ужи ядовиты».
в) «Некоторые минеральные вещества горючи; нефть горюча; следовательно, нефть — минеральное вещество».
г) «Оранжерейные растения любят тепло; это растение любит тепло; следовательно, оно оранжерейное».
д) «Вводные слова выделяются запятыми; в синтаксическом примере одно из слов выделено запятыми; следовательно, это слово вводное».
е) «Всякий правильный силлогизм имеет три термина; этот силлогизм имеет три термина; этот силлогизм правильный».
ж) «Я могу рассуждать лучше, чем А, который изучал логику; следовательно, я не нуждаюсь в изучении логики».
2. «Жвачные не бывают хищными; лев есть хищное животное». Какой вывод следует? Определите фигуру этого силлогизма.
3. Определите фигуру следующих силлогизмов:
а) «Все болгары принадлежат к славянским народам; некоторые жители Болгарии не принадлежат к славянским народам; некоторые жители Болгарии не болгары»
б) «Все тратящие время непроизводительно не имеют успеха в работе; некоторые ученики тратят время непроизводительно; некоторые ученики не имеют успеха в работе».
4. Сделайте вывод и определите фигуру следующего силлогизма: «Все металлы — проводники электричества; некоторые тела — не проводники электричества».
Установите логический характер следующего рассуждения и сделайте вывод из него:
«Если бы у меня были музыкальные способности, то я поступил бы в консерваторию; но я не поступил в консерваторию».
5. «Кто боится трудностей, тот не герой; он боится трудностей». Какой вывод? Какая фигура?
6. «Страусы не летают, страусы — птицы». Какой следует вывод? Какая фигура?
7. «Некоторые лекарства — яды; все лекарства суть средства исцеления». Какой следует вывод? Какая фигура?
8. Какой фигурой силлогизма можно обосновать отрицательный вывод?
9. Приведите пример употребления силлогизма в математике.
10. Докажите путём силлогизма правильность суждения: «Вертикальные углы равны между собой».
11. Дайте заключение к посылкам: «Есть животные, которые не видны невооружённым глазом». «Все животные — организмы».
12. «Спектр получается в результате прохождения белого луча через призму; на полу комнаты в солнечный день появился спектр». Какое заключение? По какой фигуре?
13. «Некоторые комсомольцы — не шахматисты; некоторые шахматисты — спортсмены». Какой вывод?
14. «Все корабли, выходящие из порта А, должны были подвергнуться карантину. Этот корабль не выходил из порта А». Какое следует заключение?
15. «Горение сопровождается выделением тепла. Горение есть химический процесс». Дайте заключение и объясните его.
16. «Змеи не имеют ног, змеи — животные». Какой следует вывод?
17. «Растения дышат, а человек — не растение». Какой следует вывод?
18. Разберите правильность следующего силлогизма: «Всё, что не есть металл, не способно к магнитному притяжению; углерод — не металл, углерод не способен к магнитному притяжению».
Разберите следующие рассуждения:
а) «Книги являются источником познания и удовольствия; таблица логарифмов есть книга; следовательно, таблица логарифмов есть источник познания и удовольствия».
б) «Говорят, нет правила без исключения. Но такое утверждение само имеет значение правила. Следовательно, и оно имеет исключение».
в) «Если посылки ложны, то заключение ложно; данный силлогизм имеет ложное заключение; следовательно, его посылки ложны». Правильно ли это рассуждение?
19. Правилен ли следующий силлогизм: «Железо притягивается магнитом; этот гвоздь притягивается магнитом; этот гвоздь железный»?
20. «Все студенты сдают экзамены; все студенты — учащиеся». Какой следует вывод?
21. Если большая посылка во второй фигуре будет суждением частным, то возможен ли вывод?
22. Почему в третьей фигуре силлогизма меньшая посылка не может быть суждением отрицательным?
23. Укажите, правильно ли сделаны выводы в следующих условных силлогизмах:
а) «Если идёт снег, то становится теплее; сегодня стало теплее; следовательно, шёл снег».
б) «Если есть дым, то есть и огонь; дыма нет; следовательно, огня нет».
в) «Если рассаду не поливать, то она завянет; рассаду не поливали, она завяла».
г) «Если задача трудная, то на разрешение её потребуется значительное количество времени; на разрешение задачи было потрачено много времени; следовательно, она трудная».
д) «Если магнит сильно ударить, то он размагнитится; магнит не ударили; следовательно, он не размагнитился».
е) «Если на падающий мяч не действует посторонняя сила, то он не меняет своего направления; мяч изменил своё направление; следовательно, на него воздействовала посторонняя сила».
24. Восстановите недостающие части силлогизмов:
а) «Суда не могут входить в бухту; следовательно, бухта замёрзла».
б) «Если больной лихорадкой примет хины, то температура понизится; температура не понизилась».

25. Разберите с логической точки зрения силлогизм:
«Если вода содержит в себе много сернокальциевой соли, то мыло в ней плохо мылится. В невской воде мыло хорошо мылится».
26. У знаменитого софиста в древней Греции — Протагора — был ученик Эватл. Плата за обучение была разделена на два срока так, что вторую половину платы Эватл должен был внести после того, как он выиграет свой первый процесс. Так как Эватл не выступал в судах, то Протагор решил требовать деньги судом и обратился к Эватлу с такой дилеммой: «Если ты выиграешь наш процесс, то ты должен заплатить согласно нашему договору; если же ты наш процесс проиграешь, то должен будешь заплатить согласно решению судей; но ты или выиграешь процесс, или проиграешь его и, стало быть, всё равно должен заплатить мне следуемую сумму». Эватл отвечал ему обратной дилеммой: «Если я выиграю наш процесс, то я не должен буду платить в силу судебного решения; если я проиграю процесс, то не должен буду платить в силу нашего условия; но я или выиграю процесс, или проиграю его и, стало быть, ни при каких условиях не должен платить требуемых денег». Как можно было решить спор?
27. Восстановите следующие энтимемы, укажите при этом, какую именно часть силлогизма вы восстанавливаете:
а) «Медь — хороший проводник электричества, так как все металлы — хорошие проводники электричества».
б) «Он покраснел, следовательно, — виноват».
в) «Ты трус, а мне не сын».
28. Если под воздушным колоколом произвести звук, то этот звук будет слышен в том случае, если под колоколом есть воздух. Но если воздуха под колоколом нет, то и звук не будет слышен. Какой следует вывод и по какому методу?
29. Существуют народные приметы, возникшие из наблюдения над погодой. Например: «Если ласточки летают низко, то будет дождь», «Если вечерняя заря ярко-красная, то будет ветер» и др. К какому виду умозаключений относятся такие примеры? В чём недостаток этого вида умозаключений?
30. Суеверные люди считают, что «понедельник — тяжёлый день», что «рассыпать соль — значит поссориться» и пр. Какого рода логическую ошибку представляют эти суеверия?