Распределенность терминов в категорических суждениях

В суждениях термины S и Р могут быть либо распределены, либо не распределены. Термин считается распределенным, если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью исключается из него. Термин будет нераспределен­ным, если его объем частично включается в объем другого термина или частично исключается из него. Проанализируем четыре вида суждений: А, I, Е, О (мы рассматриваем типичные случаи).

Суждение А общеутвердительное. Его структура: «Все S есть Р».

Рассмотрим два случая.

1-й случай. В суждении «Все караси — рыбы» субъектом явля­ется понятие «карась», а предикатом — понятие «рыба». Кван­тор общности — «все». Субъект распределен, так как речь идет о всех карасях, т. е. его объем полностью включен в объем предиката. Предикат не распределен, так как в суждении речь идет лишь о той части объема предиката, которая совпадает с объемом субъекта.

Распределенность терминов в суждениях можно иллюстриро­вать с помощью круговых схем Эйлера. На рис. 34 изображено соотношение S и Р в суждении А. Заштрихованная часть круга на рис. 34—39 характеризует распределенность (или нераспределенность) терминов.

Если объем Р больше (шире) объема S, то Р не распределен.

2-й случай. В суждении «Все квадраты — равносторонние пря­моугольники» термины такие: S — «квадрат», Р — «равносто­ронний прямоугольник», квантор общности — «все». В этом суж­дении S распределен и Р распределен, так как их объемы полно­стью совпадают (рис. 35).

Если S равен по объему Р, то Р распределен. Это бывает в определениях и в выделяющих общих суждениях⁵.

Суждение I частноутвердительное. Его структура: «Некото­рые S есть Р». Рассмотрим два случая.

1-й случай. В суждении «Некоторые инженеры — филатели­сты» термины такие: S — «инженер», Р — «филателист», кван­тор существования — «некоторые». Соотношение S и Р изоб­ражено на рис. 36. Субъект не распределен, так как в нем мыслит­ся только часть инженеров, т. е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат тоже не распределен, так как он также лишь частично включен в объем субъекта (только некоторые филателисты являются инженерами).

Если понятия S и Р перекрещиваются, то Р не распределен.

2-й случай. В суждении «Некоторые писатели — драматурги» термины такие: S — «писатель», Р — «драматург», квантор су­ществования — «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть писателей, т. е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат рас­пределен, так как объем предиката полностью входит в объем субъекта (рис. 37). Таким образом, Р распределен, если объем Р меньше объема S, что бывает в частных выделяющих су­ждениях.

Суждение Е общеотрицательное. Его структура: «Ни одно S не есть Р ». Например, «Ни один лев не есть травоядное животное». В нем термины такие: S — «лев», Р — «травоядное животное», квантор общности — «ни один». Здесь объем субъек­та полностью исключается из объема предиката, и наоборот. Позтому и S, и Р распределены (рис. 38).

Суждение О частноотрицательное. Его структура: «Некото­рые S не есть Р». Например, «Некоторые учащиеся не являются спортсменами». В нем такие термины: S — «учащийся», Р — «спортсмен», квантор существования — «некоторые». Субъект не распределен, так как мыслится лишь часть учащихся, а пре­дикат распределен, ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых не включен в ту часть учащихся, которая мыслится в субъекте (рис. 39).

Итак, 5 распределен в общих суждениях и не распределен в частных; Р всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных же он распределен тогда, когда по объему

Распределенность терминов в категорических суждениях мож­но выразить в виде следующей схемы (табл. 1), где знаком (+) выражена распределенность термина, а знаком (-) его нераспределенность. В ней же дана объединенная информация о про­стых суждениях.

СЛОЖНОЕ СУЖДЕНИЕ И ЕГО ВИДЫ

Сложные суждения образуются из простых суждений с помо­щью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.

Таблицы истинности этих логических связок следующие (табл. 2, 3).

Буквы а, b, с — переменные, обозначающие суждения; буква «И» обозначает истину, а «Л» — ложь.

Таблицу истинности для конъюнкции (а ^ b)можно разъяс­нить на следующем примере. Учителю дали короткую харак­теристику, состоящую из двух простых суждений: «Он является хорошим педагогом (а) и учится заочно (b)». Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же а ложно или b ложно, либо и а, и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т. е. учителю была дана ложная характеристика.

Суждение: «Увеличение рентабельности достигается путем повышения производительности труда (а) или путем снижения себестоимости продукции (b)» — пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если ее члены не исключают друг друга. Такое высказывание истинно в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух суждений (первые три строки табл. 2), и ложно, когда оба суждения ложны.

Члены строгой дизъюнкции исключают друг друга. Это можно разъяснить на примере: «Я поеду на юг на поезде (а) или полечу на самолете (b) ». Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно лишь одно из двух простых суждений.

Таблицу для импликации можно разъяснить на таком примере: «Если через проводник пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (b) »⁶. Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, т. е. чтобы суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т. е. суждение (b)было ложным.

Эквиваленция в таблице характеризуется так: истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо оба ложны.

Отрицание суждения характеризуется так: если а истинно, то его отрицание ложно, и если а ложно, то а истин­но.

Если в формулу входят три переменные, то таблица истин­ности для этой формулы, включающая все возможные комбина­ции истинности или ложности ее переменных в таблице, будет состоять из 2³ = 8 строк; при четырех переменных в таблице будет 2* = 16 строк; при пяти переменных в таблице имеем 2⁵ = 32 строки; при переменных — 2 ⁿ строк (табл. 4, 5).

Алгоритм распределения значений И и Л для перемен­ных (например, для четырех переменных а, b, с, d ) таков (табл. 4).

Имеем 2⁴= 16 строк.

В столбце для а сначала пишем 8 раз «И» и 8 раз «Л».

В столбце для b сначала пишем 4 раза «И» и 4 раза «Л», затем повторяем и т. д.

Выполнимая формула та, которая может принимать по край­ней мере одно значение «истина». Тождественно-истинной фор­мулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение «истина» (иначе она называется законом логики, или тавтологи­ей). Тождественно-ложная формула та, которая соответственно принимает только значение «ложь» (она иначе называется проти­воречием).

Приведем доказательство тождественной истинности фор­мулы:

Так как в последней колонке мы имеем только значение «истина», формула является тождественно-истинной, или зако­ном логики (такие выражения называют тавтологиями).

Итак, конъюнкция истинна тогда, когда оба простых суждения истинны. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация истинна во всех случаях, кроме одного: когда а истинно, a b ложно. Эквиваленция истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание (а) истины дает ложь, и наоборот.

Способы отрицания суждений

Два суждения называются отрицающими или противоречащи­ми друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно (т. е. они не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными) (табл. 6).

Отрицающими являются следующие пары суждений:

1. А— О. «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р».

2. Е—I. «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть Р».

3. «Это S есть Р» и «Это S не есть Р».

Операцию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных суждений. Существует два вида отрицания: внут­реннее и внешнее. Внутреннее указывает на несоответствие пре­диката субъекту (связка выражена словами: «не есть», «не суть», «не является»). Например, «Некоторые люди не имеют высшего образования». Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например, «Не верно, что в Москве протекает река Нева».

Отрицание сложных суждений

Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в своем составе лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необ­ходимо поменять знаки операций на противоположные (т. е. конъюнкцию на дизъюнкцию, и наоборот) и над буквами, выра­жающими элементарные суждения, поставить знак отрицания, а если он уже есть, то отбросить его.

Имеем:

1) 2) .4)

Эти формулы называются законами ле Моргана. Применив их, получим:

Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необ­ходимо заменить на тождественную формулу без импликации (с дизъюнкцией), а именно: ; затем по общему методу

найти противоречащее суждение. Например, «Если у меня будет свободное время (а), то я почитаю книгу (b) или посмотрю телевизор (с)». Формула этого сложного суждения: Противоречащее суждение будет:

Оно читается так: «У меня будет свободное время, но я не буду читать книгу и не буду смотреть телевизор».