Разделительные (дизъюнктивные) высказывания

Разделительными называются сложные высказывания, образованные из двух или более простых, соединенных логическим союзов "или".

Про­стые высказывания в составе сложного называются членами дизъюнкции, или дизъюнктами.

Дизъюнкция бывает полной или закрытой, если в нем перечислены все возможные случаи, и неполной или открытой, если перечислены толь­ко некоторые из возможных случаев. Например, высказывание "Деревья бывают или лиственные, или хвойные, или смешанные'' представляет собой закрытую дизъ­юнкцию, так как предполагается, что других деревьев, кроме хвойных и лиственных и смешанных не существует, а высказывание "Леса бывают или листвен­ные, или хвойные - открытую дизъюнкцию, так как, кроме перечисленных, существуют еще смешанные леса.

В естественном языке союз "или" может употребляться в двух смыс­лах: соединителъно-разделительном, когда он связывает такие характе­ристики, которые не исключают друг друга и могут совмещаться в одном предмете, и строго разделительном, когда связанные им характеристики не могут совмещаться в одном предмете, например, в высказывании "Он или математик, или шахматист" союз "или" употреблен в соеденительно-разделительном смысле, а в высказывании «Имена бывают или единичными, или общими» тот же союз употреблен в строго-разделительном смысле.

Соединительно-разделительный союз "или" образует слабую дизъюнкцию, а строго-разделительные - строгую, или сильную, дизъюнкцию.

Слабой дизъюнкцией, таким образом, является такое высказывание, в котором утверждается истинность, по крайней мере, одного из простых высказывании. Если, например, узнав, что кто-то хорошо разбирается в автомобилей, мы выскажем предположение, что он или механик, или водитель, то не ошибемся, если этот человек окажется а) и механиком. и водителем, б) механиком, но не водителем, в) водителем, но не механиком, Наше предположены окажется ошибочным в случае, когда человек, о котором мы его высказали, не имеет отношения к этим профессиям.

P	q	p v q
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Слабая дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее членов истинен, а все остальные ее члены ложны.

Строгая дизъюнкция - это сложное высказывание, в котором утверждается, что из образующих его простых высказываний только одно явля­ется истинным, а остальные ложны. Она отличается от слабое тем, что в последней допустима одновременная истинность всех простых высказываний, а в строгой истинность одного из ее членов исключает истинность остальных. Строгую дизъюнкцию высказывают в тех случаях, когда знают, что из двух или более предположении только одно истинное, хотя и не знают какое.

P	Q	p v q
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда лишь один из ее членов истинен, а все остальные ложны. Поэтому строгую дизъюнкцию иногда называют исключающей.

Условные высказывания

Условными называются высказывания, состоящие из двух частей, соединенные логическим союзом "если, то". Часть высказывания со словом "если" называется основанием, а часть высказывания со словом "то" - следствием.

В естественном языке союз "если, то" употребляете по меньшей мере в четырех смыслах и соответственно выражает четыре различных ло­гических союза, союз "если, то", во-первых, употребляется в смысле "если р, то обязательно q”. Taкой смысл этот союз имеет, например, в высказывании "Если деревце сломать, то оно погибнут". Во-вторых, он может употребляться в смысле "если р, то, возможно, q", или "только если р, то q”. Такой смысл имеет союз "если, то", например, в высказываниях "Если утром трава на газоне мокрая, то ночью прошел дождь" или "Если мы будем в Москве, то посетим Кремль". В-третьих, союз "если, то" употребляются в смысле "если и только если р, то q”, или "р тогда и только тогда, когда q". такой смысл он имеет, нaпример, в высказывании "Если треугольник равносторонний, то он равноугольный. В-четвертых, союз "если, то" гложет употребляться, в смысле соединительного союза "а", как, например, в высказывании "Если вчера стояла хорошая погода, то сегодня идет дождь", Здесь он выражает конъюнкцию.

p	q	p – q	p – q	p – q
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

.

На приведенных выше примерах рассмотрим, как зависит логическое значение сложного высказывания от логических значений его составных частей.

Первый пример можно описать следующим образом: 1). «Деревце сломали и оно погибло»; 2). «Деревце сломали, но оно не погибло»; 3). «Деревце не ломали и оно погибло»; 4). «Деревце не ломали, и оно не погибло», нетрудно заметить, что невозможной являются только вторая си­туация, т.е. невозможно, чтобы основание было истинным (деревце сломали), а следствие - ложным (деревце не погибло).

Высказывания, ложно тогда и только тогда, когда основание исти­нно, а следствие ложно, называйся импликативными, а связь между ос­нованием и следствием - импликацией.

Из ситуаций, которые могут быть описаны вторым и третьим примерами, невозможным является третья, т.е. невозможно, чтобы трава оста­валась сухой, хотя и прошел дождь, или невозможно посетить Кремль, не побывав в Москве.

Условные высказывания, ложные только тогда, - когда основание ложно, а следствие истинно, называются репликативными, или высказы­вания обратном импликации.

Из содержания примера "Если треугольник равносторонний, то он равноугольный" следует, что невозможно, чтобы треугольник был равно­сторонним, но не был равноугольным, или был равноугольным, но не был равносторонним.

Условные высказываний, истинные только тогда, когда обе их части или истинные, или обе ложные, называются эквивалентными, а связь между основанием и следствием эвквиваленцией, или двойной импликацией

Контрольные вопросы

Что называется сложным высказыванием?

2. С помощью каких логических союзов образуются сложные высказывания?

3. Чем отличается внешнее отрицание от внутреннего?

4. Что называется высказывание отрицания?

5. Как формулируется закон двойного отрицания?

6. Что называется соединительным высказыванием?

7. Когда конъюнкция бывает истинной?

8. Что называется разделительным высказыванием?

9. Что называется открытом м что закрытое дизъюнкцией?

10. Какие бывают виды дизъюнкции?

11. При каких условиях слабая дизъюнкция истинна?

12. При каких условиях строгая дизъюнкция истинна?

13. Что называется условным высказыванием?

14. Какие бывают виды условных высказываний?

15. При каких условиях импликация ложна?

16. При каких условиях репликация ложна?

17. При каких условиях эквиваленция истинна?

Упражнения

1. Определите вид сложного высказывания и запишите его в виде

формулы:

Чем дальше в лес, тем больше дров. "Ни солнца мне не виден свет, ни для корней моих простору нет, ни ветеркам вокруг меня свободы" (И.А. Крылов0, "Иль чума меня подцепит, иль мороз окостенит, иль мне в лоб шлагбаум влепит непроворный инвалид" (А.С. Пушкин). Если четырех­угольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны, назвался груздем - полезай, в кузов. Если с утра шел дождь, то к полудню прояс­нилось. Хотя на море разыгрался шторм, однако судно неуклонно двигалось своим курсом. "Долго ль мне гулять на свете то в коляске, то верхом, то в кибитке, то в карете, то в телеге, то пешком?" (А. С. Пушкин). Если рассада завяла, значит, ее не поливали. Посеешь ветер - пожнешь бурю.

2. Выразите через двойное отрицание следующие утверждения:

Высказанная им мысль была тривиальной, многие химические веще­ства являются растворимыми, некоторые вулканы являются потухшими. Все тюлени - ластоногие животные. В его поведении можно было заметить некоторую неуверенность.

3. Определите логическое значение q ("истинно", "ложно". "нео­пределенно") в истинных формулах р q, p v q, p – q, p v q, p – q, p – q, если р истинно.

4. Если р истинно, то что можно сказать о логическом значении

формул:

Глава 4. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ: