Краткие сведения из теории. Аксиомы алгебры логики

Аксиомы алгебры логики

Переменные, рассматриваемые в алгебре логики, могут принимать только два значе­ния - 0 или 1. В алгебре логики определены: отношение эквивалентности (обозначается знаком =) и операции: сложения (дизъюнкции), обозначаемая знаком v, умножения (конъюнкции), обозначаемая знаком & или точкой, и отрицания (или инверсии), обозна­чаемая надчеркиванием или апострофом ’. Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

Логические выражения

Запись логических выражений обычно осуществляют в конъюнктивной или дизъюнк­тивной нормальных формах. В дизъюнктивной форме логические выражения записыва­ются как логическая сумма логических произведений, в конъюнктивной форме - как ло­гическое произведение логических сумм. Порядок действий такой же, как и в обычных алгебраических выражениях.

Логические выражения связывают значение логической функции со значениями логи­ческих переменных.

Логические тождества

При преобразованиях логических выражений используются логические тождества:

Логические функции

Любое логическое выражение, составленное из n переменных xn, xn-1... x1с помо­щью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию n переменных. Такую функцию называют логической. В соответствии с аксиомами алгебры логики функция может принимать в зависимости от значения переменных значение 0 или 1. Функция n логических переменных может быть определена для 2nзначений переменных, соответствующих всем возможным значениям n-разрядных двоичных чисел. Основной интерес представляют следующие функции двух переменных х и у:

- логическое умножение (конъюнкция),

- логическое сложение (дизъюнкция),

- логическое умножение с инверсией,

- логическое сложение с инверсией,

- суммирование по модулю 2,

- равнозначность.

Логические схемы

Физическое устройство, реализующее одну из операций алгебры логики или простейшую логическую функцию, называется логическим элементом. Схема, составленная из конечного числа логических элементов по определенным правилам, называется логической схемой.

Основным логическим функциям соответствуют выполняющие их схемные эле­менты.

Таблица истинности

Так как область определения любой функции n переменных конечна
(2nзначе­ний), такая функция может быть задана таблицей значений f(vi), которые она при­нимает в точках vi, где i=0,1...(2n-1). Такие таблицы называют таблицами истиннос­ти. В табл. 1 представлены таблицы истинности, задающие указанные выше функции.

i = 2x+y - число, образованное значениями переменных.

Таблица 1

i	Значения переменных	Функции
x	y	f1	f2	f3	f4	f5	f6