Понятие о софизмах и логических парадоксах

Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышле­нии, называется паралогизмом. Преднамеренная ошибка (как уже не раз отмечалось), совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное, называется софизмом. Математические софизмы собраны в целом ряде книг^[6].

Пример. 5=1. Желая доказать, что 5=1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и —2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?

Понятие о логических парадоксах

Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказыва­ющее как это суждение, так и его отрицание. Парадоксы были известны еще в древности. Примерами парадоксов являются: “куча”, “лысый”, “каталог всех нормальных каталогов”, “мэр города”, “генерал и брадобрей” и др.

Парадокс “куча”. Разница между кучей и не кучей — не в одной песчинке. Пусть у нас есть куча (например, песка). Начинаем от нее брать каждый раз по одной песчинке, и куча остается кучей. Продолжаем этот процесс. Если 100 песчинок — куча, то 99 — тоже куча и т. д. 10 песчинок — куча, 9 — куча, ..., 3 песчинки — куча, 2 песчинки — куча, 1 песчинка — куча. Итак, суть парадокса в том, что постепенные количественные изменения (убавление на 1 песчинку) не приводят к качественным изменениям.

Парадокс “лысый” аналогичен парадоксу “куча”, т. е. разница между лысым и не лысым не в одной волосинке.

Парадоксы теории множеств

В письме Готтлобу Фреге от 16 июня 1902 г. Бертран Рассел сообщил о том, что он обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента). Примерами таких парадоксов являются “каталог всех ” нормальных каталогов”, “мэр города”, “генерал и брадобрей” и др.

Парадокс “мэр города” состоит в следующем: каждый мэр города живет или в своем городе, или вне его. Был издан приказ о выделении одного специального города, где бы жили только эти мэры, не живущие в своем городе. Где должен жить мэр этого специального города? Если он хочет жить в своем городе, то он не может этого сделать, так как там могут жить только мэры, не живущие в своем городе; если же он не хочет жить в своем городе, то, как и все мэры, не живущие в своих городах, он должен жить в отведенном городе, т. е. в своем. Итак, он не может жить ни в своем городе, ни вне его. Парадокс “генерал и брадобрей” состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те содаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей? Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют; если же он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя. Этот парадокс аналогичен парадоксу “мэр города”. Рассмотрим парадокс Рассела о нормальных множествах в ви­де парадокса о “каталоге всех нормальных каталогов”.

Парадокс этот получается так: каталоги подразделяются на два рода: 1) такие, которые в числе перечисленных каталогов не (упоминают себя (нормальные), и 2) такие, которые сами входят 'в число перечисляемых каталогов (ненормальные).

Библиотекарю дается задание составить каталог всех нор­мальных и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога упомянуть и составленный им? Если он упомянет его, то составленный им каталог окажется ненор­мальным, т. е. он не имел права упоминать его. Если же библио­текарь не упомянет его, то один из нормальных каталогов — тот, который он составил. — окажется не упомянутым, хотя он должен был упомянуть все нормальные каталоги. Итак, он не может ни упомянуть, ни не упомянуть составляемыйим каталог.

Как же тут быть? На этом же примере видно, как могут быть разрешены соответствующие парадоксы. В самом деле, естест­венно заметить, что понятие “нормальный каталог” не имеет фиксированного объема, пока не установлено, какие каталоги следует рассматривать: в какой, например, библиотеке и в какое время они находятся. Если будет дано задание составить каталог всех нормальных каталогов на 10 мая 1985 г., то объем понятия “каталог всех нормальных каталогов” будет фиксирован и при составлении своего каталога библиотекарь не должен будет упо­минать его же. Но если перед ним поставят снова аналогичное задание после того, как его прежний каталог уже будет составлен, то ему придется учесть и этот каталог. Так будет разрешен парадокс.

Таким образом, в логику входит категория времени, катего­рия изменения: приходится рассматривать изменяющиеся объ­емы понятий. А рассмотрение объема в процессе его измене­ния — этоуже аспект диалектической логики. Трактовка парадо­ксов математической логики и теории множеств, связанных с на­рушением требований диалектической логики, принадлежит про­фессору С. А. Яновской.

Имеются и другие способы избежать противоречий такого рода.