Истинность сложных суждений

Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным шести видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение: Уж полночь близится, а Германа все нет является конъюнкцией, потому что в нем союз «а» употребляется в роли соединительного союза «и». Сложное суждение, в котором вообще нет союза: Посеешь ветер, пожнешь бурю является импликацией, т.к. два простых суждения в нем связаны по смыслу условным союзом «если…то».

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Ниже приведена таблица истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений.

Таких наборов всего четыре:

1. оба простых суждения истинные;

2. первое суждение истинное, а второе ложное;

3. первое суждение ложное, а второе истинное;

4. оба суждения ложные.

а	в	аɅв	аVв	аVв	а®в	а«в	а
И	И	И	И	Л	И	И	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л	И
Л	Л	Л	Л	Л	И	И	И

! Как видим, конъюнкция (а Ʌв) истинна только тогда, когда истинны оба простых суждения, входящих в нее.

Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в нее суждения. Во всех остальных случаях она является ложной.

Нестрогая дизъюнкция (аVв), наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в нее простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в нее простые суждения.

Строгая дизъюнкция (аVв) истинна только тогда, когда одно входящее в нее простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в нее простых суждений, а все остальные ложны.

Импликация (а ® в) ложна только в одном случае, - когда ее основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна.

Эквиваленция (а « в) истинна тогда, когда два составляющих ее простых суждения истинны или же, когда они оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна.

Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение (а) истинно, его отрицание (Øа) ложно; когда утверждение (а) ложно, его отрицание ( а) истинно.

Формализация рассуждений

Логика анализирует правильное мышление с точки зрения его формы, а не содержания. Поэтому одной из основных логических процедур является установление формы того или иного содержательного высказывания или рассуждения.

Установление логической формы высказывания или рассуждения обычно называется формализацией. Совершить формализацию (иначе говоря, формализовать) высказывание или целое рассуждение - это значит отбросить его содержание и оставить только его логическую форму, выразив ее с помощью уже известных нам условных обозначений конъюнкции, нестрогой и строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.

Например, чтобы формализовать следующее высказывание: Он занимается живописью или музыкой, или литературой надо сначала выделить входящие в него простые суждения и установить вид логической связи между ними. В приведенное высказывание входят три простых суждения:

1. Он занимается живописью;

2. Он занимается музыкой;

3. Он занимается литературой.

Эти три суждения объединены разделительной связью, однако они друг друга не исключают (возможно заниматься и живописью, и музыкой, и литературой), следовательно перед нами – нестрогая дизъюнкция, форму которой можно представить следующей условной записью: а V в V с, где а, в, с – указанные выше простые суждения. Понятно, что форму а V в V с можно наполнить каким угодно содержанием, например: Цицерон был политиком или оратором, или писателем; Он изучает английский или немецкий, или французский; Люди передвигаются наземным или воздушным, или водным транспортом и т.д. и т.п.

Формализуем рассуждение: Он учится в 9 классе или в 10 классе, или в 11 классе; Однако, известно, что он не учится ни в 10, ни в 11 классе; Следовательно, он учится в 9 классе. Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждении, и обозначим их маленькими буквами латинского алфавита:

1. Он учится в 9 классе (а);

2. Он учится в 10 классе (в);

3. Он учится в 11 классе (с).

Первая часть рассуждения представляет собой строгую дизъюнкцию этих трех высказываний (а V в V с). Вторая часть рассуждения является отрицанием второго (в) и третьего (с) высказываний, причем эти два отрицания соединяются, т.е. связаны конъюнктивно ( в Ʌ с). Эта конъюнкция отрицаний присоединяется к упомянутой выше строгой дизъюнкции трех простых суждений ((а V в V с) Ʌ ( вɅ с)), и уже из этой новой конъюнкции в качестве следствия вытекает утверждение первого простого суждения (Он учится в 9 классе). Логическое следование, как мы уже знаем, представляет собой импликацию. Таким образом, результат формализации нашего рассуждения в итоге выражается формулой: ((а V в V с) Ʌ ( в Ʌ с)) ® а.

!! !! Например: Впервые человек полетел в космос в 1957 году или в 1959 году, или в 1961 году; Однако, известно, что впервые человек полетел в космос не в 1957 году и не в 1959 году; Следовательно впервые человек полетел в космос в 1961 году. Еще один вариант: Философский трактат «Критика чистого разума» написал то ли Иммануил Кант, то ли Георг Гегель, то ли Карл Маркс; Однако, ни Гегель, ни Маркс не являются авторами этого трактата; Следовательно, его написал Кант.