Числовая последовательность

ИКТИБ ИТА ЮФУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Глава 3 Введение в математический анализ

Лекция 11 Свойства числовых множеств

Числовые множества

Под числовым множеством мы понимаем произвольный набор точек на числовой оси. Важным является понятие ограниченности числового множества.

Определение 1. Числовое множество называется ограниченным сверху, если существует число такое, что для каждого выполнено условие . Число при этом называется верхней гранью множества .

Если использовать символы математической логики, это определение можно записать следующим образом. Числовое множество ограничено сверху .

Аналогичным является понятие ограниченности снизу и просто ограниченности числового множества.

Определение 2. Числовое множество называется ограниченным снизу, если существует число такое, что для каждого выполнено условие или . Число при этом называется нижней гранью множества .

Определение 3. Числовое множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. существует число такое, что для каждого выполнено условие или .

Определение 4. Пусть задано ограниченным сверху числовое множество . Число, обозначаемое символом , называется точной верхней гранью множества , если для каждого положительного, сколь угодно малого числа число не является верхней гранью множества .

Определение 5. Пусть задано ограниченным снизу числовое множество . Число, обозначаемое символом , называется точной нижней гранью множества , если для каждого положительного, сколь угодно малого числа число не является нижней гранью множества .

Теорема 1. Ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань. Ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань.

Доказательство. В силу симметрии достаточно доказать первое из этих утверждений. Пусть задано ограниченное сверху числовое множество . Рассмотрим записи в виде десятичных дробей всех чисел множества . Так как множество ограничено сверху, то среди целых частей чисел этого множества существует наибольшее целое число . Рассмотрим все числа множества , у которых целая часть равна . Если таких чисел конечное число, то среди них существует наибольшее, которое, очевидно, и является точной верхней гранью. Если таких чисел бесконечно много, то среди первых цифр после запятой у этих чисел существует наибольшая цифра . Рассмотрим все числа вида множества. Если таких чисел конечное число, то среди них существует наибольшее, которое, очевидно, и является точной верхней гранью. Если таких чисел бесконечно много, то среди первых цифр после запятой у этих чисел существует наибольшая цифра . Продолжая этот процесс, мы либо найдем наибольшее из этих чисел (это и будет точная верхняя грань), либо получим число , которое, как легко проверить, будет искомой точной верхней гранью заданного, ограниченного сверху, числового множества.

Лемма о вложенных отрезках. (Принцип вложенных отрезков Коши-Кантора или принцип непрерывности Кантора или теорема Кантора о вложенных отрезках) Для любой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна общая точка, принадлежащая всем отрезкам. Такая точка будет единственной, если длины отрезков стремятся к нулю.

Числовая последовательность

Определение 6. Числовой последовательностью называется множество вида . (1)

Возможна и другая запись числовой последовательности: . Последовательность может не числовой, например, функциональной . Последовательность – это счетное, упорядоченное множество.