Неклассическая логика и проблема

ЛОГИКА

ПРАКТИКУМ

МИНСК 2010

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ЛОГИКА

Практикум

для студентов специальности

1-08 01 01 «Профессиональное обучение»

и учащихся специальностей 2-40 01 01

«Программное обеспечение информационных технологий»,

2-40 02 02 «Электронные вычислительные средства»,

2-41 01 31 «Микроэлектроника»

МИНСК 2010

УДК 16(075)

ББК 87.4я7

Л69

Рекомендовано к изданию кафедрой социально-гумани-тарных дисциплин (протокол № 12 от 03.06.09 г.) и Научно-методическим советом Учреждения образования «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (прото-кол № 10 от 17.06.09)

С о с т а в и т е л ь

Н. В. Михайлова, зав. кафедрой социально-гуманитарных

дисциплин МГВРК, канд. филос. наук, доцент

Р е ц е н з е н т

В. Л. Александров, старший преподаватель кафедры

социально-гуманитарных дисциплин МГВРК

Логика: практикум для студентов специальности

Л69 1-08 01 01 «Профессиональное обучение» и учащихся спе-циальностей 2-40 01 01 «Программное обеспечение инфор-мационных технологий», 2-40 02 02 «Электронные вычис-лительные средства», 2-41 01 31 «Микроэлектроника» / сост. Н. В. Михайлова. – Мн. : МГВРК, 2010. – 80 с.

ISBN 978-985-526-056-2

Цель пособия – помочь студентам и учащимся в формирова-нии общего представления о законах мышления, приобретении практического навыка оперирования основными логическими формами, имеющими широкое прикладное значение.

Рекомендовано для учащихся, студентов и преподавателей колледжа.

УДК 16(075)

ББК 87.4я7

© Михайлова Н. В., составление, 2010

ISBN 978-985-526-056-2© Оформление. Учреждение образо-вания «Минский государственный высший радиотехнический кол-ледж», 2010

Предисловие

Настоящий практикум составлен в соответствии с программой дисциплины «Логика», преподаваемой в Минском государственном высшем радиотехническом колледже, для студентов специальности 1-08 01 01 «Профессиональное обучение» и учащихся специальностей 2-40 01 01 «Программное обеспечение информационных технологий», 2-40 02 02 «Электронные вычислительные средства», 2-41 01 31 «Микроэлектроника». В него включены практические работы по темам: «Понятия (имена)», «Суждения», «Высказывания», «Категорический силлогизм».

Цель практикума – помочь учащимся и студентам в усвоении и закреплении теоретического материала по дисциплине, формировании общего представления о законах мышления, выработке практического навыка оперирования основными логическими формами в применении к содержательным примерам, встречающимся в повседневной практике.

Особенностью данного пособия является вводная лекция по истории логики и ее связи с проблемами обоснования научного знания, которая читается на первом занятии. В каждой практической работе приводится теоретический материал по теме работы, разобрано решение типовых примеров, предложены 10 вариантов индивидуальных заданий. Обучаемый выбирает номер варианта, соответствующий последней цифре порядкового номера в учебном журнале группы. Этот вариант сохраняется за ним при выполнении всех практических работ.

Выполненная на занятии практическая работа представляется преподавателю для проверки. В результате проверки выставляется оценка по десятибалльной шкале. Итоги каждой практической работы анализируются на последующем занятии в учебной группе, где указываются недостатки, ошибки, а также наилучшие решения. Выполнение всех 4-х практических работ является обязательным для каждого учащегося и студента в группе. Оценки, полученные за практические работы, считаются определяющими при итоговой аттестации за весь курс по дисциплине «Логика».

ИСТОРИЯ ЛОГИКИ

И ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ

ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ

Классическая логика

Всегда было принято считать, что знание логики обязательно для образованного человека. Сейчас, в условиях коренного изменения характера человеческого труда, ценность такого знания возрастает. Свидетельство тому – стремительная информатизация всех видов человеческой деятельности, одной из теоретических основ которой является логика.

Логические операции – такие, как определение, классификация, доказательство, опровержение и тому подобное – применяются каждым человеком в его мыслительной деятельности. Но применяются неосознанно и нередко с погрешностями, без отчетливого представления обо всей глубине и сложности тех мыслительных действий, с которыми связан каждый, даже самый элементарный, акт мышления.

Подобно тому, как умение говорить существовало еще до возникновения науки грамматики, так и искусство правильно мыслить существовало задолго до науки логики. Исторически логика являлась частью философского знания, которое первоначально объединяло в себе совокупность знаний о мире, человеке и его мышлении. Впервые систематическое изложение логики было дано величайшим ученым и философом Древней Греции Аристотелем (384–322 до н. э.). Аристотель – отец европейской логической традиции. С его работ началось изучение логики и ее законов. Основными трудами Аристотеля по логике являются «Первая аналитика» и «Вторая аналитика», в которых изложены теория силлогизма, определения и деления понятий, теория доказательств. Законы правильного мышления (закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания) Аристотель изложил в своем главном трактате «Метафизика». В последствии логика Аристотеля получила название традиционной формальной логики.

Основными направлениями средневековой логики (VI–XV вв.) были проблемы модальной логики, анализ суждений, теория логического следования, теория семантических парадоксов.

В XV–XVI вв., то есть в эпоху Возрождения, происходит усиление эмпирических тенденций в логике и методологии научного знания. Этому способствовало бурное развитие науки, великие географические открытия, сближение науки с практикой, а логики с математикой. Английский философ-материалист Фрэнсис Бэкон (1561–1626), выступая против крайностей эмпиризма и рационализма, заложил основы индуктивной логики. В своем трактате «Новый Органон» он противопоставляет но-вую индуктивную логику формальной логике Аристотеля. Разработанные им методы определения причинной связи и в целом вопросы научной индукции впоследствии в XIX в. были дополнены исследованиями Джона Стюарта Милля и других логиков. Французский философ и ученый Рене Декарт (1596–1650) сформулировал четыре правила, которыми следует руководствоваться в научном исследовании.

Немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) различал два типа логики – формальную, изучающую формы мышления, отвлекаясь от их содержания, и трансцендентальную, которая исследует в формах мышления то, что сообщает знанию априорный характер. Согласно трансцендентальной логике, логи-ческое мышление, направленное на предметы опыта, дает достоверное и объективное знание. Именно Кант установил отличие логического основания и логического следствия от реальной причины и реального следствия. Другой представитель немецкой классической философии Георг Вильгельм Фридрих Гегель (1770–1831) критиковал формальную логику, и в частности Канта, с позиций идеалистической философии. Логика у Гегеля совпадает с диалектикой. Его по праву называют основателем диалекти-ческой логики, которую он изложил в трактате «Наука логики». В XVIII в. в России появляются оригинальные логические результаты. Существенный вклад в развитие логики внесли М. В. Ломоносов, П. С. Порецкий, Е. Л. Буд-ницкий, Н. А. Васильев.

Изучение логики и ее законов не прекращалось никогда, но в XX в. были достигнуты особенно впечатляющие результаты. В целом историю логики можно разделить на два основных этапа: первый продолжался более двух тысяч лет, в течение которых логика развивалась очень медленно; второй начался во второй половине XIX в., когда в логике стали систематично применяться математические методы. На смену аристотелевской, или традиционной, логике пришла современная логика, называемая также математической, или символической. Основоположником математической логики считается выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). С XVII в., когда алгебраические обозначения приняли свою окончательную форму, предпринимались попытки использования символических записей для выражения логических операций. Наиболее многообещающей из них была попытка Лейбница. Он стремился создать символическую логику для формализации языка и всего научного мышления в целом, чтобы безошибочно получать теоремы науки. Однако, несмотря на неудавшийся грандиозный замысел, гений Лейбница наметил философско-тео-ретический путь к решению современных задач компьютерной математики. За всю многовековую историю логики и математики неоднократно осуществлялись попытки создания идеального или универсального языка. Идея Лейбница состояла в том, чтобы решать споры с помощью вычислений на универсальном языке в подходящей символической системе. «Все можно вычислить!» – вот подлинный пафос его замысла. Всеобщая наука представляется ему как образ «философии истины», объемлющий все науки, мораль и искусство в форме универсальной математики. Трудность создания грандиозного проекта универсального языка, включающего универсальную символику и логическое исчисление, состоит в том, что это должен быть искусный язык, свободный не только от неточностей естественного языка, но и от неизбежных смысловых искажений слов. Одной из причин появления парадоксов теории множеств было то, что математический диалект естественного языка перестал удовлетворять требованиям компактности и удобства при записи формулировок теорем, а также при применении этих формулировок.

Лейбниц хорошо понимал, что никакой научный прогресс не сможет сделать человеческое познание совершенным. В силу самой природы человека оно ограничено, и поэтому не может охватить все бесконечное многообразие терминов и дефиниций. Однако из-за своей «ограниченности» человеческие знания, как истинные, так и ложные поддаются исчислению, поэтому Лейбниц мечтал об универсальном синтезе всей науки.

Неклассическая логика и проблема

Обоснования математики

Исследования проблемы обоснования математики, интенсивно проводимые в XIX в., не могли бы успешно развиваться без усилий, направленных на систематизацию тех частей логики, которые касаются сцепления математических выражений в их доказательную последовательность. Поэтому историю математической логики нельзя отделить от истории теории множеств и формализации математики. Например, развитие алгебры делало очевидной аналогию между правилами формальной логики и правилами алгебры. В логике издавна использовалось понятие множества, хотя и не подвергалось точному анализу. Раздел математики, в котором изучаются свойства множеств, называется теорией множеств. Возникновение и развитие теории множеств было связано с исследованием бесконечных множеств. Создателем этого раздела математики является немецкий ученый, математик Георг Кантор (1845–1918). Его учение о бесконечности основано на представлении о существенном различии между понятиями потенциальной и актуальной бесконечности, из которых первая означает переменную конечную величину, возрастающую неограниченно, тогда как вторая – фиксированную, постоянную величину, которая превосходит все конечные величины. Кантор отстаивал признание актуальной бесконечности, хотя многие математики отказывались принять бесконечность ина-че, как процесс, то есть как потенциальную бесконечность, выражаемую знаком «∞». Ученый назвал актуально бесконечные числа трансфинитными числами, то есть числами, находящимися за пределами конечного. Теория множеств Кантора была признана связующим звеном между логикой и математикой.

Важнейшим следствием переосмысления математического знания в конце XIX в. стало провозглашение ряда крупных философско-математических концепций и программ. Первой такой концепцией была теоретико-множественная программа Кантора. Он выдвинул идею актуальной бесконечности в качестве фундаментальной идеи своего учения, заложив, таким образом, основу для теоретико-множественного обоснования всей математики. В рамках теоретико-множественной программы все без исключения математические объекты должны были определяться как множества, удовлетворяющие определенным условиям, а рассуждения об этих объектах должны были проводиться по правилам аристотелевской логики. Последняя включает в себя закон исключенного третьего, а значит, метод рассуждения от противного и следовательно, доказываемые на его основе, принципиально неконструктивные «чистые» теоремы существования. Концепция Кантора построения всей математики на базе теории множеств была воспринята сначала с большой настороженностью, потом многими с восхищением, а затем она была подвергнута критике, отголоски которой слышны до сих пор. После работ Кантора математикам казалось, что их наука получила окончательное обоснование. Однако уже при жизни Кантора в теории множеств были обнаружены парадоксы (неразрешимые противоречия).

Разрешение парадоксов требовало переосмысления ряда принципиальных идей математики и отказа от некоторых старых концепций. Тогда возникают различные направления и школы, каждые из которых начинают по-своему решать вопросы обоснования математики. Указанные обстоятельства в значительной мере повлияли на философские взгляды Лейтзена Брауэра (1881–1966), голландского математика и логика, который выступил против теоретико-множественного обоснования математики. Свою методологическую программу Брауэр назвал интуиционистской. Именно ему неклассическая наука обязана выдающимся открытием, совершившим переворот в такой, казалось бы, незыблемой и устоявшейся науке, как логика. Брауэр обнаружил, что при интуиционистском подходе к его построениям закон исключенного третьего и метод от противного утрачивают традиционно приписываемый им статус общелогических норм. Именно ему неклассическая наука обязана открытием новой интуиционистской логики. После публикации диссертации Брауэра «Об основании математики» (1907) и статьи с полемическим названием «О недостоверности логических принципов» (1908) в математике и логике появилось новое направление - интуиционизм. Новая логика, по мнению Брауэра, интуитивно понятнее, чем классическая, поскольку описывает математические утверждения не как абстрактную истину и ложь, а как предложения о возможности выполнить некоторое «умственное построение». Брауэр высказал сомнение в том, что законы классической логики имеют абсолютную истинность.

Математическое доказательство в контексте интуиционизма состоит из соответствующего конструктивного построения с помощью эффективных методов и его обоснования. По мнению философа математики В. Я. Перминова, суть проблемы бесконечности в том, что человек практически не имеет дела с бесконечностью, а, следовательно, и не может мыслить о беско-нечности, не теряя достоверности. Поскольку адекватных понятий для выражения новых методологических идей в европейской науке в те времена еще не было выработано, например, тогда не существовало точного понятия алгоритма, то Брауэр сослался на интуицию, как «инструмент» понимания новых математических сущностей. Учитывая роль конструкций в предлагаемой модификации математики и логики, он употреблял также и другое название - конструктивная логика и математика. Затем эти термины разошлись, в частности конструктивизмом стали характеризовать направление в математике, отдающее приоритет понятию задачи и конструкции, а не истины и обоснования. С точки зрения интуиционизма, некоторые объекты математики и математические операции ясны во всех своих свойствах. Здесь можно проследить связь с философией Канта, его теорией «чистого созерцания», универсального и непогрешимого.

Важно заметить, что в классической логике и математике понятия «утверждение» и «отрицание» хорошо дополняют друг друга, в том смысле, что отрицание истины есть ложь, а отрицание лжи есть истина, в результате чего двойное отрицание возвращает все на исходную позицию. Но, по Брауэру, отрицание определяется не как невозможность построения объекта, а как доказательство абсурдности самого предположения о возмож-ности существования этого объекта. В таком понимании заключается принципиально неклассический подход по отношению к классической дихотомии истинности и ложности. Основное отличие такого подхода в том, что утверждение существования конструкции предполагает потенциально осуществимый процесс построения этой конструкции. В интуиционизме Брауэра закон исключенного третьего экстраполирован на бесконечные совокупности, исходя из его понимания в конечных ситуациях, а многие свойства конечных множеств не выполняются для бесконечных множеств, например, такое, что всякая собственная часть некоторого целого меньше этого целого. Также применение закона исключенного третьего к конечным множествам с большим числом элементов может привести к неконструктивным доказательствам существования. Да и философская трактовка бесконечного для нас всегда окрашена пафосом непонятного и неизвестного, как говорил философ Мераб Мамардашвили, «человек есть существо, больное бесконечностью».

Другие логики и математики искали пути преодоления возникших трудностей, пытаясь приспособить построение логических формализмов к математической науке. Одним из первых среди них был основоположник логицизма, немецкий математик и логик Готлоб Фреге (1848–1925), который ввел в логику пере-менные величины и кванторы (особые логические операторы). Именно Фреге ориентировал логику на анализ оснований математики. В частности, с помощью символической логики он стре-мился обосновать арифметику. Фреге предпринял попытку свести математику к логике, продолжив тем самым замысел Лейбница. Но символические обозначения, введенные Фреге, были очень громоздкими и потому не получили в дальнейшем широкого распространения. К тому же оказалось, что построенная им система обоснования математики, названная логицизмом, содержит противоречия.

В то же время в качестве средства преодоления трудностей, обнаружившихся в теоретико-множественной программе Кантора, создавалась теория доказательств Давида Гильберта. Мы помним, что Брауэр, подвергший критике не только антиномии, но и всю теорию множеств в целом, предложил возводить математику на базе умственных математических построений, показав, что для их рассмотрения требуется применять особую интуиционистскую логику, в которой ни закон исключенного третьего, ни закон снятия двойного отрицания не могут претендовать на роль универсальных логических принципов. Однако многие математики признавали, что критерий «интуитивной ясности» интуиционистов сам не является интуитивно ясным, а значит не может быть достоверным. Пытаясь вернуть математике абсолютно достоверный характер, Гильберт выбрал новый путь для решения проблем обоснования. Из идеи, что само доказательство должно стать объектом логико-математического исследования, появилась идея метаматематики, или теория доказательств. Программа перестройки оснований математики, предложенная Гильбертом, состояла из двух дополняющих друг друга задач. Решение одной из них предполагало довести до конца процесс аксиоматизации математики, точнее представить существующую математику в виде формальной теории на основе «очищенной» от парадоксов теории множеств. Таким образом, впервые была поставлена задача формализации классической математики с помощью уточнения понятий математического языка и логического вывода. Другая задача представляла собой радикально новое в то время предприятие - доказать непротиворечивость полученной всеобъемлющей теории. Целью программы Гильберта было окончательное решение всех проблем в обосновании с помощью чисто математических средств. Давид Гильберт надеялся, что доказательство полноты и непротиворечивости удастся найти с помощью финитных (конечных) методов рассуждения, признаваемых большинством математиков. Гильберт противостоял попыткам ограничения математики устоявшимися методами, выступая в защиту свободы творчества в математике. Он критиковал интуиционистов за то, что, пытаясь «спасти математику» и выбрасывая за борт все, причиняющее им беспокойство, они могли потерять большую часть «самых ценных сокровищ».

Именно эта математическая цель - доказательство правильности всех математических методов путем использования лишь нескольких из них - занимала умы многих великих математиков в первое тридцатилетие XX столетия. И только в начале прошлого века, точнее в 1931 г., Курт Гёдель, австрийский математик и логик, опубликовал свою знаменитую работу, подорвав-шую методологические основы гильбертовой программы. Сов-местная работа математиков и логиков в теории доказательств показала, что особенно сильно они заблуждались именно в тех разделах математики, где, казалось бы, у них не было разногласий. Эта проблема обнаружилась в связи с работой по конкретной реализации теоретико-доказательственной программы Гиль-берта. Полученные результаты в математической логике, а имен-но теоремы Гёделя о неполноте, ограничивают достижение целей, выдвинутых в классических программах обоснования, хотя в целом не подрывают основной идеи обоснования непротиворечивости математики. Гёделевская теорема не покушалась на идею формализации, но при этом убедительно продемонстрировала, что любая формальная система должна быть более всесторонней и богатой выразительными средствами, чем это предусматривала гильбертовская программа формализации. Любая полностью фор-мализованная логическая система, по Гёделю, должна содержать, по крайней мере, одну антиномию. Согласно теореме Гёделя о неполноте, любое недоказанное утверждение может в принципе быть недоказуемым. Поэтому нельзя быть уверенным в том, что формальная система правильно выражает математические мысли.

В ХХ в. классические исследования польского математика Альфреда Тарского показали, что естественный язык и обычная двузначная логика уже образуют противоречивую систему, поскольку в двузначной логике из противоречия может следовать все что угодно. Так, в естественном языке есть, например, классический парадокс лжеца, один из нематематических парадоксов, пользующийся наибольшей известностью. Тарский отмечал, что парадокс лжеца вместе с некоторыми противоречиями, открытыми на рубеже XX в., все еще анализируется и обсуждается, оказывая существенное влияние на развитие современной логики. Математики фундаменталистского направления не хотят отказываться от законов аристотелевской логики по причине их простоты, и несмотря ни на что, образуют экзистенциальные суждения и продолжают пользоваться законом исключенного третьего.

Логицизм Фреге, интуиционизм Брауэра, формализм Гильберта и другие концепции внесли существенный вклад в развитие современной им философской мысли, но удовлетворительного решения проблемы «единообразного» построения математики они не дали. Одним из наиболее влиятельных направлений в современной философии математики является структурализм, согласно которому математика говорит не об отдельных математических объектах, а о структурах. Негативная реакция на теорию множеств, как «основу всех основ», проявляется в требовании большей гибкости самой конструкции теории множеств. С этой точки зрения, «математический мир» наполнен не элементами, по отдельным свойствам которых образуются множества, а структурами и категориями с образующими их свойствами. Однако до сих пор отсутствует содержательное исследование структуры всего «математического универсума».

Всегда существовало и существует глубокое различие между тем, что можно сделать в математической теории в принципе, и тем, что можно реализовать на практике. Поэтому принципиально новые подходы к уже известным понятиям могут существенно расширить границы практических возможностей применения логического и математического формализма. Например, квант теории информации - это бинарная единица, или бит, который является посланием, предоставляющим выбор: да или нет, ноль или единица. Одной из важнейших особенностей современной прикладной математики и математизируемых областей знания является использование понятий, которые с точки зрения «чистой» математики не являются однозначно определенными, то есть это размытые и нечеткие понятия. Проблема «снятия» неопределенностей важна и с точки зрения развития современных компьютерных технологий. Неопределенность можно трактовать в контексте дополнительных понятий как недостаток информации о некотором явлении и как свойство самой информации. Центральным звеном компьютерных технологий является субъект познания - человек, а ему присущи психологические и физиологические характеристики, которые в своем большинстве им не осознаются. Тем не менее, человеческий мозг способен на эффективное абстрагирование даже в том случае, когда соответствующая задача не сформулирована математически корректно. Предельное огрубление человеческой логики и излишняя ее конкретизация может оказаться тупиковым направлением в логике искусственного интеллекта. Это одна из причин внимания к проблеме статуса нечеткости в логике, а также к многозначным и нечеткозначным логикам в научных работах по искусственному интеллекту.

Преодолеть противоречие между формализмом и интуиционизмом пытался известный американский ученый Лотфри Заде (1921). Он разработал свою теорию нечетких множеств, для которой потребовалась новая нечеткая логика. Практическая цель – исследования по проблеме искусственного интеллекта. Например, в интуиционизме логики и математики не только опираются на существенную неполноту имеющихся знаний, но и стремятся использовать эту недоопределенность как положительный фактор. Как специалист в области теории управления Лотфри Заде считает, что нечеткость, присущая процессу мышления человека, наводит на мысль о том, что в основе этого процесса лежит не традиционная двузначная или даже многозначная логика, а логика с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода. При таком подходе происходит изменение операций и отношений между множествами и возникает некоторая новая многозначная, точнее бесконечнозначная, логика, обобщающая обычную двузначную.

Несмотря на значительные математические достижения, в начале XXI в. решение проблемы логических парадоксов осталось столь же недосягаемым для современной математической логики, как и в начале XX в. И все же основную трудность в стремлении теории множеств быть достаточно надежным фундаментом современной математики представляют не ее парадоксы и даже не то, что гильбертовская программа ее реабилитации осталась нереализованной. Это проблема отсутствия в канторовской теории множеств ясного, четкого определения ее основного понятия «множество» и расплывчатости границы между теоретико-множественным языком науки и естественным языком общения. Наиболее плодотворные периоды обоснования математики проходили при обращении к философским вопросам онтологии и теории познания. Проблемы обоснования математики, в этом смысле, наиболее яркий пример взаимодействия точной науки и философии. Математике изначально присуща фундаментальная двойственность: с одной стороны, ее суждения выглядят как абсолютно достоверные, а с другой стороны, ее объекты не существуют как предметы внешнего мира или как внутренние ощущения. Исторически решение этих проблем и привело к формированию оснований математики - дисциплины со специфическим объектом исследования и специфическим рабочим аппаратом математической логики. В этом смысле, с точки зрения теории познания, основания математики представляют собой некоторый точный фрагмент ее методологии. Поэтому вопросы оснований математики все еще занимают значительное место в философии математики, поскольку некоторые из этих вопросов имеют важные последствия для развития логики.

В конце XX в. стали намечаться новые пути развития математики, и обращение к ее ретроспективе является одним из средств осмысления путей ее дальнейшего развития. Анализ природы интеллектуальной деятельности в любой области знания - одна из труднейших философских задач. Обсуждать на нематематическом уровне специфику интеллектуальной деятельности в области математики труднее, чем заниматься ею непосредственно. Исследование актуальных проблем философии математики предполагает соответствующую профессиональную подготовку, а также некоторую эрудицию, выходящую за рамки философии науки как теории познания. Философия, подобно математике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику, но в отличие от стандартов обоснования, принятых у математиков, стандарты аргументации философов сильно различаются даже во взглядах на одну и ту же проблему. Кроме того, в связи с появлением математической логики, как части математики, логика больше не является только областью философии. Современная методология обос-нования математических теорий опирается на онтологическое различие математических структур, существенно учитывая при этом их логические и внелогические степени обоснованности.