Область применение двоичных функций

Позволяя моделировать логику человеческого мышления, двоичные функции составляют основу любого математического аппарата или формальной теории, связанных с изучением и автоматизацией таких аспектов интеллектуальной деятельности как организации вычислительных процессов, процессов управления, процессов записи, хранения, распознавания или передачи информации. Вместе с тем, говоря о практической стороне применения двоичных функций, необходимо сделать ряд замечаний.

Интерпретация логической переменной в виде «истинного или ложного утверждения» в общем случае представляет собой математическую абстракцию, т.к. описываемые с помощью переменных реально существующие процессы или явления окружающего мира, как правило, определены на множествах произвольной природы, содержащих более 2-х значений.

Функциональное соответствие с областью определения на произвольном множестве и областью значений из множества называется предикатом. Понятие предиката является обобщением понятия функции алгебры логики в части области определения. Например, одноместный предикат "X – число кратное 3" имеет в качестве области определения все множество целых чисел; двухместный предикат "X<Y" определен на вещественной плоскости.

Предикат, принимающий значение I, интерпретируется в логике как истина. Множество элементов из области определения, на которых Р(х)=1 называется областью значимости предиката Р . Если область значимости охватывает всю область определения, то предикат называется общезначимым или законом.

Переменные в предикате могут быть связаны кванторами всеобщности и существования. Например, обозначает что "для любого X справедливо, что Р(х) ", обозначает "существует Х, что справедливо Р(х) ". Предикатная переменная, стоящая под знаком предиката, называется связанной. Предикат, в котором все переменные – связанные, является утверждением. Например, «для любого X справедливо, что X – число кратное 3» - ложь, а «существует Х, что справедливо X – число кратное 3» - истина.

Предикат с конечной областью определения, состоящей из не более чем К элементов, может быть представлен двоичной функцией от переменных.

Для этого достаточно

1. перенумеровать все элементы области определения предиката,

2. сопоставить каждому элементу один из наборов определения двоичной функции,

3. присвоить представляющей предикат функции соответствующие элементам области определения значения.

Например, одноместный предикат "X – число кратное 3" для Х<8, может быть представлен двоичной функцией равной 1 на наборах, номера которых в двоичном выражении кратны 3

Х	P(X)

Аналогично, целая функция с конечной областью значений, состоящей из М элементов, может быть представлена векторным предикатом, включающим компонент. Для этого достаточно перенумеровать все значения функции, сопоставив каждой из компонент вектора предиката задачу формирования определенного разряда в номере результата. Если к тому же исследуемая целая функция обладает конечной областью значений, то она (согласно предыдущим построениям) может быть представлена векторной двоичной функцией от векторного аргумента Например, целая функция «целое частное от деления Х на 3» для Х<8, может быть представлена двумя двоичными компонентами, отображающими в двоичном виде значение «целого частного».

Х	R(X)

Область применения двоичных функций ограничивается конечными объектами. Так предикат, определенный на бесконечных множествах (например, предикат "X<Y") представляет собой математическую конструкцию, не воспроизводимую двоичными функциями.

Применение, двоичных функций также ограничивает однократность их действия. В самом деле, результат, формируемый с помощью любой двоичной функции определяется исключительно исходными данными. Т.о. с помощью двоичных функций нельзя решать задачи, в которых результат зависит от хода решения. Например, нельзя представить двоичную функцию, которая бы формировала поэтапно образующийся (накопительный) результат, т. к. для осуществления этих целей потребуется запоминание промежуточных данных. Решения задач такого рода предполагает наличие более общего, чем функции алгебры логики механизма - алгоритмов.

Основы теории алгоритмов