Еревод чисел из одной системы в другую
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
истемы счисления
еревод чисел из одной системы в другую
рифметические действия над числами в двоичной, восьмиричной и шестнадцатиричной системах счисления
2.4. Представление чисел в ЭВМ
перации над числами с плавающей запятой
3. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение арифметических и функциональных основ действия ЭВМ.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
истемы счисления
Система счисления - совокупность правил, символов и знаков, употребляемых для изображения чисел.
Разделяют системы счисления позиционные и непозиционные. Непозиционная система счисления задается перечислением изображаемых в ней значений. Позиционная система счисления характеризуется основанием и тем, что числа, как правило, представляются несколькими разрядами (являются многоразрядными), а вес любого разряда определяется его позицией в числе.
Oснование позиционной системы счисления определяет количество различных цифр (символов), допустимое в системе счисления. Это же число определяет, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.
В ЭВМ используется только позиционные системы счисления.
Основной характеристикой любой системы счисления является ее основание, которое в дальнейшем обозначается буквой q.
Основанием системы счисления называется число, показывающее, во сколько раз изменяется значение одинаковой цифры при перестановке ее на соседнюю позицию (в десятичной - в десять раз, в восьмиричной - в восемь раз и т.д.).
В современных ЭВМ используются десятичная, двоичная, восьмиричная и шестнадцатиричная системы счисления.
Развернутое представление числа в позиционной системе счисления имеет вид:
где А(q) ‑ произвольное число в системе с основанием q;
‑ цифры системы счисления;
n + m ‑ количество целых и дробных разрядов вместе.
Каждый разряд в позиционной системе имеет вес, который показывает во сколько раз единица данного разряда больше или меньше единицы нулевого разряда:
В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Предположим, длина разрядной сетки равняется числу n. Тогда максимальное число определяется по формуле:
а минимальное число определяется по формуле:
Диапазон представления чисел в ЭВМ зависит от длины разрядной сетки.
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Для записи различных чисел в этой системе счисления используется десять цифр (0-9). Применяется для записи исходных числовых данных, промежуточных и окончательных результатов счета.
Любое десятичное число можно представить в виде сумм произведений степеней числа 10 на соответствующие коэффициенты, относящиеся к определенным разрядам числа: единицам, десяткам, сотням и т.д.
Например, десятичное число 372,45 можно записать в виде:
372,45=3*102+7*101+2*100+4*10-1+5*10-2
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - основа для ЭВМ. Во всех ЭВМ арифметические операции выполняются над числами, представленными в двоичной системе счисления, в которой для записи любого числа используются две цифры: 0 и 1.
Основанием двоичной системы является число 2, которое записывается как 10 (читается: один-нуль), число три записывается как 11 (один-один), число четыре - 100 (один-нуль-нуль) и т.д.
В двоичной системе счисления единица с переходом в соседний разряд изменяется в два раза. В развернутом виде двоичное число записывается в следующем виде:
1010111,11=1*26+0*25+0*24+0*23+1*22+1*21+1*20+1*2-1+1*2-2
Двоичная система счисления является наиболее простой из всех позиционных систем счисления. Преимущества этой системы выражаются в следующем:
· простота выполнения арифметических и логических операций, что влечет за собой простоту устройств, реализующих эти операции, так как используется минимальное количество цифр (0 и 1), что позволяет применять в ЭВМ элементы, обеспечивающие 2 различных устойчивых состояния (включено или выключено, есть импульс или нет, высокое или низкое напряжение в цепи);
· возможность использования аппарата алгебры логики (булевой алгебры) для анализа и синтеза операционных устройств ЭВМ.
Недостатком данной системы является то, что запись числа гораздо длиннее, чем в десятичной системе счисления, примерно в 3,3 раза.
ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Для записи чисел используется 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Основание записывается комбинацией двух цифр - 10 "восемь" (q=8).
Любое число в этой системе счисления представляется последовательностью цифр от 0 до 7 включительно.
Например, восьмиричное число 247 в десятичной системе счисления изображается в виде 167:
247(8) = 2*82+4*81+7*80 = 128+32+7 = 167(10)
ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ используется при программировании (написании программ на машинном языке), для записи кодов операций, адресов команд и др. Она позволяет записывать адреса команд в более короткой и удобной записи, чем в двоичных кодах. Эта система с основанием 16 использует 10 цифр (0-9) и 6 заглавных букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F) для записи десятичных цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Для этой системы q = 16(10) = 10(16). В развернутой записи число имеет следующий вид:
DAC5E(16) = 13*164+10*163+12*162+5*161+14*160 = 855054(10).
Для того чтобы знать, в какой системе счисления записано определенное число, принято указывать десятичный индекс системы.
Например: 746(8), 1011(2), 365(10), А7D(16).
Эквиваленты десятичных (q=10) чисел в двоичной (q=2), восьмиричной (от 0 до 16) и шестнадцатиричной системах счисленияследует запомнить (смотри таблицу 1).
еревод чисел из одной системы в другую
ДЛЯ ПЕРЕВОДА ЦЕЛОГО ЧИСЛА N, представленного в системе счисления с основанием R, в систему с основанием Q необходимо данное число делить на основание Q по правилам системы с основанием R до получения целого остатка, меньшего Q. Полученное частное снова необходимо делить на основание Q до получения нового целого остатка, меньшего Q, и т.д., до тех пор, пока последнее частное будет меньше Q. Число N в системе с основанием Q представится в виде не упорядоченной последовательности остатков деления в порядке, обратном их получению (иными словами, старшую цифру числа N дает последнее частное).
Таблица 1
| q=10 | q=2 | q=8 | q=16 |
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F | |||
Примеры:
Перевести целые десятичные числа А(10) = 22 в двоичную систему счисления и В(10) = 8625 в шестнадцатиричную систему счисления.
 | ||||
направление записи
22(10) =10110(2)
 48 | |||
направление записи
8625(10) =21В1(16)
ПЕРЕВОД ПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ, представленной в системе с основанием R, в систему с основанием Q заключается в последовательном умножении этой дроби на основание Q по правилам системы счисления с основанием R, причем перемножают только дробные части. Дробь N в системе с основанием Q представляется в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. (Иными словами, старший разряд является первой цифрой произведения). Количество последовательных произведений определяет количество цифр в полученном числе.
Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7243.
Основание исходной системы счисления R=10. Основание новой системы счисления Q=2.
Согласно приведенного правила исходное число 0,7243 надо умножать на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с). Выполним серию умножений до получения, например, шести цифр в двоичном числе:
Искомые цифры дроби:
0,7243 * 2 = 1,4486 1 -> старшая цифра
0,4486 * 2 = 0,8972 0
0,8942 * 2 = 1,7944 1
0,7944 * 2 = 1,5888 1
0,5888 * 2 = 1,1776 1
0,1776 * 2 = 0,3552 0
0,3552 * 2 = 0,7104 0
Искомое представление число 0,7243 в двоичной системе счисления -> 0,101110.
Обратите внимание, что для получения шести цифр дроби выполнено семь умножений.Это связано с необходимостью выполнить округление, чтобы представить дробь заданной длины более точно.
Из последнего примера, конечная дробь в одной системе счисления может стать бесконечной в другой. Это утверждение справедливо для всех случаев, когда одна система счисления не может быть получена возведением в целую степень основания другой.
ПЕРЕВОД СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ. Оба описанные ранее правила используются совместно, т.е. целая часть числа переводится по первому правилу, а дробная - по второму, и затем каждая часть числа записывается на своем месте.
Пример:Перевести десятичное число А (10) = 22,125 (10) в двоичную систему счисления.
А(10) = 22 (10) = 10110 (2); А(10) = 0,125 (10) =0,001(2);
А (10) = 22,125 (10) =10110,001(2).
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ И НАОБОРОТ. Выполняется тетрадами (16=24). Тетрада - четырехразрядное двоичное число. При переводе в двоичную систему счисления каждый шестнадцатиричный символ записывается соответствующей тетрадой согласно таблицы 2.
Таблица 2
| Q=10 | ||||||||
| Q=16 | ||||||||
| тетрада | ||||||||
| Q=10 | ||||||||
| Q=16 | A | B | C | D | E | F | ||
| тетрада |
Примеры:
5C3F(16) = 101 1100 0011 1111(2)
9А7,D3(16) = 1001 1010 0111, 1101 0011(2)
т.е. необходимо заменить соответствующими группами из четырех двоичных чисел каждую шестнадцатиричную цифру и все незначащие (стоящие перед самой первой единицей в числе) нули опустить. Порядок записи для целого числа - справа налево, а для дробного ‑ наоборот. При переводе из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную необходимо двоичное число разбить на тетрады (группы по четыре двоичные цифры, см. таблицу 1), причем для целой части выделение следует выполнить справа налево от запятой, а для дробной - слева направо, и каждую тетраду записать соответствующей ей шестнадцатиричной цифрой. Если самая левая группа целой части неполная, то она дополняется нулями. Аналогично поступают и с самой правой группой дробной части.
Пример:
1 0101 1101 0111 , 1011 011(2) перевести в q16
0001 0101 1101 0111 , 1011 0110(2) = 15D7,B6(16)
Число в восьмиричной системе счисления легко представить, зная его эквивалент либо в двоичной, либо в шестнадцатиричной системе счисления.
Для этого число, представленное в двоичной системе счисления, необходимо разбить на триады(группы, содержащие три бита, см. таблицу 1), а если число задано в шестнадцатиричной системе счисления, его представляют в двоичной системе счисления тетрадами и выполняют аналогичную операцию.
Примеры:
1447(10) = 5A7(16)
5А7(16) = 0101 1010 0111(2) = 010 110 100 111(2)
5А7(16) = 2 6 4 7 (8)
8,8(10) =1000,1100 1100 1100(2) = 
001 000,110 011 001 100(2)
8,8(10) = = 1 0 , 6 3 1 4(8)
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ. Числа из любой системы счисления в десятичную переводятся по формуле развернутой записи числа, т.е. в виде суммы парных произведений числа на основание системы счисления и соответствующие коэффициенты.
Примеры:
А(2) =11101,11(2) = 1*24+1*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2 =
= 16+8+4+1+1/2+1/4 = 29,75(10)
А(16) =А2С,8(16) =10*162+2*16+12+8/16 =2560+32+12+0,5 = 2544,5(10).
Операции выполняются по правилам десятичной арифметики.