Раздел 3. силлогистические выводы
ПОНЯТИЕ АТРИБУТИВНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Логическая теория имен находит применение в разделе логики, который называется силлогистикой (от греч. sillogistikos – выводящий умозаключение).
В силлогистике рассматриваются выводы на основе атрибутивных высказываний. Атрибутивным(от лат. atributum – присовокупление) называется высказывание, в котором выражается принадлежность или непринадлежность свойства некоторым предметам.
Структура атрибутивного высказывания:
Субъект (обозначается буквой S) – это часть высказывания, которой обозначается предмет мысли.
Предикат (обозначается буквой P) фиксирует свойство предмета мысли.
Связкаустанавливает, в каком отношении находятся между собой предмет и свойство.
Субъект и предикат называются терминамиатрибутивного высказывания.
Всякое атрибутивное высказывание имеет качественно-количественные характеристики. Различение атрибутивных высказываний по качеству производится в зависимости от характера связки, указывающей на наличие или отсутствие связи свойства с предметом мысли и выражающейся словами «есть», «суть», «является», «не является» и др. (в письменной речи эти слова иногда опускаются и заменяются тире). В соответствии с этим атрибутивные высказывания делятся на утвердительные и отрицательные.
В атрибутивном высказывании что-то утверждается или отрицается либо об одном предмете, либо о части предметов, либо о всех предметах определенного класса. В зависимости от этого атрибутивные высказывания делятся по количеству – на единичные, частные и общие.
Высказывания, в которых идет речь о принадлежности или непринадлежности свойства единичному предмету, называются единичными.
Высказывания, в которых говорится о принадлежности или непринадлежности свойства некоторым предметам рассматриваемого класса, называются частными.
Высказывания, в которых выражается принадлежность (непринадлежность) свойства всем предметам рассматриваемого класса, называются общими.
Объединенная классификация атрибутивных высказываний по качеству и количеству.
Высказывания, являющиеся одновременно общими и утвердительными, называются общеутвердительными. SaP
Высказывания, являющиеся одновременно частными и утвердительными, называются частноутвердительными. SiP
Высказывания, являющиеся одновременно общими и отрицательными, называются общеотрицательными. SeP
Высказывания, являющиеся одновременно частными и отрицательными, называются частноотрицательными. SoP
Распределенность терминов в атрибутивном высказывании
Термин распределен, если и только если его объём полностью включается в объём другого термина или полностью исключается из него. В противном случае термин нераспределен. Для распределенного термина характерно кванторное слово «все», а для нераспределенного – «некоторые» (см. таблицу ниже).
Таблица
| S | P | |
| SaP | + | - |
| SeP | + | + |
| SiP | - | - |
| SoP | - | + |
Таким образом, распределенными являются субъекты общих и предикаты отрицательных высказываний, а нераспределенными – субъекты частных и предикаты утвердительных высказываний (за некоторыми исключениями).
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СХЕМАМИ АТРИБУТИВНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Между схемами SaP, SeP, SiP, SoP с одними и теми же терминами (и, следовательно, между самими высказываниями, соответствующими этим схемам), возможны следующие отношения: отношение противоречия (контрадикторности); отношение противности (контрарности); отношение частичной совместимости (подпротивности, подконтрарности); отношение подчинения (следования).
Эти отношения принято изображать в виде особой диаграммы, которая называется логическим квадратом. Его стороны и диагонали указывают на соответствующие отношения (см. рис 15).
Две схемы находятся в отношении противоречия, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными. Это отношение имеет место между схемами общеутвердительных (SaP) и частноотрицательных (SoP) высказываний, а также между схемами общеотрицательных (SeP) и частноутвердительных (SiP) высказываний.
Две схемы находятся в отношении противности, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.
Две схемы находятся в отношении подпротивности (частичной совместимости), если и только если им соответствуют высказывания, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть одновременно ложными. В отношении подпротивности находятся схемы частноутвердительных (SiP) и частноотрицательных (SoP) высказываний.
Две схемы находятся в отношении подчинения (первая подчиняет вторую, или из первой следует вторая), если и только если всякий раз, когда первой соответствует истинное высказывание, второй также соответствует истинное высказывание, но не обязательно наоборот. В отношении подчинения находятся схемы общеутвердительных (SaP) и частноутвердительных (SiP) высказываний, с одной стороны (из схемы «Все S суть P» следует схема «Некоторые S суть P») и схемы общеотрицательных (SеP) и частноотрицательных (SoP) высказываний, с другой стороны (из схемы «Ни одно S не есть P» следует схема «Некоторые S не суть P»).
Если же высказывание подчиненной схемы ложно, то ложным является и высказывание схемы подчиняющей.
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СИЛЛОГИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ
Cиллогистика – это теория дедуктивного вывода, построенного на основе высказываний вида SaP, SeP, SiP, SoP. Выводы в силлогистике подразделяются на непосредственные и опосредованные.
Вывод, в котором заключение получается из одной посылки, называется непосредственным. К непосредственным выводам относятся: вывод по логическому квадрату, обверсия, конверсия, контрапозиция.
Выводы по логическому квадрату. Руководствуясь отношениями, фиксируемыми диаграммой, которая называется логическим квадратом, и определением отрицания в логике высказываний, можно сформулировать следующие правила вывода:
а) в соответствии с отношением противоречия –
б) в соответствии с отношением противности –
в) в соответствии с отношением частичной совместимости –
г) в соответствии с отношением подчинения (следования) –
Обверсия (лат. – превращение) – непосредственный вывод, в процессе которого предикат посылки заменяется на противоречащеё ему имя (Р¢ )[2] и изменяется её качество, т.е. утвердительная посылка заменяется на отрицательную и наоборот. При этом могут быть использованы следующие схемы:
Конверсия (лат. – обращение) – непосредственный вывод, в заключении которого субъектом является предикат, а предикатом – субъект исходного высказывания-посылки. Это означает, что при конверсии происходит преобразование атрибутивных высказываний путем перестановки S и P местами. Качество посылки при этом остается неизменным.
Первые из двух правил называются правилами конверсии обычной, или конверсией без ограничения, при которой происходит преобразование общей посылки в общее заключение и преобразование частной посылки в частное заключение.
Вывод по третьему правилу называется конверсией с ограничением, поскольку здесь общая посылка преобразуется в частное заключение.
Контрапозиция (лат. – противопоставление) являются операцией, производной от обверсии и конверсии. При полной контрапозиции заключение имеет то же качество, что и посылки. Частичная контрапозиция ведет к заключению, качество которого отлично от качества посылки.
Частичная контрапозиция – вывод, при котором в заключении субъект выражается именем, противоречащим предикату посылки, а на место предиката становится её субъект; при этом посылка изменяет свое качество. Частичную контрапозицию можно осуществить путем последовательного применения превращения и обращения. Высказывание вида SiP посредством контрапозиции не преобразуется.
ПРОСТОЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ, ЕГО СТРУКТУРА
Вывод, в котором заключение получается из двух или более посылок, называется опосредованным. Важнейшей формой опосредованного вывода является простой категорический силлогизм (от греч. sillogismo сосчитывание) - вывод, в котором из двух высказываний форм SaP, SeP, SiP или SoP, связанных общим термином, делается заключение также одной из этих форм.
Структура простого категорического силлогизма:
Термин, соответствующий субъекту заключения, называется меньшим термином.
Термин, соответствующий предикату заключения, называется большим термином.
Меньший и больший термины называются крайними терминами, они обозначаются соответственно буквами S и P.
Общий термин, присутствующий в обеих посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним. Его принято обозначать буквой M (лат. medio – средний).
Посылка, в которой находится меньший термин, называется меньшей посылкой. Посылка, в которой находится больший термин, называется большей.
КРУГИ ЭЙЛЕРА КАК СРЕДСТВО ПРОВЕРКИ ПРАВИЛЬНОСТИ СИЛЛОГИЗМОВ
Между посылками и заключением правильного силлогизма имеет место отношение следования, то есть не бывает так, что посылки истинны, а заключение ложно. Связь между S и P в заключении устанавливается однозначно и необходимым образом благодаря схеме, в которой воплощено содержательное рассуждение.
Рассмотрим это на нашем примере. Приведенное рассуждение имеет форму
 |
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПРОСТОГО КАТЕГОРИЧЕСКОГО СИЛЛОГИЗМА
Обобщение самых разнообразных отношений между терминами в традиционной логике дало возможность сформулироватьосновные правила простого категорического силлогизма.
1. В простом категорическом силлогизме должно быть только три термина. Наиболее распространенная ошибка, связанная с нарушением этого правила, носит наименование «учетверение терминов».
2. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. При его нераспределенности отношение между терминами в посылках не обусловливает определенного, одного единственного, отношения между S и P в заключении.
3. Термин (крайний), не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении. Связанная с нарушением этого правила ошибка называется «незаконное расширение крайнего термина».
4. Из двух утвердительных посылок делается утвердительное заключение.
5. Из двух отрицательных посылок нельзя делать заключения.
6. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным.
ФИГУРЫ ПРОСТОГО КАТЕГОРИЧЕСКОГО СИЛЛОГИЗМА И ИХ ПРАВИЛА
Проверка правильности рассуждений может быть упрощена с помощью фигур простого категорического силлогизма. По месту расположения среднего термина различают четыре фигуры.
В первой фигуре средний термин является субъектом в большей посылке и предикатом в меньшей.
Во второй фигуре средний термин является предикатом в обеих посылках.
В третьей фигуре средний термин является субъектом в обеих посылках.
В четвертой фигуре средний термин является предикатом в большей посылке и субъектом в меньшей.
Различные расположения терминов в посылках можно изобразить в виде следующих схем:
Каждая фигура имеет свои правила, соблюдение которых является необходимым (но не достаточным) условием для получения истинного заключения из истинных посылок.
Правила первой фигуры:
1. Большая посылка должна быть общей.
2. Меньшая посылка должна быть утвердительной.
Правила второй фигуры:
1. Большая посылка должна быть общей.
2. Одна (и только одна) из посылок должна быть отрицательной.
Правила третьей фигуры:
1. Меньшая посылка должна быть утвердительной.
2. Заключение должно быть частным.
СОКРАЩЕННЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ
Для интеллектуально-речевой деятельности используются выражения с пропущенными, но подразумеваемыми частями. К таким выражениям относятся энтимемы (от греч. en time – в уме), – сокращенные силлогизмы, в которых опускается одна из посылок или заключение.
Методика восстановления и оценки энтимемы на её состоятельность состоит из следующих шагов:
1.Энтимема записывается в стандартном виде: имеющиеся посылки помещаются над чертой, заключение – под ней.
2.В соответствии с принятой классификацией устанавливается разновидность данного вывода (это может быть категорический силлогизм, условный силлогизм и пр.).
3.В соответствии с определениями посылок и заключения устанавливается, какая из частей вывода является подразумеваемой.
4.С использованием определений и правил, характерных для данного класса выводов, восстанавливается недостающая часть вывода.
5.Производится анализ связей между посылками и заключением на соответствие логическим правилам. Нарушение хотя бы одного из правил свидетельствует о наличии формальной ошибки в энтимеме.
6.Производится анализ восстановленной посылки на соответствие действительному положению дел. Её ложность означает наличие содержательной ошибки в энтимеме.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
1. Установите, какие из следующих предложений являются высказываниями:
1) Всякая общественно-экономическая формация имеет своей основой способ производства материальных благ.
2) Был ли Наполеон французским императором?
3) Наполеон никогда не был французским императором.
4) Водители, не нарушайте правила дорожного движения!
5) X + Y = Z.
6) Цена товара x меньше его стоимости.
7) Этот закон не имеет обратной силы.
8) Зрелое яблоко.
9) Было ли восстание декабристов в 1825 году?
10) Яблоко созрело.
11) Судьи независимы и подчиняются только закону.
12) И какой из него работник?
13) Каждый имеет право направлять личные или коллективные обращения в государственные органы.
14) Некоторые предприниматели во главу своих интересов ставят лишь соображения выгоды своего предприятия.
15) Цель управляющего, совпадающая с целью компании.
16) Прощай, свободная стихия! (А.С.Пушкин)
17) Город Гомель стоит на возвышенности и является областным центром
18) Руководитель предприятия, который не справляется со своими прямыми обязанностями и не проявляет заботы о повседневных нуждах подчиненных.
19) Участниками конфликта являются х и у.
2. Найдите высказывания, имеющие одинаковую логическую форму, и выразите их на языке логики высказываний.
1) Журналист вечером то ли подготовил телерепортаж, то ли написал статью.
2) «Флюгер был приколочен намертво, и ветер обречено дул в указанном направлении» (В.Шендерович).
3) Если бы ты слушал меня, то не переспрашивал.
4) Сегодня очень холодно, к тому же дует ледяной ветер.
5) Лишь тогда, когда будете готовиться, вы не провалите экзамен.
6) Финальный матч по футболу пройдёт или на стадионе в Минске, или за городом.
7) Ученик не волнуется, когда знает ответа.
8) Когда я целый день готовлюсь к занятию по математике, то не успеваю подготовиться к занятию по литературе.
9) Утверждение, что ребёнок был воспитанным, однако непослушным, - ложно.
10) Строительство канала не задержится исключительно при условии доставки товара в срок.
11) Неверно, что он каждый день выходит из дому и не возвращается.
3. Составьте схемы (логические формы) следующих высказываний.
1) Умный политик знает, как выиграть войну, а мудрый – как её не допустить (Ильин).
2) Неверно, что он храбр и силен.
3) Либо Земля вращается вокруг Солнца, либо Солнце вращается вокруг Земли.
4) Беда, коль пироги начнет печь сапожник.
5) Если у берега много медуз, то был шторм или вода в море остыла.
6) Нельзя сказать, что чтение этого романа приятно или полезно.
7) «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов» (Ж.Ж. Руссо).
8) Он раздражителен и когда болен, и когда здоров.
9) В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов.
10) Успешная сдача экзамена зависит от качества самостоятельной подготовки, работы учащегося на занятиях или настроения учителя.
(1) Каков логический смысл грамматического союза «и» в следующих предложениях:
1) Фотоны обладают энергией, количеством движения и электромагнитной массой.
2) Если данный процесс – тепловое излучение, то он не зависит от свойств и состояния окружающих тел.
3) Атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов и людей умственного труда.
4) «Растворите цафру в царской водке, разведите в четырехкратном по весу количестве воды, и вы получите зеленые чернила» (Э. По. Золотой жук).
5) Совершенствование автомобильных двигателей осуществляется в направлении увеличения мощности, улучшения экономичности, уменьшения габаритных размеров, снижения массы и повышения надежности и срока службы.
4. Дано высказывание р, и оно истинно. Можно ли установить логическое значение q в следующих случаях? Если «да», то каково оно?
1) p Ù q истинно;
2) p Ú q истинно;
3) p Ú q ложно;
4) p ® q ложно;
5) p « q истинно.
5. Если р ® q истинно, Øq Ú r истинно, а r ложно, то каким будет логическое значение р?
(2) Пусть p и q соответственно означают “У меня есть собака” и “У меня есть кошка”. Переведите на разговорный язык и упростите следующеё выражение, используя отношения равнозначности (полной совместимости):
Ø(Øp Ù ØØq) Ù ØØp.
6. Установлено, что высказывание формы А Ú B является истинным. Что можно сказать о логических (семантических) значениях высказываний форм:
а) А Ù B; б) ØА Ù ØB; в) ØА Ú ØB?
7. Являются ли равнозначными следующие высказывания (попарно):
1) Каждый учащийся нашего класса способен или трудолюбив; неверно, что каждый учащийся нашего класса не способен и не трудолюбив.
2) Иван и Марья друг друга не любят; неверно, что Иван любит Марью и Марья любит Ивана.
3) Если боишься - не делай; если делаешь - не бойся.
4) Число четное тогда и только тогда, когда оно делится на два; если число четное, то оно делится на два, а если число нечетное, то оно не делится на два.
8. Выразите в символической форме структуру рассуждения и табличным способом установите его правильность (является ли оно логическим законом).
1. Нет дыма без огня, значит, неверно утверждать, что есть огонь, однако нет дыма.
2. Ни Запад, ни Восток не победили в гражданской войне. Поэтому, либо Запад одержал победу в гражданской войне, либо Восток.
9. Установите виды логических схем, обоснуйте свой ответ, используя таблицу истинности:
1) (Ø(pÚq)) ® (ØpÙØq);
2) (p ÚØq) ® (Øp®q);
3) (Ø(p®Øq)) Ù (Ø(ØpÚq)).
10. Установите все возможные отношения, которые имеют место между логическими схемами следующих сложных высказываний:
1) Если вкусно, то не дешево.
2) Вкусно и дешево.
3) Если не вкусно, то дешево.
4) Не вкусно и не дешево.
ЛОГИКА ИМЁН
11. Изобразите с помощью кругов Эйлера отношение между объёмами следующих имен (понятий):
1) А.Эйнштейн, автор общей теории относительности, физик, ученый ХХ века, гениальный человек.
2) Банда, главарь банды, бандит, преступная группа.
3) Безымянный палец, палец левой руки, левая рука, левша.
4) Талантливый человек, бездарный человек, лауреат Нобелевской премии, русский поэт, И.Бунин.
5) Узкая улица, широкая улица, проспект г. Минска, квартал г. Минска.
12. Проверьте правильность обобщения следующих имён, в случае неправильно произведённой операции, приведите свой вариант обобщения:
1) цех ‑ завод ‑ предприятие;
2) учебник логики – учебное пособие – печатная продукция;
3) одиночный выстрел ‑ залп;
4) високосный год ‑ год ‑ век ‑ столетие;
5) газета «Аргументы и факты» ‑ еженедельная газета ‑ газета, выходящая регулярно;
6) Белгосуниверситет ‑ учебное заведение;
7) 2-е издание «Истории государства и права‑ учебник – печатная продукция издательства;
8) рассказ ‑ повесть – роман.
13. В каких из следующих случаев имеет место логическое деление, в каких ‑ аналитическое:
1) Среди образных выражений встречаются поговорки, пословицы, крылатые выражения.
2) Система права подразделяется на гражданское право, административное право, уголовное право.
3) Нормы подразделяются на предписывающие и запрещающие.
4) Различают такие виды доверенностей: разовые, специальные и общие.
5) Декада составляет десять дней.
6) К основным элементам музыки относятся ритм, лад, тем тембр.
7) По характеру психической активности память делят на двигательную, эмоциональную, образную и словесно-логическую.
8) Атомы делятся на протоны, нейтроны и электроны.
9) Изобразительное искусство делится на живопись, скульптуру и графику.
10) Рабовладельческое общество было разделено на рабов и рабовладельцев.
11) Изложение материала в учебниках обычно подразделяете на введение, основные главы и заключение.
14. Охарактеризуйте определения.
1) Сделка – это достигнутое и оформленное в соответствии с нормами соглашение между двумя юридическими лицами.
2) Скульптор – художник, который работает в области скульптуры.
3) Тетрадь – сшитые листы бумаги в обложке, на которых студенты записывают материал лекций.
4) Точка – это знак препинания.
5) Тригонометрическое уравнение – трансцендентное уравнение, в котором не используются иррациональные степени.
6) Устав – свод правил, регулирующих деятельность общественной организации.
7) Феодализм – общественный строй, основанный на эксплуатации.
8) Фотон – частица, не обладающая массой покоя.
9) Человек – это мера всех вещей (Сократ).
10) Школьник – ребёнок, который посещает школу.
11) Якобинство – революционное течение, возглавляемое якобинцами.
СИЛЛОГИСТИКА
15. Сформулируйте атрибутивные высказывания, учитывая предложенные термины и их распределенность.
1) Крестьянское восстание (S +); событие, закончившееся победой (Р +).
2) Русский феодал (S -); сторонник реформ Петра I (Р +).
3) Комета (S - ); тело Солнечной системы (Р -).
4) Звезда (S +); мощный источник радиоизлучений (Р -).
5) Верующий (S - ); буддист (Р +).
6) План (S + ); программа действий (Р -).
7) Моральная норма (S - ); правовая норма (Р +).
8) Прилагательное (S +); существительное (P +).
9) Военнослужащий (S - ); коллекционер (Р+).
16. Сделайте заключение из посылки при помощи превращения, обращения и противопоставления предикату.
1) Некоторые камни являются недрагоценными предметами.
2) Все то, что не запрещено, разрешено.
3) Некоторые компьютерные игры не являются интересными.
4) Всякая привычка является отработанным навыком.
5) Ни один пингвин не умеет летать.
6) Всё хорошее даётся нам недешево.
17. Используя логический квадрат, сформулируйте остальные три атрибутивных высказывания. Установите их логическое значение (истинность/ложность), если высказывание, данное в условии, является истинным.
Все станции минского метрополитена построены на государственные средства.
18. Произведите непосредственные выводы (превращение /обверсия/, обращение /конверсия/, противопоставление предикату /частичная контрапозиция/):
Все облигации являются ценными бумагами.
Ни один рассказ этого автора не является фантастическим.
19. Проанализируйте ПКС, установите (если есть) наличие формальных/содержательных ошибок. Обоснуйте свой ответ, используя общие правила ПКС и правила фигур.
1) История ‑ гуманитарная наука, Цезарь сыграл важную роль в истории.
2) Владимир Высоцкий – знаменитый актёр, так как он поет, как и некоторые актеры.
3) Большинство мечтателей являются романтиками. Из этого следует, что некоторые из взрослых – романтики, так как среди взрослых есть мечтатели.
4) Классицизм – это стиль, а стиль постоянно меняется. Значит, классицизм постоянно меняется.
5) Христиане не верят в переселение душ, значит, мусульмане верят в это, так как христиане не мусульмане.
6) Этот дом многоэтажный, а также он еще не заселён, поэтому неудивительно, что среди незаселенных домов встречаются многоэтажные.
20. Восстановите знтимему до полного силлогизма и установите её правильность.
1) Все сангвиники обладают сильной нервной системой. N. обладает сильной нервной системой.
2) Собака не может лазить по портьерам, значит, это не собака.
3) Все хвойные деревья нуждаются во влаге, поэтому и ель нуждается во влаге.
4) Деятельность исполнительной власти ограничена законом, поскольку в правовом государстве деятельность властных структур ограничена законом.
[1] На рис. 1 – 6 отношения между объемами имен изображены в виде отношений между соответствующими кругами. За этой иллюстрацией закрепилось название «кругов Эйлера» (по имени известного математика XVIII века).
[2] Р ¢читается как не-Р