Правила дедуктивных выводов в логике высказываний
С помощью правил вывода устанавливается зависимость логической структуры заключения от логической структуры посылок. В простейшем случае правило вывода можно записать в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной чертой; причем над чертой в столбец будем выписывать логические схемы посылок, а под ней – заключения.
Схема правила вывода, в котором посылки имеют вид A1 ,A2 ,A3 , ... , An, а заключение – B, т.е.:
A1
A2
A3
...
An
-----------------
B
читается: «Из посылок вида A1, A2, A3 , ... , An можно (разрешено) выводить заключение B».
Правила дедуктивных выводов логики высказываний подразделяются на основные и производные. Основные правила являются более простыми. Их перечень можно составить так, чтобы, во-первых, они были содержательно очевидными (для этой цели можно воспользоваться определениями логических союзов), во-вторых, образованная из них система определяла бы все возможные правила выводов логики высказываний, т.е. чтобы система удовлетворяла требованию полноты. В рамках современной логики доказано, что для логики высказываний такая система правил существует.
Производные правила выводятся из основных правил. В сущности их можно признать излишними, так как можно обойтись и без них. Но их введение в систему зачастую сокращает процесс вывода. Производные правила, таким образом, играют вспомогательную роль.
Как основные, так и производные правила, в свою очередь, делятся на прямые и непрямые (косвенные). Прямыеправила вывода указывают на выводимость некоторых высказываний из других высказываний (заключений из посылок). Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов. Сначала рассмотрим основные прямые правила.
Прямые правила вывода
Правило введения конъюнкции (сокращенно ВК):
A
B
------------
A Ù B
Это простое правило устанавливает, что два принятых за истинные высказывания можно соединить знаком конъюнкции, и полученное сложное высказывание также разрешается принять. Например:
Подул ветер.
Пошел дождь.
----------------------------------------
Подул ветер, и пошел дождь.
Правило удаления конъюнкции (УК):
| A Ù B ---------- | A Ù B ----------- |
| A | B |
Правило УК устанавливает, что из конъюнкции принятых высказываний можно вывести любое высказывание, являющееся ее членом.
Примеры выводов по правилу УК:
Каждый студент сдает экзамены и зачеты.
-----------------------------------------------------------
Каждый студент сдает экзамены.
Каждый студент сдает экзамены и зачеты.
------------------------------------------------------------
Каждый студент сдает зачеты.
Нетрудно видеть, что правила ВК и УК согласуются с определением конъюнкции, данном на стр. (?)
Правило введения слабой дизъюнкции (ВД):
А В
---------- ---------
A Ú B A Ú B
Правилом ВД устанавливается, что из принятого за истинное высказывания со структурой A (соответственно B) можно выводить дизъюнктивное высказывание вида A Ú B.
Пример вывода по правилу ВД:
Иванов читает газету.
-------------------------------------------------------------------------
Иванов читает газету или размышляет о текущих событиях.
Правило удаления слабой дизъюнкции (УД):
| A Ú B | A Ú B | |
| ØA | ØB | |
| B | A |
С помощью правила УД устанавливается, что из принятого дизъюнктивного высказывания со структурой AÚB и отрицания одного из его членов можно выводить второй его член.
Пример вывода по правилу УД:
Ошибся защитник или вратарь.
Вратарь не ошибся.
---------------------------------------------
Ошибся защитник.
В традиционной логике умозаключения, соответствующие правилу УД, называются разделительно-категорическими силлогизмами.
В разделительно-категорическом силлогизме одна из посылок – разделительное высказывание (слабая дизъюнкция), другая – категорическое, т.е. принимаемое без всяких условий и альтернатив. Последнее, в соответствии с правилом УД, отрицает одну из альтернатив, фиксируемых первой посылкой. Число этих альтернатив может быть больше двух.
Правила ВД и УД согласуются с определением слабой дизъюнкции.
Правило удаления импликации (УИ):
A ® B
А
--------------
В
Правило УИ разрешает при наличии принятой импликации вида A®B и ее антецедента A выводить консеквент B.
Пример вывода по УИ:
Если стоит туманная погода, то аэропорт закрывается.
Стоит туманная погода.
-------------------------------------------------------------------------
Аэропорт закрывается.
В традиционной логике умозаключения по правилу УИ называются условно-категорическими силлогизмами утверждающего модуса (латинское название – modus ponens). В них выводится следствие условного высказывания при условии истинности его основания.
Правило введения эквиваленции (ВЭ):
A ® B
B ® A
---------------
A « B
Правило ВЭ разрешает из принятого за истинное импликативного высказывания со структурой A®B и обратного по отношению к нему высказывания B®A можно выводить и принимать за истинное высказывание эквивалентности A«B.
Пример вывода по ВЭ:
Если монета выпадает орлом, то она не выпадает решкой и не становится на ребро.
Если монета не выпадает решкой и не становится на ребро, то она выпадает орлом.
-------------------------------------------------------------------------
Монета выпадает орлом тогда и только тогда, когда она не выпадает решкой и не становится на ребро.
Правило удаления эквиваленции (УЭ):
A « B A « B
------------- ------------
A ® B B ® A
Правило УЭ устанавливает, что из принятого за истинное высказывания эквивалентности вида A«B можно выводить и принимать за истинное как импликативное высказывание вида A®B, так и обратное ему импликативное высказывание B®A.
Примеры построения выводов по правилу УЭ:
Высказывание p Ù q истинно тогда и только тогда, когда p истинно и q истинно.
-------------------------------------------------------------------------
Если высказывание p Ù q истинно, то p истинно и q истинно.
Высказывание p Ù q истинно тогда и только тогда, когда p истинно и q истинно.
-------------------------------------------------------------------------
Если p истинно и q истинно, то высказывание p Ù q истинно.
Правило введения двойного отрицания (ВДО):
A
-----------
ØØA
Правило ВДО устанавливает, что из высказывания вида A можно выводить это же дважды отрицаемое высказывание.
Пример применения правила ВДО:
Этот студент учится на экономическом факультете.
-------------------------------------------------------------------------
Неверно, что этот студент не учится на экономическом факультете.
Правило удаления двойного отрицания (УДО):
Согласно правилу УДО из дважды отрицаемого высказывания вида A можно выводить высказывание вида A.
Пример вывода по правилу УДО:
Неверно, что это число не простое.
--------------------------------------------------
Это число простое.